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1、第17讲 二次函数与面积解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.【例题讲解】例题1 如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h）”我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答问题：如图2，顶点为C（1,4）的抛物线yax2bxc交轴于点A（3,0），交y轴于点B（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD
2、及；是否存在抛物线上一点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由图1 图2 备用图 【解析】（1）设抛物线的解析式为：a（x1）4把A（3,0）代入解析式求得a1，所以（x1）4x2x3，设直线AB的解析式为：kxb由x2x3求得B点的坐标为（0,3）把A（3,0），B（0,3）代入kxb中解得：k1，b3所以x3；（2）因为C点坐标为（1,4）所以当x1时，4，2所以CD422323（平方单位）；假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则h（x2x3）（x3）x3x由得：3（x3x）3化简得：x3x20，解得：1，2，将1代入x2x3中，解得P点坐标为（1
3、，4）将2代入x2x3中，解得P点坐标为（2，3）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，综上所述，P点的坐标为（1，4），（2，3）模型讲解竖切面积公式均为 横切面积公式均为 【总结】这种“铅垂高水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D的坐标哪种更易求得.例题2 已知一次函数y（k3）x（k1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，P（1，4）.（1）若OBP的面积为3，求k的值；（2）若AOB的面积为1，求k的值.【解析】（1）y（k3）x（k1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B， A（，0），B（0，k1） P（1，4） 13
4、6 7，或5.（2）1 2 （k1）2当k30，即k3时，k4k505，或1；当k30，即k3时，k7（舍去）；综上所述：5，或1.例题3 如图，二次函数yax2axc的图像的顶点为C，一次函数yx3的图像与这个二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D.（1）求点D的坐标；（2）若点C与点D关于x轴对称，且BCD的面积为4，求此二次函数的关系式.【解析】（1）yax2axcx1，yx3y2D（1，2）；（2）设B点坐标为（m，n）.点C与点D关于x轴对称，C（1，2）CD4.4，4（m1）4m3 yx3n330B（3，0）yax2axcyx2x.例题4 已知抛
5、物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x10x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2.（1）求抛物线解析式；（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.【解析】（1）x10x160，解得2，8点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC），点B的坐标为（2,0），点C的坐标为（0,8）又由抛物线的对称轴是直线x2，得A点坐标为（
6、6,0），把A，B，C点坐标代入表达式yaxbxc，得，解得所求抛物线的表达式为yx8（2）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8,AC10.EFAC，BEFBAC，即，EF过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEGsinCAB，FG8m，S（8m）8（8m）（8m）m4m（0m8）.【巩固练习】1.已知直线y2x4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线yxbxc经过点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设点M是直线AD上一点，且:1:3，求点M的坐标；2如图，已知抛物线yxbxc与一直线相交于A（1,0），C（2,3）两点，与y轴交于点N，
7、其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出APC的面积的最大值及此时点P的坐标3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；4. 已知：二次函数yaxbx6（a0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x4x1
8、20的两个根（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQAC交BC于点Q，当CPQ的面积最大时，求点P的坐标5一次函数yx的图象如图所示，它与二次函数yax4axc的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C（1）求点C的坐标（2）设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于现在x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式6.已知：在直角坐标系中，点C的坐标为（0，2），点A与点B在x轴上，且点A与点B的横坐标是方
9、程x3x40的两个根，点A在点B的左侧.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.（2）点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0）连接CD、CP，设CDP的面积为S，当S取某一个值时，有两个点P与之对应，求此时S的取值范围？7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线ymxnx相交于A（1，3），B（4，0）两点.（1）求出抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PMOA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，若BCN、PMN的面积、满足2，求出的值，并求出此时点M的坐标.
10、参考答案1.【解析】（1）令y0，则2x40，解得x2，令x0，则y4，所以，点A（2,0）、D（0,4）；代入抛物线yxbxc中，得：，解得抛物线的解析式：yxx4；令y0，得：0xx4，解得2、4点B（4,0）（2）:1:3，AM:MD1:3；过点M作MNx轴于N，如图；当点M在线段AD上时，AM:AD1:4；MNOD，AMNADOMNOD1、ANOA、ONOAAN2；M（，1）；当点M在线段DA的延长线上时，AM:AD1:2；MNOD，AMNADO，MNOD2、ANOA1、ONOAAN3；M（3，2）；综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（，1）、（3，2）2.【解析】（1）yx1；（2
11、）点P的坐标为（，）.（1）将A（1,0），C（2,3）代入yxbxc，得：，解得：，抛物线的函数关系式为yx2x3设直线AC的函数关系式为ykxa（k0），将A（1,0），C（2,3）代入ykxa，得：，解得：，直线AC的函数关系式为yx1（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，过点C作CNx轴，垂足为N，如图所示设点P的坐标为（x，x2x3）（1x2），则点M的坐标为（x,0）点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（2,3），AMx1，MN2x，PMx2x3，CN3，AN3，AMPM（PMCN）MNANCN，（x1）（x2x3）（x2x33）（2x）33，xx3xx3（x），0，当x时，取得最大
12、值，最大值为，此时点P的坐标为（，） 3.【解析】（1）令y0，则ax2ax3a0，解得1，3点A在点B的左侧，A（1,0）如图1，作DFx轴于F， DFOC，CD4AC，4，OA1，OF4，D点的横坐标为4，代入yax2ax3a得，y5a，D（4,5a）把A、D坐标代入ykxb得，解得，直线l的函数表达式为yaxa（2）如图1，过点E作ENy轴于点N设点E（m，a（m1）（m3），则，解得：，a（m3）xa（m3），M（0，a（m3），MCa（m3）a，NEm，a（m3） a（m3）am （m1）a（m3）a （m）a，有最大值a ，a.4.【解析】（1）由x4x120，解得：2，6，点A、
13、点B的横坐标是方程x4x120的两个根，故A（2,0）、B（6,0），则，解得故二次函数yx2x6，顶点坐标（2,8）；（2）设点P的横坐标为m，则0m6，连接AQ，直线BC的解析式为yx6，直线AC的解析式为y3x6，设Q点坐标为（a，6a），由PQAC，可知3，解得a，6a（6m），（m2）（6m） （m4m12）（m2）6，当m2时，6，所以，当CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2,0）5.【解析】（1）抛物线的对称轴方程为x，抛物线的对称轴为x2将x2代入yx得：y（2），点C的坐标为（2，）（2）点D与点C关于x轴对称，点D的坐标为（2，）CD3设点A的横坐标为x，则点A到CD的距离
14、（x2）ACD的面积等于3，CD（x2）3解得：x0将x0代入yx得：y0点A的坐标为（0,0）设抛物线的解析式为ya（x2），将（0,0）代入得；4a0，解得：a抛物线的解析式为y（x2）如图所示，过点A作AEDC，垂足为E设点D的坐标为（2，m），则CDDCAC，AC，EAx轴，COFCAE.AEACACD的面积为10，CDAE10，即（m）（m）10.解得：m6.5或m3.5当m6.5时，点D的坐标为（2,6.5）AE（6.51.5）点A的横坐标为242将x2代入yx得；y2点A的坐标为（2，）设抛物线的解析式为ya（x2）6.5，将点A的坐标代入得：16a6.51.5解得：a抛物线的解
15、析式为y（x2）6.5当m3.5时，点D的坐标为（2，3.5）AE1.5（3.5）4点A的坐标为（2，）设抛物线的解析式为ya（x2）3.5，将点A的坐标代入得：16a3.51.5解得：a抛物线的解析式为y（x2）3.56.【解析】（1）解方程x3x40，得：1、4，则A（1,0）、B（4,0）；依题意，设抛物线的解析式：ya（x1）（x4），代入C（0，2），得：a（01）（04）2，解得：a故抛物线的解析式：y（x1）（x4）xx2（2）由C（0，2）、D（2,0）得，直线CD：yx2；作直线lCD，且直线l与抛物线有且只有一个交点P，设直线l：yxb，联立抛物线的解析式：xbxx2，即：
16、xx2b04（2b）0，解得b即，直线l：yx；联立直线l和抛物线的解析式，得：，解得则P（，）；过P作PMx轴于M，如图（2）CDP的最大面积：；当P（，）时，CDP的面积有最大值，且最大面积为连接BC则BDOC （42）22S的取值范围是2S.7.【解析】（1）A（1,3），B（4,0）在抛物线ymxnx的图象上，解得，抛物线解析式为yx4x；（3）如图，过P作PFCM于点F， PMOA，RtADCRtMFP，3，MF3PF，在RtABD中，BD3，AD3，tanABD1，ABD45，设BCa，则CNa，在RtSPFN中，PNFBNC45，tanPNF1，FNPF，MNMFFN4PF，2，a24PF，aPF，NCaPF，MNNCa，MCMNNC（1）a，M点坐标为（4a，（1）a），又M点在抛物线上，代入可得（4a）4（4a）（1）a，解得a3或a0（舍去），OC4a1，MC32，点M的坐标为（1，32）