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1、第十八章技术技术技术u技术是只把投入转换成产出的过程。技术是只把投入转换成产出的过程。u例如劳动力、计算机、投影仪、电力、例如劳动力、计算机、投影仪、电力、和软件等合起来上这堂课。和软件等合起来上这堂课。技术u一般来说集中技术能够生产相同的产品一般来说集中技术能够生产相同的产品 黑板和粉笔可以代替计算机和投影仪使黑板和粉笔可以代替计算机和投影仪使用。用。u哪项技术是最好的？哪项技术是最好的？u我们对技术进行比较？我们对技术进行比较？投入束uxi 表示投入品种表示投入品种i的投入量的投入量i; 也即投入品也即投入品种种i的投入水平。的投入水平。u投入束投入束是投入品投入水平的向量，用是投入品投入
2、水平的向量，用 (x1, x2, , xn)表示。表示。u例如例如(x1, x2, x3) = (6, 0, 93).生产函数uy 表示产出水平。表示产出水平。u技术生产函数技术生产函数表现了投入束的表现了投入束的最大最大可能可能产出量。产出量。yf xxn (,)1生产函数y = f(x) 为生产为生产函数函数xx投入水平投入水平产出水平产出水平yy = f(x) 表示投入表示投入x的可得到的可得到的最大产出量。的最大产出量。一份投入，一份产出一份投入，一份产出技术集u一个一个生产计划生产计划是一个投入束和一个产出水是一个投入束和一个产出水平。平。 用向量用向量(x1, , xn, y)来表
3、示。来表示。u生产计划是可行的，假如他满足下式生产计划是可行的，假如他满足下式u所有可行生产计划集合就是所有可行生产计划集合就是技术集。技术集。yf xxn (,)1技术集y = f(x) 为生产为生产函数函数xx投入水平投入水平产出水平产出水平yy”y = f(x) 为投入为投入x可获取的可获取的最大产出水平。最大产出水平。一份投入一份产出一份投入一份产出y” = f(x) 投入投入x的可行产出的可行产出量量技术集技术集技术集为为 Txxyyf xxandxxnnn (, ) |(,),.11100技术集xx投入水平投入水平产出水平产出水平y一份投入一份产出一份投入一份产出y”技术集技术集技
4、术集xx投入水平投入水平产出水平产出水平y一份投入一份产出一份投入一份产出y”技术集技术集技术上无技术上无效率的计划效率的计划技术上有效率技术上有效率的计划的计划多种投入品的技术u假如投入品不止一种，那么技术会是什假如投入品不止一种，那么技术会是什么样子？么样子？u两种投入品的例子两种投入品的例子: 投入水平为投入水平为 x1 和和x2. 产出水平为产出水平为y。u假设生产函数为：假设生产函数为：yf xxxx (,).1211/321/32多种投入品的技术u例如投入束例如投入束(x1, x2) = (1, 8)的最大可行产的最大可行产出为：出为：u投入束投入束(x1,x2) = (8,8)的
5、最大可行产出量的最大可行产出量为为 ：yxx 2218212411/321/31/31/3.yxx 2288222811/321/31/31/3.多种投入品的技术Output, yx1x2(8,1)(8,8)多种投入品的技术u产出产出y的的等产量线等产量线是指最大产出量为是指最大产出量为y的的所有投入束的集合。所有投入束的集合。两个投入变量的等产量线y 8 8y 4 4x1x2两个投入变量的等产量线u等产量线可以通过增加一条产出线，并等产量线可以通过增加一条产出线，并把能够产生相同产出的投入组合连接起把能够产生相同产出的投入组合连接起来而得到。来而得到。两个投入变量的等产量线Output, y
6、x1x2y 8 8y 4 4两个投入变量的等产量线u更多的等产量线告诉了我们更多的关于更多的等产量线告诉了我们更多的关于技术的信息。技术的信息。两个投入变量的等产量线y 8 8y 4 4x1x2y 6 6y 2 2两个投入变量的等产量线Output, yx1x2y 8 8y 4 4y 6 6y 2 2含有多种投入要素的技术u所有等产量线的集合称为所有等产量线的集合称为等产量线图。等产量线图。u等产量图与生产函数等价等产量图与生产函数等价 所指代的对所指代的对象是一致的象是一致的u例如例如3/123/11212),(xxxxfy 含有多种投入要素的技术x1x2y含有多种投入要素的技术x1x2y含
7、有多种投入要素的技术x1x2y含有多种投入要素的技术x1x2y含有多种投入要素的技术x1x2y含有多种投入要素的技术x1x2y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y含有多种投入要素的技术x1y柯布-道格拉斯函数u柯布柯布-道格拉斯函数有如下形式：道格拉斯函数有如下形式：u例如例如其中其中yAxxxaanan 1212.yxx 11/321/3nAaanda 21131312,.x2x
8、1所有的等产量线都是双曲线，所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交无限接近坐标轴，但不相交柯布-道格拉斯函数yxxaa 1212x2x1所有的等产量线都是双曲线，所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交无限接近坐标轴，但不相交柯布-道格拉斯函数xxyaa1212 yxxaa 1212x2x1所有的等产量线都是双曲线，所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交无限接近坐标轴，但不相交柯布-道格拉斯函数xxyaa1212 xxyaa1212 yxxaa 1212x2x1所有的等产量线都是双曲线，所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交无限接近坐标轴，但不相交
9、柯布-道格拉斯函数xxyaa1212 xxyaa1212 yyyxxaa 1212固定比例生产函数u固定比例生产函数有如下形式：固定比例生产函数有如下形式：u例如例如其中其中ya xa xa xnn min,.112 2yxx min,122naand a 21212,.固定比例生产函数x2x1minx1,2x2 = 144814247minx1,2x2 = 8minx1,2x2 = 4x1 = 2x2yxx min,122完全替代函数u完全替代函数有如下的形式：完全替代函数有如下的形式：uu例如例如其中其中ya xa xa xnn 112 2.yxx 123naand a 21312,.完全
10、替代函数93186248x1x2x1 + 3x2 = 18x1 + 3x2 = 36x1 + 3x2 = 48所有的等产量线都是线性的所有的等产量线都是线性的和平行的和平行的yxx 123边际产品u 投入要素投入要素i的边际产出为在其它投入要素的边际产出为在其它投入要素不变的情况下，产出变化与要素投入变不变的情况下，产出变化与要素投入变化之比。化之比。u也即也即yf xxn (,)1iixyMP 边际产品例如假如例如假如yf xxxx (,)/1211/322 3要素要素1的边际产出为：的边际产出为：边际产品例如假如例如假如yf xxxx (,)/1211/322 3要素要素1的边际产品为：的
11、边际产品为：MPyxxx1112 322 313 /边际产品例如假如例如假如yf xxxx (,)/1211/322 3要素要素1的边际产品为：的边际产品为：MPyxxx1112 322 313 /要素要素2 的边际产品为：的边际产品为：边际产品例如假如例如假如yf xxxx (,)/1211/322 3要素要素1的边际产品为：的边际产品为：MPyxxx1112 322 313 /要素要素2的边际产品为的边际产品为:MPyxxx2211/321/323 .边际产品一般来说，一种要素的边际产品依赖于其一般来说，一种要素的边际产品依赖于其它要素的投入量。例如假如它要素的投入量。例如假如MPxx11
12、2 322 313 /MPxx112 3 2 312 313843 /假如假如 x2 = 27 那么那么假如假如 x2 = 8,那么那么MPxx112 32 312 313273 /.边际产品u边际产品随着投入要素边际产品随着投入要素i的投入量的增加的投入量的增加而而降低。也即假如降低。也即假如. 022 iiiiixyxyxxMP 边际产品MPxx112 322 313 /MPxx211/321/323 且且例如假如例如假如yxx 11/322 3/那么那么边际产品MPxx112 322 313 /MPxx211/321/323 且且因此因此 MPxxx1115 322 3290 /例如假如
13、例如假如yxx 11/322 3/那么那么边际产品MPxx112 322 313 /MPxx211/321/323 且且且且 MPxxx1115 322 3290 / MPxxx2211/324 3290 /.例如假如例如假如yxx 11/322 3/那么那么边际产品MPxx112 322 313 /MPxx211/321/323 且且因此因此 MPxxx1115 322 3290 / MPxxx2211/324 3290 /.两种要素的边际产品都递减两种要素的边际产品都递减例如假如例如假如yxx 11/322 3/那么那么规模效益u边际产品测度了边际产品测度了单个单个要素投入量的改变要素投入
14、量的改变导致的产出变化。导致的产出变化。u规模报酬规模报酬测度了测度了所有所有投入要素投入要素同等幅度同等幅度改变时产出的变化。（比如所有要素都改变时产出的变化。（比如所有要素都加倍或者减半）加倍或者减半）规模报酬假如对于任意投入束假如对于任意投入束 (x1,xn),f kxkxkxkf xxxnn(,)(,)1212 那么技术通过产出函数那么技术通过产出函数f描述了描述了不变的规模报酬。不变的规模报酬。例如例如(k = 2) 所有要素加倍使得产出也加倍。所有要素加倍使得产出也加倍。规模报酬y = f(x)xx投入水平投入水平产出水平产出水平y一分投入一份产出一分投入一份产出2x2y不变规模报
15、酬不变规模报酬规模报酬假如对于任意的投入束假如对于任意的投入束 (x1,xn),f kxkxkxkf xxxnn(,)(,)1212 那么技术显示了那么技术显示了规模报酬递减。规模报酬递减。例如例如 (k = 2) 投入要素加倍但是产出并没有加倍。投入要素加倍但是产出并没有加倍。规模报酬y = f(x)xx投入水平投入水平产出水平产出水平f(x)一分投入一分产出一分投入一分产出2xf(2x)2f(x)规模报酬递减规模报酬递减规模报酬假如对于任意的投入束假如对于任意的投入束 (x1,xn),f kxkxkxkf xxxnn(,)(,)1212 那么技术显示了那么技术显示了规模报酬递增。规模报酬递
16、增。例如例如 (k = 2) 投入要素加倍导致产出投入要素加倍导致产出水平增加超过两倍。水平增加超过两倍。规模报酬y = f(x)xx投入水平投入水平产出水平产出水平f(x)一分投入一份产出一分投入一份产出2xf(2x)2f(x)规模报酬递增规模报酬递增规模报酬u单种技术可以在不同位置显示不同规模单种技术可以在不同位置显示不同规模效益。效益。规模报酬y = f(x)x投入水平投入水平产出水平产出水平一分投入一份产出一分投入一份产出规模报酬递减规模报酬递减规模报酬递增规模报酬递增规模报酬的例子ya xa xa xnn 112 2.完全替代生产函数为：完全替代生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入
17、要素都扩大k倍。产出变为：倍。产出变为：akxakxakxnn1122()()() 规模报酬的例子ya xa xa xnn 112 2.完全替代生产函数为：完全替代生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍。产出变为：倍。产出变为：akxakxakxk a xa xa xnnn n11221 12 2()()()() 规模报酬的例子ya xa xa xnn 112 2.完全替代生产函数为：完全替代生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍。产出变为：倍。产出变为：akxakxakxk a xa xa xkynnn n11221 12 2()()()(). 完全替代生产函数为
18、规模报酬不变函数。完全替代生产函数为规模报酬不变函数。规模报酬的例子ya xa xa xnn min,.112 2完全互补生产函数为：完全互补生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：min(),(),()akxakxakxnn1122规模报酬的例子ya xa xa xnn min,.112 2完全互补生产函数为：完全互补生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：min(),(),()(min,)akxakxakxka xa xa xnnn n11221 12 2 规模报酬的例子ya xa xa xnn min,.112
19、2完全互补生产函数为：完全互补生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：min(),(),()(min,).akxakxakxka xa xa xkynnn n11221 12 2 完全互补生产函数为规模报酬不变的生产函数。完全互补生产函数为规模报酬不变的生产函数。规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：()()()kxkxkxaanan1212规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：所
20、有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：()()()kxkxkxkkkxxxaanaaaaaaannn12121212 规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：()()()kxkxkxkkkxxxkxxxaanaaaaaaaaaaaanannnnn12121212121212 规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：所有投入要素都扩大所有投入要素都扩大k倍，产出变为：倍，产出变为：()()().kx
21、kxkxkkkxxxkxxxkyaanaaaaaaaaaaaanaaannnnnn121212121212121 规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：()()().kxkxkxkyaanaaann12121 柯布柯布-道格拉斯函数的规模报酬是道格拉斯函数的规模报酬是不变的不变的。 假如假如 a1+ + an = 1规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：()()().kxkxkxkyaanaaann12121 柯布柯布-道格拉斯函数的规模报酬是道格拉斯函数的规模报酬是不变的不变的。
22、假如假如 a1+ + an = 1递增的递增的 假如假如 a1+ + an 1规模报酬的例子yxxxaanan 1212.柯布柯布-道格拉斯生产函数为：道格拉斯生产函数为：()()().kxkxkxkyaanaaann12121 柯布柯布-道格拉斯函数的规模报酬是道格拉斯函数的规模报酬是不变的不变的。 假如假如 a1+ + an = 1递增的递增的 假如假如 a1+ + an 1递减的递减的 假如假如 a1+ + an 1.规模报酬uQ:是否存在一个生产函数，它的边际产是否存在一个生产函数，它的边际产品递减但确实规模报酬递增的？品递减但确实规模报酬递增的？规模报酬uQ:是否存在一个生产函数，它
23、的边际产是否存在一个生产函数，它的边际产品递减但确实规模报酬递增的？品递减但确实规模报酬递增的？uA: 存在存在u例如例如yxx 12 322 3/.规模报酬yxxxxaa 12 322 31212/aa12431 因此这个生产函数展示了递因此这个生产函数展示了递增的规模报酬。增的规模报酬。规模报酬yxxxxaa 12 322 31212/aa12431 因此这个生产函数展示了递增的因此这个生产函数展示了递增的规模报酬。规模报酬。但是但是 MPxx111/322 323 /随着随着 x1增加而减小增加而减小规模报酬yxxxxaa 12 322 31212/aa12431 因此这个生产函数展示了
24、递增的因此这个生产函数展示了递增的规模报酬。规模报酬。但是但是MPxx111/322 323 /随着随着x1增加而减小增加而减小MPxx212 321/323 /随着随着x1增加而减小增加而减小规模报酬u因此一个生产函数可以为边际产品递减因此一个生产函数可以为边际产品递减，但规模报酬递增的函数。为什么？，但规模报酬递增的函数。为什么？规模报酬u边际产品是指在其它投入要素不变的情边际产品是指在其它投入要素不变的情况下，某一要素投入量改变所导致的产况下，某一要素投入量改变所导致的产出变化与投入变化之比。出变化与投入变化之比。u边际产品递减是因为在其它要素固定不边际产品递减是因为在其它要素固定不变的
25、情况下，某一投入要素量的增加使变的情况下，某一投入要素量的增加使得与其共同共产产品的其他要素比例越得与其共同共产产品的其他要素比例越来越少。来越少。规模报酬u当所有的投入要素都同比例增加，边际当所有的投入要素都同比例增加，边际产品将不会改变，因为每一投入要素的产品将不会改变，因为每一投入要素的比例与其他要素保持恒定。投入要素的比例与其他要素保持恒定。投入要素的生产力不会下降，规模效益可能是不变生产力不会下降，规模效益可能是不变或者递增的。或者递增的。技术替代率u在不改变产出的情况下，一种要素对于在不改变产出的情况下，一种要素对于另一种要素的替代率为多少？另一种要素的替代率为多少？技术替代率x2
26、x1y100100 x2x1技术替代率x2x1y100100斜率表明了在不改变产出的前提下斜率表明了在不改变产出的前提下，当投入要素，当投入要素1增加时要素增加时要素2必须减必须减少的量。等产量线的斜率即为少的量。等产量线的斜率即为技术技术替代率。替代率。x2x1技术替代率u技术替代率如何计算？技术替代率如何计算？技术替代率u技术替代率如何计算？技术替代率如何计算？u生产函数为：生产函数为：u投入束的微小改变导致产出的改变量为：投入束的微小改变导致产出的改变量为：yf xx (,).12dyyxdxyxdx 1122.技术替代率dyyxdxyxdx 1122.但是但是 dy = 0 因为产出没
27、有改变，因此因为产出没有改变，因此 dx1和和 dx2 必须满足下式：必须满足下式：01122 yxdxyxdx .技术替代率01122 yxdxyxdx重新整理得重新整理得 yxdxyxdx2211 因此因此dxdxyxyx2112 /.技术替代率dxdxyxyx2112 /表示了在保持产出不变的前提下，要素表示了在保持产出不变的前提下，要素1增加时增加时要素要素2必须减少的数量。也即等产量线的斜率。必须减少的数量。也即等产量线的斜率。技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子yf xxx xa b (,)1212因此因此 yxaxxab1112 yxbx xa b2121 .且且技术替代率为：技术
28、替代率为：dxdxyxyxaxxbx xaxbxaba b211211212121 /.x2x1技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子TRSaxbxxxxx 2121211 32 32( /)(/)yxxaandb 11/322 31323/;x2x1技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子TRSaxbxxxxx 2121211 32 32( /)(/)yxxaandb 11/322 31323/;84TRSxx 2128241x2x1技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子TRSaxbxxxxx 2121211 32 32( /)(/)yxxaandb 11/322 31323/;612TRSxx 2126
29、21214性状良好的生产函数u性状良好性状良好的生产函数的特点：的生产函数的特点：l单调的单调的l凸的凸的性状良好的生产函数- 单调性u单调性单调性: 任何任何要素投入量的增加会带来要素投入量的增加会带来更多的产出。更多的产出。yxyx单调的单调的非单调的非单调的性状良好的生产函数- 凸性u凸性凸性: 假如投入束假如投入束x 和和 x” 都能生产出都能生产出y单位产出，那么投入束的组合单位产出，那么投入束的组合 tx + (1-t)x” 至少能够生产出至少能够生产出y单位产出，对于单位产出，对于任意任意0 t 1。性状良好的生产函数- 凸性x2x1x2x1x2x1y100100性状良好的生产函
30、数- 凸性x2x1x2x1x2x1 txt xtxt x112211(),() y100100性状良好的生产函数- 凸性x2x1x2x1x2x1 txt xtxt x112211(),() y100100y120120性状良好的生产函数- 凸性x2x1x2x1x2x1凸性意味着技术替代率随着凸性意味着技术替代率随着x1增增加而增加。加而增加。性状良好的生产函数x2x1y100100y5050y200200更高的产出更高的产出长期与短期u从长期来看，厂商的所有投入要素的投从长期来看，厂商的所有投入要素的投入量都可以改变。入量都可以改变。u还有很多短期的情况。还有很多短期的情况。u从短期来看厂商只
31、有某些投入要素的投从短期来看厂商只有某些投入要素的投入量是可以变的。入量是可以变的。长期与短期u厂商面对的短期限制条件：厂商面对的短期限制条件：l暂时不能安装转移机械设备。暂时不能安装转移机械设备。l被法律要求生产某一确定的产量。被法律要求生产某一确定的产量。l需要符合国内的规定。需要符合国内的规定。 长期与短期u可以把长期看成是厂商可以在短期内任可以把长期看成是厂商可以在短期内任意改变投入要素的投入量。意改变投入要素的投入量。长期与短期u短期限制意味着厂商的生产函数有什么短期限制意味着厂商的生产函数有什么特点？特点？u假设短期限制为投入要素假设短期限制为投入要素2的投入量固的投入量固定。定。
32、u投入要素投入要素2因此在短期内成为一个固定因此在短期内成为一个固定投入要素。投入要素投入要素。投入要素1为可变量。为可变量。长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x2x1y长期与短期x1y长期与短期x1y长期与短期x1y四个短期生产函数四个短期生产函数长期与短期yxx 11/321/3 为长期生产函数为长期生产函数 (x1 与与 x2 都可都可变变)。当当x2 1时的短期生产函数为：时的短期生产函数为：.x1xy3/113/13/11 当时当时x2 10的短期生产函数为：的短期生产函数为：.x15210 xy3/113/13/11 长期与短期x1y四个短期生产函数四个短期生产函数3/13/1110 xy 3/13/115xy 3/13/112xy 3/13/111xy