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1、问题问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有有4 班班, 汽车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。那么一天班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法少种不同的走法?分析分析: 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法, 第一类方法第一类方法, 乘火车，有乘火车，有4种方法种方法; 第二类方法第二类方法, 乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法; 第三类方法第三类方法, 乘轮船乘轮船, 有有3种方法种方法; 所以所以 从甲地到乙地共有从甲
2、地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。种方法。 问题问题2. 如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，条，由由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村村去去C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 分析分析: 从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有3种方法种方法, 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有3种方法种方法, 所以所以 从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2 = 6 种不同的方法。种不同的方法。加法原理加法原理 做一件事情，完成它可
3、以做一件事情，完成它可以有有n类类办法办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在在第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在，在第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成种不同的方法。那么完成这件事共有这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法。种不同的方法。 乘法原理乘法原理 做一件事情，完成它需要分做一件事情，完成它需要分成成n个步骤个步骤，做第一步有，做第一步有m1种不同的方法种不同的方法，做第二步有，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做，做第第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件种不同的方法，那么完成这件事有事有
4、 N=m1m2mn 种不同的方法。种不同的方法。三、三、 例题某班级有男三好学生例题某班级有男三好学生5人人,女女三好学生三好学生4人。人。 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种有多少种不同的选法？不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会人去参加座谈会,有多少种不同的选法有多少种不同的选法？ (1) 完成从三好学生中任选一人去领完成从三好学生中任选一人去领奖这件事奖这件事,共有共有2类办法类办法, 第一类办法第一类办法, 从男三好学生中任选从男三好学生中任选一人一人, 共有共有 m1 = 5 种不同的方法种不同的方法; 第二类办
5、法第二类办法, 从女三好学生中任选从女三好学生中任选一人一人, 共有共有 m2 = 4 种不同的方法种不同的方法; 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 得到不同选得到不同选法种数共有法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。种。分析分析:分析分析: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事人去参加座谈会这件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步, 选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1 = 5 种种方法方法; 第二步第二步, 选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2 = 4 种种方法方法; 所以所以, 根据乘法原理根据乘法原
6、理, 得到不同选法种数共得到不同选法种数共有有 N = 5 4 = 20 种。种。点评点评: 解题的关键是从总体上看做这解题的关键是从总体上看做这件事情是件事情是“分类完成分类完成”,还是还是“分步完分步完成成”。“分类完成分类完成”用用“加法原理加法原理”;“分步完成分步完成”用用“乘法原理乘法原理”。2.在所有的两位数中在所有的两位数中,个位数字大于十位数字个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？的两位数共有多少个？ 分析分析1: 按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在在每一类中满足条件的两位数分别是每一类中满足条件的两位数分别是 1个个,2个个,3个个,
7、4个个,5个个,6个个,7 个个,8 个个.则根则根据加法原理共有据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个个).分析分析2: 按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8类类,在每一类中满足条件的两位数分别是在每一类中满足条件的两位数分别是 8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个. 则根据加法原理共有则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个个) 3. 一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少可以设置多少种三位数的密
8、码种三位数的密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)？首？首位数字不为位数字不为0的密码数是多少？首位数字是的密码数是多少？首位数字是0的的密码数又是多少？密码数又是多少？ 分析分析: 按密码位数按密码位数,从左到右依次设置第从左到右依次设置第一位、第二位、第三位一位、第二位、第三位, 需分为三步完成需分为三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m2 = 10. 根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。种三位数的密码。 答答:首位数字不为首位数字不为0的密码数是的密码数是
9、 N =91010 = 9102 种种, 首位数字是首位数字是0的密码数是的密码数是 N = 11010 = 102 种。种。 由此由此可以看出可以看出, 首位数字不为首位数字不为0的密码数与首的密码数与首位数字是位数字是0的密码数之和等于密码总数。的密码数之和等于密码总数。问问: 若设置四位、五位、六位、若设置四位、五位、六位、十、十位等密码位等密码,密码数分别有多少种？密码数分别有多少种？答答:它们的密码种数依次是它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。种。 点评点评: 加法原理中的加法原理中的“分类分类”要全面要全面, 不能遗漏不能遗漏; 但也不能重复、交叉但也不能重复
10、、交叉;“类类”与与“类之间是并列的、类之间是并列的、互斥的、独立的互斥的、独立的,也就是说也就是说,完成一件事情完成一件事情,每次只能每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有事情有n类办法类办法, 即它们两两的交为空集即它们两两的交为空集,n类的并为类的并为全集全集. 乘法原理中的乘法原理中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间是连续的之间是连续的,不间断的不间断的,缺一不可缺一不可;但但也不能重复、交叉也不能重复、交叉;若完成某件事情需若完成某件事情需n步步, 则则必须且只需依次完成这必须且只需依次完成这
11、n个步骤后个步骤后,这件事情才这件事情才算完成算完成. 在运用在运用“加法原理、乘法原理加法原理、乘法原理”处理具体应处理具体应用题时用题时,除要弄清是除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准。的具体标准。在在“分类分类”或或“分步分步”过程中过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。才能保证不重复、不遗漏。四、四、 课堂练习课堂练习 1 .如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必
12、须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？（染色问题染色问题）四、四、 课堂练习课堂练习 1 .如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种不同颜色中的某一种种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须但相邻区域必须涂不同的颜色涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解: 按地图按地图A、B、C、D四个四个区域依次分四步完成区域依次分四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种
13、, 第四步第四步, m4 = 1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不得到不同的涂色方案种数共有同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。1 .如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂四个区域分别涂上上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使允许同一种颜色使用多次用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的不同的涂色方案有多少种？涂色方案有多少种？问问: 若用若用2色、色、3色、色、4色、色、5色等色等,结果结果又怎样呢？又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案种它们的涂色方案种数分别是数分别是 0, 4322 =
14、 48, 5433 = 180 种。种。 2.如图如图,该电路该电路,从从A到到B共有多共有多少条不同的线少条不同的线路可通电？路可通电？AB解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三的通电线路可分三类类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。 当然当然,也可以把并联的也可以把并联的4个看成一类个看成一类,这这样也可分样也可分2类求解。类求解。.ABABm1m1
15、m2m2mnmn点评点评: : 我们可我们可以把加法原理以把加法原理看成看成“并联电并联电路路”; ;乘法原乘法原理看成理看成“串联串联电路电路”。如图。如图: :3.如图如图,一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从从的一个顶点爬到相对的另一个顶的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？点的最近路线共有多少条？A1B1C1D1ACDB 解解:如图如图,从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第二类, m2 =
16、12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近路最近路线共有线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。A1B1C1D1ACDB 4.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条条路可通路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地甲地乙地乙地丙地丙地丁地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法由甲
17、到丙有两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步, 所所以以 m1 = 23 = 6 种不同的走法种不同的走法;第二类第二类, 由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步, 所以所以 m2 = 42 = 8 种不同种不同的走法的走法; 所以从甲地到丙地所以从甲地到丙地共有共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。种不同的走法。 加法原理和乘法原理的共同点是什加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？么？不同点什么？ 答答: 共同点共同点是是, 它们都是研究完成一件事它们都是研究完成一件事情情, 共有多少种不同的方法。共有多少种不同的方法。
18、不同点不同点是是, 它们研究完成一件事情它们研究完成一件事情的方式不同的方式不同, 加法原理是加法原理是“分类完成分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是完成这件事。乘法原理是“分步完成分步完成”, 即这些方法需要分步即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一步都完成了且每一步都完成了,才能完成这件事情。才能完成这件事情。这也是本节课的重点。这也是本节课的重点。3. 何时用加法原理、乘法原理呢何时用加法原理、乘法原理呢?答答:完成一件事情有完成一件事情有n类方法类方法,若每一类方若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成头至尾完成,则计算完成这件事情的方法则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。总数用加法原理。 完成一件事情有完成一件事情有n个步骤个步骤,若每一步的若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这并且必须且只需完成互相独立的这n步后步后,才能完成这件事才能完成这件事,则计算完成这件事的方则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。法总数用乘法原理。再见！再见！作业：作业：P87，T3，P88，T5，6