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1、v本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解；本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解；v重点：数学物理方程求解方法中的重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法分离变量法；v特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程。立数学物理方程。第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程数理方程简介物理物理/工程问题工程问题数学问题数学问题翻译翻译物理物理/工程规律工程规律数学结果数学结果求解求解数学理论数学理论数学性质数学性质讨论讨论物理物理/工程
2、意义工程意义补充：补充： 二阶线性偏微分方程及其分类二阶线性偏微分方程及其分类一、偏微分方程一、偏微分方程阶数：阶数：偏导数的最高阶数偏导数的最高阶数定义：定义：未知函数及其偏导数所满足的方程。未知函数及其偏导数所满足的方程。线性偏微分方程：线性偏微分方程：所有含未知函数或其偏导数的项均为一次项。所有含未知函数或其偏导数的项均为一次项。齐次方程：齐次方程：各非零项都含有未知函数，或未知函数的偏导数各非零项都含有未知函数，或未知函数的偏导数【例】未知函数【例】未知函数 uu (x ,y)yuuuxxy 二阶非线性非齐次二阶非线性非齐次 三阶线性非齐次三阶线性非齐次 二阶线性齐次二阶线性齐次 一阶
3、非线性非齐次一阶非线性非齐次xxuyuuyyxyxxysin43202xxttuau122yxuu二、二、 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类 复杂多样的物理问题被抽象成数学模型时，多样复杂多样的物理问题被抽象成数学模型时，多样的物理背景可能是同一个数学模型。下面把从物的物理背景可能是同一个数学模型。下面把从物 理理问题中抽象出来的二阶线性偏微分方程分为几大类问题中抽象出来的二阶线性偏微分方程分为几大类1.波动方程：描述机械的、电磁的振动和波动的波动方程：描述机械的、电磁的振动和波动的 运动规律的方程运动规律的方程一般形式：设一般形式：设 u = u (x ,y ,z ,t),(
4、)(222222222tzyxfzuyuxuatu 简记为：简记为：22( , )ttuauf r t（ a为常数）为常数）2222222zyx拉氏算符拉氏算符也称：双曲型方程（也称：双曲型方程（ Hyperbolic Equation）2. 输运方程：描述热传导和物质扩散规律的方程输运方程：描述热传导和物质扩散规律的方程 一般形式：一般形式：22( , )tuauf r t 也称：抛物型方程（也称：抛物型方程（Parabolic Equation）：）： 双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的发展）的,有时也称为有时也称为发展方程发展方程.3
5、.泊松方程和拉氏方程：泊松方程和拉氏方程：描述各类稳定问题规律的方程描述各类稳定问题规律的方程一般形式：一般形式：0)(22urfu泊松方程泊松方程拉氏方程拉氏方程 它是描述物理现象中稳定（或它是描述物理现象中稳定（或平衡状态平衡状态）过程规）过程规律偏微分方程律偏微分方程. 在物理现象中，它很好地描述了在物理现象中，它很好地描述了重力重力场、静电场、静磁场、稳恒流场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律。的速度势等规律。借助算子的语言，以上各类方程可统一写成借助算子的语言，以上各类方程可统一写成),(),(trftrLu对于波动方程：对于波动方程：2222atL对于输运方程：对于输运方程：2
6、2Lat对于稳定场方程：对于稳定场方程：2LL为线性算子为线性算子:满足满足L(c1u1+c2u2)=c1Lu1+c2Lu2 其中其中c1,c2是常量是常量方程还可直接由实验中总结出来（麦克斯韦方程组）方程还可直接由实验中总结出来（麦克斯韦方程组）或由某些假设推出来（薛定谔方程）或由某些假设推出来（薛定谔方程）要求：学会从物理、工程规律推导方程的基本方法要求：学会从物理、工程规律推导方程的基本方法由已知的物理由已知的物理/工程规律可推导出来这三类方程。工程规律可推导出来这三类方程。数学建模数学建模-数学物理定解问题数学物理定解问题v从一些典型的物理、工程问题中导出二阶线性偏微从一些典型的物理、
7、工程问题中导出二阶线性偏微分方程分方程v为了说明物理模型，加强对模型物理、工程意义的为了说明物理模型，加强对模型物理、工程意义的描述描述. 对主要类型的物理、工程现象均详细地给出对主要类型的物理、工程现象均详细地给出了数学物理方程的建立方法了数学物理方程的建立方法,切实加强数学建模能力切实加强数学建模能力的训练和提高的训练和提高.数学建模的基本物理思想数学建模的基本物理思想v在科学技术和生产实际中常常要求研究空间连续分布在科学技术和生产实际中常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程。的各种物理场的状态和物理过程。v【例【例】静电场（或电磁波）静电场（或电磁波）的电场强度或电势在空间
8、的电场强度或电势在空间中的分布，中的分布， 声场中的声压声场中的声压在空间和时间中的变化情况，在空间和时间中的变化情况， 半导体扩散工艺中半导体扩散工艺中杂质浓度杂质浓度在硅片中怎样分布在硅片中怎样分布并怎样随时间而变化等等。并怎样随时间而变化等等。定解条件：定解条件： 边界条件边界条件和和初始条件初始条件反映了具体问题的特定环反映了具体问题的特定环境和历史，即问题的特殊性境和历史，即问题的特殊性(个性个性)。数学物理方程的建立及其求解的一般步骤数学物理方程的建立及其求解的一般步骤1.将物理、工程问题转化为数学模型：对物理、工程问题根将物理、工程问题转化为数学模型：对物理、工程问题根据相关的物
9、理、工程定律建立相应的数学模型，也就是将据相关的物理、工程定律建立相应的数学模型，也就是将物理或工程问题归结成数学上的定解问题物理或工程问题归结成数学上的定解问题.2.解定解问题解定解问题, 也就是用数学方法求出满足方程和定解条件的也就是用数学方法求出满足方程和定解条件的解解;3.验证模型的正确性并理解模型的物理、工程意义：对所得验证模型的正确性并理解模型的物理、工程意义：对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并将解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并将所得的解作适当的物理意义解释，从而理解遵循同一类方所得的解作适当的物理意义解释，从而理解遵循同一类方程的普遍物理模型程
10、的普遍物理模型.（1）牛顿（）牛顿（Newton）第二定律）第二定律: F = ma ；（2）胡克（）胡克（Hooke）定律在弹性限度内，弹性体的张应力和）定律在弹性限度内，弹性体的张应力和弹性体的形变量成正比弹性体的形变量成正比 即张应力杨氏模量即张应力杨氏模量(E )相对伸长相对伸长.（3）热传导的傅里叶定律：在）热传导的傅里叶定律：在dt 时间内，通过面积元时间内，通过面积元dS 流入流入小体积元的热量小体积元的热量dQ 与沿面积元外法线方向的温度梯度与沿面积元外法线方向的温度梯度 成正比，也与成正比，也与dS和和dt 成正比，即：成正比，即： 式中式中k 是导热系数，由物体的材料决定是
11、导热系数，由物体的材料决定常用物理定理概述常用物理定理概述dd duQkS tn unxuFE Sx返回返回返回返回（4）牛顿）牛顿(Newton)冷却定律冷却定律: 单位时间内从周围介质传到边单位时间内从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比, 即：即： 这里这里u1 是外界媒质的温度是外界媒质的温度. h 为比例系数为比例系数(5) 扩散定律扩散定律 即斐克定律即斐克定律: 单位时间内扩散流过某横截面的杂质单位时间内扩散流过某横截面的杂质量量m 与该横截面积与该横截面积S 和浓度梯度和浓度梯度 成正比，成正比，即：即：umDS
12、n un1()Qh uu式中式中D为扩散系数，负号表示扩散是向着杂质浓度减少的为扩散系数，负号表示扩散是向着杂质浓度减少的方向进行的。方向进行的。返回返回返回返回v（6）静电场中的高斯）静电场中的高斯(Gauss)定理定理: 通过任意闭合曲面通过任意闭合曲面的电场强度通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电的电场强度通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电荷量的荷量的1/倍。即倍。即v其中，其中，为电荷所处媒质的介电常数，为电荷所处媒质的介电常数，为电荷体密度。为电荷体密度。 1ddSVESV补充：拉普拉斯算符补充：拉普拉斯算符zkyjxi令令)()(zkyjxizkyjxi222222zyx2222
13、22zyx（拉普拉斯算符）（拉普拉斯算符）有时记有时记22222yx2222223zyx记记22tuutt22xuuxxtuut222222zyx下标下标2是为了强调二维是为了强调二维下标下标3是为了强调三维是为了强调三维第七章第七章 数学物理方程定解问题数学物理方程定解问题7.2 7.2 定解条件定解条件7.3 7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类( (自学）自学）7.1 7.1 三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出7.4 7.4 达朗贝尔公式、定解问题（不讲）达朗贝尔公式、定解问题（不讲）（弦的一维自由横振动）（弦的一维自由横振动）一根均匀柔软的细弦，平衡时将其绷紧，考察一
14、根均匀柔软的细弦，平衡时将其绷紧，考察它沿垂直于弦方向的微小振动。它沿垂直于弦方向的微小振动。1 1、均匀弦的微小横振动、均匀弦的微小横振动7.1 7.1 三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出推导过程：推导过程：（1）建立坐标系：）建立坐标系： 选择弦平衡时绷紧的直线为选择弦平衡时绷紧的直线为ox轴。轴。（2）确定描述状态的物理量：）确定描述状态的物理量： u (x ,t) u (x ,t)弦上位于弦上位于x点在任意点在任意t时刻偏离平衡时刻偏离平衡 位置的横向位移。位置的横向位移。（3）弦运动所遵循的物理规律：）弦运动所遵循的物理规律： 弦上任意一小段可视为质点，服从牛顿第二定律弦上
15、任意一小段可视为质点，服从牛顿第二定律弦是均匀的弦是均匀的密度密度 为一常量为一常量 mg 0t0以后各个时刻的运动规律。以后各个时刻的运动规律。方程反映的是同一类物理问题的方程反映的是同一类物理问题的共性共性，跟具体条，跟具体条件无关件无关泛定方程。具体问题的泛定方程。具体问题的个性个性是由边界条是由边界条件和初始条件反映的；要完全确定地解出一个具件和初始条件反映的；要完全确定地解出一个具体的物理问题，还必须考虑边界条件和初条件体的物理问题，还必须考虑边界条件和初条件定解条件。定解条件。 7.2 定解条件定解条件t0时刻系统的周围环境时刻系统的周围环境t=0时刻系统的初始状态时刻系统的初始状
16、态物理、工程物理、工程数学数学t0时刻系统内部的物理、工程过程时刻系统内部的物理、工程过程泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件某系统物理状态的最后确定不仅取决于系统内部的某系统物理状态的最后确定不仅取决于系统内部的物理过程，而且还取决于系统周围环境和初始状态。物理过程，而且还取决于系统周围环境和初始状态。对于对于输运方程输运方程（一）、初始条件（一）、初始条件02uaut初始条件要求已知初始条件要求已知0( , , , )( , , )t tu x y z tx y z对于对于弦振动方程弦振动方程02uautt初始条初始条件要求件要求已知已知0( , , , )( , , )t t
17、u x y z tx y z),(),(0zyxtzyxuttt位移满足位移满足速度满足速度满足定义：描述初始时刻，系统各点状态的定解条件。定义：描述初始时刻，系统各点状态的定解条件。注：只有非稳定问题，提初始条件才有意义。注：只有非稳定问题，提初始条件才有意义。x=l / 2xyx=lhx00( , )t tu x t0( , )0tt tu x t位移满足位移满足速度满足速度满足20, /2h l xl, 2/)(2llxllh（二）、边界条件（二）、边界条件00( , )( , )xu x tf x t第一类第一类边界条件边界条件00,xu x tf x tn第二类边界条件第二类边界条件
18、第三类边界条件第三类边界条件00,xu x tu Hf x tn, , ,u x y z tf M t一维情况一维情况解释解释和和M),(),(000000tzyxftzyxuzyx如两端固定弦如两端固定弦, ,端点位移端点位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）、第一类边界条件）、第一类边界条件如细杆热传导端点温度如细杆热传导端点温度l0 x00),(utxux1),(utxulx（如扩散端点浓度）（如扩散端点浓度）A）、如细杆）、如细杆的纵振动，的纵振动，x=a 处受力处受力 f(t)()( )nx aEuSf t（2 2）、第二类边界条件）、第二
19、类边界条件()( )xx aEuSf t( )xx af tuES如杆端自由如杆端自由 f(t)=00axxu00( , )n xuf x ta0 x)(tf如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流出点有热量流出)(tfaxnkuaxxq如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流入点有热量流入axaxxxukq)(tfB B）、热传导）、热传导axxuk0 xa如细杆热传导，如细杆热传导，一端自由冷却一端自由冷却)(axuh则热流强度与杆端则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度差有关系和周围介质温度差有关系axaxxnukq（3 3）、第三类边界条件）、第三类边界条件axxHuu)(axxuk
20、00()( , )nxu Huf x t0 xaHk h牛顿冷却定律牛顿冷却定律0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk对于两端都是对于两端都是自由冷却的杆：自由冷却的杆：x=0 处处Hk h第一、第二和第三类边界条件可统一写成：第一、第二和第三类边界条件可统一写成：,uuf M tn第三类第三类第二类第二类第一类第一类0,00,00非齐次非齐次齐次齐次00ff（三）、衔接条件（三）、衔接条件)(tFx0 xy0121.1.所研究的区域里出现跃变点，所研究的区域里出现跃变点，在跃变点处应在跃变点处应 提供衔接条件提供衔接条件； 2.2
21、.所研究的系统为不同介质所组成时，在不同介所研究的系统为不同介质所组成时，在不同介 质的连接处应提供衔接条件质的连接处应提供衔接条件0sinsin)(21TTtF), 0(), 0(00txutxu)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu)(tFx0 xy01211sintan), 0(0txux22sintan), 0(0txux泛定方程泛定方程定解条件定解条件波动方程波动方程输运方程输运方程泊松方程泊松方程第一类第一类第二类第二类第三类第三类衔接条件衔接条件初条件初条件边界条件边界条件t=0时刻系统的初始状态时刻系统的初始状态t0时刻系统的周围环境时刻系统的周围环境第二类边界条件：第二类边界条件： 纵振动：纵振动： 端点受力（不受力）端点受力（不受力） 热传导：热传导： 端点有热流流入（绝热）端点有热流流入（绝热）第三类边界条件：第三类边界条件：在热传导问题中代表自由冷却端的边界条件。在热传导问题中代表自由冷却端的边界条件。7.2 作业：作业：P 128习题习题 1，习题，习题 4和习题和习题 5。