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1、 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到到 100的所有整数加起来，教师刚说完，一位小男孩立即写出了答案。的所有整数加起来，教师刚说完，一位小男孩立即写出了答案。 1+2+3+4+.+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是而更使人吃惊的是男孩的算法男孩的算法. 小故事小故事 数列问题数列问题数列问题数列问题先看：先看：1+2+3
2、+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10 1+ + + + + + + + +10 =11 1+ + + + + + + + +10 =11 +2+ + + + + + +9+ =11 +2+ + + + + + +9+ =11 + +3+ + + + +8+ + =11 + +3+ + + + +8+ + =11 + + +4+ + +7+ + + =11 + + +4+ + +7+ + + =11 + + + +5+6+ + + + =11 + + + +5+6+ + + + =11 11 115 = 55= 55（1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5
3、5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列数列中的每一个数称为数列中的每一个数称为一一项项；第第1 1项称为项称为首项首项；最后最后1 1项称为项称为末项末项；在第几个位置上的数就叫在第几个位置上的数就叫第几项第几项；有多少项称为有多少项称为项数项数；（一）数列的基本知识（一）数列的基本知识数列问题数列问题1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10首项首项:1 :1 末项末
4、项:10 :10 项数项数:10:101 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010等差数列的主要内容等差数列的主要内容（一）（一）等差数列的基本知识等差数列的基本知识（二）（二）等差数列的等差数列的公差公差（三）（三）等差数列的等差数列的项数项数数列问题数列问题（四）求（四）求等差数列的等差数列的某一项某一项（五）（五）等差数列的等差数列的和和（六）（六）有公差的有公差的等差数列的等差数列的和和 1+2+3+4+5+ . +100 = ？ 小故事小故事 数列问题数列问题 男孩的算法男孩的算法：第一个数加最后一个数是第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数
5、第二个数的和也是第二个数加倒数第二个数的和也是101，第三个数加倒数第三个数的和也是第三个数加倒数第三个数的和也是101， 共有共有1002=50 对这样的数，对这样的数， 用用10150=5050。高斯的才华使老师高斯的才华使老师十分激动。十分激动。德国数学家德国数学家 高斯高斯 1+ + + + + + + + +100 =101 1+ + + + + + + + +100 =101 +2+ + + + + + +99+ =101 +2+ + + + + + +99+ =101 + +3+ + + + +98+ + =101 + +3+ + + + +98+ + =101 + + +4+
6、+ +97+ + + =101 + + +4+ + +97+ + + =101 （二）等差数列的（二）等差数列的公差公差 （1）1、2、3、4、5、6 2-1=1,3-2=1. 公差公差=1 （2）2、4、6、8、10、12 4-2=2, 6-4=2. 公差公差=2 （3）5、10、15、20、25、30 . 10-5=5, 15-10=5. 公差公差=5 通过观察，我们可以发现上面的每一个数通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等的，具有这样特征的数列称为等差数列等差数列，这个差称为这个数列
7、的这个差称为这个数列的公差公差。数列问题数列问题（三）求等差数列（三）求等差数列项的数量项的数量数列问题数列问题例例 已知数列已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多，这个数列有多少项。少项。分析：第分析：第2项比首项多项比首项多1个公差，个公差， 第第3项比首项多项比首项多2个公差，个公差， 第第4项比首项多项比首项多3个公差个公差， 那第那第n项比首项多（项比首项多（n-1)个公差。个公差。规律：规律：末项比首项多的公差的个数，再加上末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到，就得到这个数列的项数。这个数列的项数。 等差数列的项数等差数列的项数= 公差个数公差个数 + 1 =（末
8、项（末项-首项）首项）公差公差 + 1这个数列的项数这个数列的项数= （17-2）3+1=6（四）等差数列（四）等差数列某一项某一项数列问题数列问题等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：等差数列的等差数列的末项末项= 首项首项+ +公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的等差数列的某一项某一项= 首项首项+ +公差公差（项数（项数-1 1）数列：数列：1、3、5、7、9、11第第2项：项： 3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：项： 5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：项： 7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：项： 9=1+2 4 首项首
9、项+公差公差4（5-1）第第6项：项： 11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1） 等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（1）它的第）它的第10项是多少？项是多少？ （2）它的第）它的第98项是多少？项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项分析：首项=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10项：项： 2+3 （10-1）=29 （2）第）第98项：项： 2+3 （98-1）=293 数列问题数列问题求等差数列求等差数列某一项某一项数列问题数列问
10、题（1 1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10 1+ + + + + + + + +10 =11 1+ + + + + + + + +10 =11 （组合）（组合） +2+ + + + + + +9+ =11 +2+ + + + + + +9+ =11 （组合）（组合） + +3+ + + + +8+ + =11 + +3+ + + + +8+ + =11 （组合）（组合） + + + +5+6+ + + + =11 + + + +5+6+ + + + =11 （组合）（组合） 11 115 = 55= 55 + + +4+ + +7+ + + =
11、11 + + +4+ + +7+ + + =11 （组合）（组合）连续数列，求和连续数列，求和公式：公式：=（首项首项+ +末项）末项）（总项数（总项数2）=（1+10）（10102）= 115=555=55（五）等差数列的求和（五）等差数列的求和数列问题数列问题问题：问题：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=？ 1+ + + + + + + + + 19=20 1+ + + + + + + + + 19=20（组合）（组合） +3+ + + + + + +17+ =20 +3+ + + + + + +17+ =20（组合）（组合
12、） + +5+ + + + +15+ + =20 + +5+ + + + +15+ + =20（组合）（组合）20205 = 100= 100 + + +7+ + +13+ + + =20 + + +7+ + +13+ + + =20（组合）（组合）=（首项首项+ +末项）末项）（总项数总项数2）（六）有公差的等差数列的求和（六）有公差的等差数列的求和 + + + +9+11+ + + + =20 + + + +9+11+ + + + =20（组合）（组合）2020 = =( (首相首相+ +末项末项) )5= 5= 有有5 5个组合个组合总项数总项数= （末项（末项-首项）首项）公差公差 +
13、 1 = (19 - 1 ) 2 + 1 = 5 （组合（组合） （组合的数量（组合的数量）组合的数量组合的数量= 总项数总项数2例1、计算1+2+3+2006 公式：(首项+末项)(项数2) =(1+2006) (20062) =20071003 =2013021 练练习习 1+ + + + + + + + +2006 =2007 1+ + + + + + + + +2006 =2007 +2+ + + + + + +2005+ =2007 +2+ + + + + + +2005+ =2007 + +3+ + + + +2004+ + =2007 + +3+ + + + +2004+ + =
14、2007 + + +4+ + +2003+ + + =2007 + + +4+ + +2003+ + + =2007 . . 每个组合的和每个组合的和 = 2007= 2007 有几个组合呢？有几个组合呢？ 200620062= 1003 个组合个组合所以总和所以总和=2007 1003=2013021例1、计算1+2+3+2006 直接列公式：=(首项+末项)(项数2)=(1+2006) (20062)=20071003=2013021 练练习习首项首项=1, =1, 末项末项=2006=2006总项数总项数=2006, =2006, 公差公差=1=1例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前
15、1999项的和。练练习习首项首项=3=3， 末项末项= =？ 不知道，要先求不知道，要先求! !总项数总项数=1999=1999， 公差公差=5=53,8,13,18,23,283,8,13,18,23,28，.解：第1项=3 第2项=3+(51)=8 第3项=3+(52)=13 第4项=3+(53)=18 第5项=3+(54)=23 第6项=3+(55)=28 . 第1999项=3+(51998)=9993 例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前1999项的和。练练习习首项首项=3=3， 末项末项= =99939993总项数总项数=1999=1999， 公差公差=5=53,8,13,18,
16、23,283,8,13,18,23,28，.9993.9993解：求和公式 =(首项+末项)(项数2) =(3+9993)(19992) =9996999.5 =9991002 例3、计算11+15+19+.+99。直接列公式：=(首项+末项)(项数2)=(11+99) (232)=11011.5=1265 练练习习解：首项=11, 末项=99 总项数总项数=(末项末项-首项首项)公差公差 + 1总项数=(99-11)4+1 =23 公差=15-11=4 例4、计算(2+4+6+.+96+98+100)-(1+3+5+.+95+97+99) 练练习习解题思路一： 本题由两个数列组成第一个数列：
17、(2+4+6+.+96+98+100)第二个数列：(1+3+5+.+95+97+99)(2+4+6+.+96+98+100)=(2+100)(502)=10225=2550(1+3+5+.+95+97+99)= =(1+99)(502)=25002550-2500=50例4、计算1991-1988+1985-1982+.+11-8+5-2 练练习习解题思路一：=(1991-1988)+(1985-1982)+.(11-8)+(5-2)=(1991-1988)+(1985-1982)+.(11-8)+(5-2)= 3 + 3 +.+ 3 + 3= 3 + 3 +.+ 3 + 3问题来了？问题来了
18、？ 这里共有多少这里共有多少3 3呢？呢？首先，问自己共有多少个项？首先，问自己共有多少个项？不看不看+ +，- -号号2,5,8,11.1982,1985,1988,19912,5,8,11.1982,1985,1988,1991这个数列：首项=2， 末项=1991， 公差=5-2=3项数=(1991-2)3+1=663+1=664组合后有几个3呢？6642=3323332=996 1、计算 2+4+6+96+98+100 课后练习课后练习项数项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1等差数列求和等差数列求和=（组合（组合）（组合的数量（组合的数量） 2、求首项是5，末项是95，公差是3的
19、等差数列的和。 3、求首项是13，公差是5的等差数列的前60项的和。 4、计算 （1）4000-1-2-3-76-77-78 （2）560-557+554-551+500-497 （3）204-198+192-186+24-18+12-6 课后练习课后练习5、计算（1+3+5+1999）-（2+4+6+1998） 1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+25 +26+27-28课后练习课后练习让您的天赋燃烧起来让您的天赋燃烧起来l人的天赋就像火花，它既可以熄灭，也可以燃人的天赋就像火花，它既可以熄灭，也可以燃烧起来。而使它燃烧成熊熊大火的方法只有一烧起来。而使它燃烧成熊熊大火的方法只有一个，就是学习，再学习。个，就是学习，再学习。高尔基高尔基 l奥数学习的途径只有一个奥数学习的途径只有一个, ,那就是解题那就是解题, ,解题解题, ,再解题，做题，做题，再做题再解题，做题，做题，再做题柳绪颖柳绪颖谢谢!祝学习步步高升祝学习步步高升!