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1、2022-7-301第第3 3讲曲线梁桥基本微分方程讲曲线梁桥基本微分方程主讲：刘志文 湖南大学土木工程学院桥梁工程系2012.32022-7-302教学目的： 建立曲线梁桥的微分方程，从基本力学公式的角度理解曲线梁的“弯扭耦合”特性。教学任务： （1）曲线梁的平衡方程 （2）曲线梁的几何方程 （3）曲线梁基本微分方程的建立 （4）曲线梁基本微分方程求解课后作业： 试根据曲线梁桥微分方程来分析曲线梁桥的“弯扭耦合”特性，给出当曲率半径为R趋于无穷大时对应的微分方程。2022-7-303引言引言微分方程建立的基本步骤微分方程建立的基本步骤微元体的平衡方程微元体的平衡方程（荷载与内力关系）（荷载与
2、内力关系）微元体的几何方程微元体的几何方程（应变与位移关系）（应变与位移关系）物理方程物理方程（应变与应力关系）（应变与应力关系）应力与内力关系应力与内力关系（平衡关系）（材料力学）（平衡关系）（材料力学）微分方程（荷载与变形的关系）微分方程（荷载与变形的关系）微分方程目的：微分方程目的：建立荷载与变形的关系。建立荷载与变形的关系。2022-7-3043.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-3053.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-3063.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程图图1-2 a) 1-2 a) 曲线梁
3、微段截面内力曲线梁微段截面内力2022-7-3073.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-3083.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-3093.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30103.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程以上三个平衡方程为分布荷载对应的平衡方程。以上三个平衡方程为分布荷载对应的平衡方程。2022-7-30113.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30123.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30133
4、.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30143.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30153.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-3016000000000000ZXYXYXYXZXYYXXZYXZYXmrMzTmQzMmQrTzMqrQzNqzQqrNzQMMMFFF)61 ()51 ()41 ()31 ()21 () 11 (3.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30170XXqrNzQ0122zqzNrzQXX对z求1阶导 0YXYmQzM0222233zmzQz
5、MYXY对z求2阶导 两式相减，即012233zmzqrzNzMYxY（a）0YXYmQzM(1-1)(1-5)(1-5)除以r01rmrQzMrYXY0ZXqrQzN(1-3)ZyyqmzMrzN1（b）3.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30182222331rmzmrqzqzMrzMyyzxyY(1-7)0122zmzQzTrzMXYX0XYXmQRTzM对z求1阶导 (1-4)0YYqzQ(1-2)zmqzTrzMXyX122(1-8)2022-7-30193.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程2022-7-30203.1 3.1 曲
6、线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程 通过以上推导建立了曲线梁通过以上推导建立了曲线梁微段的平衡方程（内力与荷载的微段的平衡方程（内力与荷载的关系），化简后为关系），化简后为力矩与荷载力矩与荷载的的关系。？关系。？2022-7-3021zmqzTrzMxyx1222222331rmzmrqzqzMrzMyyzxyyzxmrMzT微段竖向弯矩微段竖向弯矩微段扭矩微段扭矩微段横向弯矩微段横向弯矩（亦为面内弯矩）（亦为面内弯矩） 曲线梁的典型力学特性典型力学特性：由于曲率半径曲率半径引起引起的曲线梁段平衡方程中扭矩扭矩和竖向弯矩竖向弯矩（即面外弯矩）在同一个方程中，从而表现为竖向弯矩与扭矩的相互影
7、响相互影响，习惯上称为“弯扭耦弯扭耦合合”作用。3.1 3.1 曲线梁微元体平衡方程曲线梁微元体平衡方程拱桥微段平拱桥微段平衡方程（面衡方程（面内荷载）内荷载）2022-7-30223.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程 为了建立截面内力与变形之间的关系，还须研究梁微段位移与为了建立截面内力与变形之间的关系，还须研究梁微段位移与应变的几何关系。应变的几何关系。 该曲线梁相对与纵向轴线该曲线梁相对与纵向轴线z z轴的一般变形基本定义如下图所示：轴的一般变形基本定义如下图所示： 坐标系仍为随动坐标系，坐标系仍为随动坐标系，x,y,zx,y,z轴正方向符合轴正方向符合“右手螺旋法则
8、右手螺旋法则”。x (v)O2022-7-30233.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程3.2.1 曲线梁段在曲线梁段在OXZ平面内的变形与应变关系平面内的变形与应变关系1) 轴向变形：ABAB 轴向变形量为： A点处的轴向位移为； B点处的轴向位移为dzzuudzzu2) 径向变形：ABAB 变形前后曲率半径发生了变化，从而导致微段轴向发生变形，即dzrvvddvrrddz)(3）绕y轴的挠曲转动变形：AB AB忽略该部分对轴向变形的影响。忽略该部分对轴向变形的影响。2022-7-30243.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程 1 1）微段由微段由A A到
9、到B B的角度增量为的角度增量为： 2）微段由）微段由ABAB、ABAB的过程中，曲线梁段未发生的过程中，曲线梁段未发生挠曲变形，因此在这两个过程中挠曲变形，因此在这两个过程中ABAB之间未发生相对弯曲，整个微段也没之间未发生相对弯曲，整个微段也没有产生角度增量。有产生角度增量。（对于理解图对于理解图1-61-6中的转角至关重要中的转角至关重要） 当微段由当微段由AB到到AB过程中分别在过程中分别在点、点、B点产生了角点产生了角增量。增量。点角增量为：点角增量为：dzdvdzvdvvAAtand2022-7-3025B点角增量为点角增量为：（按：（按A的角增量沿微段轴向变化规律来写出），即的角
10、增量沿微段轴向变化规律来写出），即dzdzvddzdvB22因此，微段沿弧长总的角增量为： dzdvdzdzvddzdvd22曲线弧段由到点的角度增量曲线弧段沿轴挠曲发生的角度增量此时的弧长为此时的弧长为：（）dzdzdzrvvddvrrddz)(3.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程2022-7-3026于是微段变形后绕轴的曲率为：rvdzvd22略去了该项，？略去了该项，？3.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程2022-7-30273.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程于是变形后微段的曲率变化量为：22211rvdzvdrrky（）该方
11、程是平面内的曲率方程曲率方程，同时该方程也是拱桥微分方程拱桥微分方程推导过程中的几何方程。（该方程中的位移量只有沿径向的位移，与其他位移（变形）之间不存在耦合关系。）2022-7-30283.2.2 曲线梁段绕曲线梁段绕X轴的曲率方程和绕轴的曲率方程和绕Z轴的扭率方程建立轴的扭率方程建立3.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程 梁微段OA在O截面绕X轴发生微小弯曲转角时的变形关系图1-7a）； 梁微段OA在O截面绕X轴发生微小扭转角变形关系图1-7b）。D转角正方向规定：2022-7-30293.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程注：略去小量后，点弯曲角与点弯
12、曲角相等注：略去小量后，点弯曲角与点弯曲角相等2022-7-30303.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程zz注：略去小量后，点扭转角与点扭转角相等注：略去小量后，点扭转角与点扭转角相等)(sinddz或（d）2022-7-30313.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程发生扭转角引起的发生扭转角引起的点转角点转角2022-7-30323.2 3.2 曲线梁微元体几何方程曲线梁微元体几何方程2022-7-30333.3 3.3 物理方程物理方程薄壁杆件薄壁杆件扭转理论中将学习！扭转理论中将学习！2022-7-3034将曲线梁微段几何方程代入到如上的个物理方程中
13、，即将曲线梁微段几何方程代入到如上的个物理方程中，即3.3 3.3 物理方程物理方程薄壁杆件薄壁杆件扭转理论中将学习！扭转理论中将学习！2022-7-3035 将以上方程与平衡方程联立，即可得到荷载与位移的关系，即曲线梁的基本微分方程。3.4 3.4 曲线梁基本微分方程建立曲线梁基本微分方程建立方程（1） 对（1-16）中的T取1次导数，并将它与式（1-14）中的Mx一起代入式（1-61-6），经整理后即得：zxdIVdxIVmrEIGIEIwrGIEIwrEI2 zmqrGIEIrEIwrGIwEIrEIxydxIVdIVx )(22 对（1-14）和（1-16）分别求导后，将结果代入式（1
14、-8），经整理后即得：（1-17）（1-18）2022-7-30363.4 3.4 曲线梁基本微分方程建立曲线梁基本微分方程建立 对（1-15）分别求1次导和3次导后，将结果代入式（1-7），经整理后即得：222421 2rmzmrqzqvrvrvEIyyzxVy（1-19） 上述方程中式（1-19）中只包含一个位移量，可独立求解。式（1-17）和（1-18）中分别包含了竖向位移与扭转位移，因此必须联立求解。 这充分反映出曲线梁的弯曲与扭转耦合作用特点。2022-7-30373.5 3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答 对于工程实践中
15、大部分曲线梁可以忽略曲线梁的翘曲惯性矩，这样可以简化分析。不考虑曲线梁的翘曲惯性矩，则曲线梁的挠曲扭转微分方程可以写成：ydxdIVxqRGIEIwRGIwEI 2zxddxmREIGIwRGIEI2 (4-1)(4-2)2022-7-30383.5 3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答 (4-3)(4-4)(4-5)(4-6)2022-7-30393.5 3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答 2022-7-30403.5 3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答 2022-7-3041总结总结微分方程建立微分方程建立平衡方程、几何方程、物理方程微分方程微分方程求解微分方程求解 级数法求解简支曲线梁方法与示例 不考虑翘曲刚度影响的简支曲线梁分析方法要求：要求：掌握曲线梁平衡微分方程的建立基本步骤，理解曲线梁基本力学特点“弯扭耦合”的来源与本质。