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1、一、一、n 元多项式概念元多项式概念设设 为一个数域，为一个数域， 是是 个文字个文字, 形式形式 P12,nx xxn1212,1,2, ,nkkkniaxxxaPkZin 1.1.n元多项式元多项式时，称此单项式中各文字的指数之和时，称此单项式中各文字的指数之和0a 称为数域上的一个称为数域上的一个单项式单项式；P12nkkk为这个单项式的为这个单项式的次数次数； 有限个单项式的和有限个单项式的和 121 21 21212(,)nnk kknkkknk kknf x xxaxxx n元多项式中系数不为元多项式中系数不为零零的单项式的最高次数称的单项式的最高次数称称为数域称为数域 上的一个上
2、的一个 元多项式元多项式；nP为这个多项式的为这个多项式的次数次数如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为它们为同类项同类项；的集合称为数域的集合称为数域 上的上的 元多项式环元多项式环，记作，记作 Pn12,.nP x xx4.4.n元多项式环元多项式环数域数域 上关于文字上关于文字 的全体的全体 元多项式元多项式Pn12,nx xx加法减法乘法加法减法乘法2. .n元多项式的运算元多项式的运算3. .n元多项式的相等元多项式的相等121 21 21212(,)nnk kknkkknk kknf x xxaxxx 中的两个单项式中的两个单项式
3、1212,nkkkna xxx1212,nlllnbxxx任取任取n元多项式元多项式5. .n元多项式的字典排列法元多项式的字典排列法若有某个若有某个 使使1,in1122110,0iiiiklklklkl（1）（此时也称数组此时也称数组 先于先于 记作记作 12(,)nk kk12( ,),nl ll 1212(,)( ,).nnk kkl ll 则在多项式（则在多项式（1）中，把单项式）中，把单项式 写在写在 1212nkkknaxxx的前面的前面 1212nlllnbxxx将将n元多项式中各单项式按元多项式中各单项式按当当n1时，字典排列法即为降幂排列法时，字典排列法即为降幂排列法 这种
4、先后次序排列的方法称为这种先后次序排列的方法称为字典排列法字典排列法 按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式称为多项式的称为多项式的首项首项 注意：注意：例如，例如， 2223123123121(,)2f x xxx x xx xx的次数为的次数为5，f32221121232,xx xx x x31.x首项为首项为 多元多项式的首项未是最高次项多元多项式的首项未是最高次项 定理定理14 当当 时时, 11(,)0,(,)0nnf xxg xx积积 的首项等于的首项等于 11(,) (,)nnf xxg xx1(,)nf xx的首项与的首项与 的首项
5、的积的首项的积 1(,)ng xx推论推论1若若 则积则积 1(,)0,1,2,inf xxim12mf ff的首项等于的首项等于 的首项的积的首项的积12,mfff二、有关性质二、有关性质推论推论2若若 则则 11(,)0,(,)0,nnf xxg xx11(,) (,)0.nnf xxg xx 若多项式若多项式 121 21 21212(,)nnk kknkkknk kknf x xxaxxx 12(,)nf x xx为为m次齐次多项式次齐次多项式 中每个单项式全是中每个单项式全是m次的，则称次的，则称 三、齐次多项式三、齐次多项式定义定义1两个齐次多项式的积仍然是齐次多项式；两个齐次多项
6、式的积仍然是齐次多项式； 积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和 2任一任一 次多项式次多项式 都可唯一地表成都可唯一地表成m1(,)nf xx111(,)(,),mninif xxf xx 其中其中 是是 次齐次多项式，称之为次齐次多项式，称之为 1(,)inf xxi的的 次齐次成分次齐次成分1(,)nf xxi性质性质111(,)(,)(,)kninjnij khxxf xxgxx 特别地，特别地， 111(,)(,)(,).m lnmnlnhxxfxxg xx 4 积的次数因子的次数之和积的次数因子的次数之和3 设设 111(,)(,),mninif xxf xx 的的 次齐次成分为次齐次成分为 k则积则积111(,)(,) (,)nnnh xxf xxg xx 111(,)(,),lninig xxg xx 四、四、n 元多项式函数元多项式函数 与一元多项式一样我们可以定义与一元多项式一样我们可以定义n元多项式函数、元多项式函数、 函数值等概念函数值等概念