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1、知识点大全2013河南专升本（云飞）版高数教材第一章知识点详细解析I、求函数的定义域。函数的定义域是自变量的取值范围，故求定义域时常常排除那些使函数没有意义的点。每个函数都有其定义域， 定义域不同， 即使对应法则一样， 两个函数也不是相等的。如一些基本初等函数， 观察其定义域： 根式(0)yx x， 分式1(0)yxx，三 角 函 数sin()yx xR， 反 三 角 函 数arcsin (1,1 )yx x， 指 数 函 数()xyexR，对数函数ln(0)yx x，幂函数(01)uyxxx且（注意：00无意义） 。考试中此种题目的考查有两种形式： （1）是对给定解析式的函数求定义域，若能根
2、据常见的函数的定义域列出不等式组，那么可以通过直接解不等式来完成，也可以利用验证法确认选项，注意取特殊点验证；（2）是抽象函数也即含有符号f的函数的定义域问题， 一共有三种形式， 无论是哪种形式都要最先确定函数的自变量是什么，再进行求解。例 1求下列函数的定义域（1）43)(xxf（2）xxf11ln)(（3）xxf21arcsin)(（4）314arccos)(xxf（5）)arcsin(lg)(xxf（6）)ln(ln)(xxf解：由分析式子表示的函数的定义域是使该式子有意义的所有实数构成的集合如分式的分母不能为零； 对数的真数必须大于零； 开偶次方根的数必须大于等于零；反三角函数则遵循对
3、该函数所规定的定义域；求复合函数)(xfy的定义域时，既要使)(x有意义， 又要使)(xf有意义，即要根据)(uf和)(x共同确定其定义域（l）要使43xy有意义，只要043x即可，即34x，因此它的定义域为,34知识点大全（2）由10101011xxxx即它的定义域为) 1 ,(（3）由121x及0 x得，2112xx，即它的定义域为),2121,(（4）由1314x得121314xx即它的定义域为1 ,21（5）由1lg x得101. 0 x所以它的定义域为10,1 .0（6）由0ln x得，1x即定义域为),1(例 2 （1）设)(xf的定义域为4,4，求)(2xf的定义域（2）设)(x
4、f的定义域为1 ,0求)1(xf的定义城解： （1）由442x得，22x即定义城为2,2（2）由110 x得，01x即定义域为0, 1. 例 3)(xf的定义域是1 ,0，)4()4()(xfxfx的定义域是（）A1 ,0B41,41C43,41D1 ,41解：定义域4341:4341454114101410:xDxxxxD，因此选 C 例 4 函数xxyln1) 12arcsin(的定义域是（）A )1 ,0(B 1 ,0(C )2,0(D 2, 0(解：选 A.由112x及1,0 xx解的函数Inxxy1)12arcsin(的定义域为)1 ,0(例 5 函数1)1ln(31)(xxxxf的
5、定义域是（）A （, 1) B （, 1）C ),3()3, 1(D 知识点大全), 3()3, 1(解 ： 选D. 由 题 意 ：03x，01x，01x， 所 以 得 到 函数1) 1ln(31xxxy的定义域为),3()3 ,1 (例 6 下列各对函数哪些是同一函数？（1）2xx与（2）2）与（xx（3）2ln2lnxx与（4）1112xxx与解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致只有（1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数这是因为：（1）两个函数的定义域都是R，对应关系也完全相同，即2xx（2）定义域不同xy的定义域为 R，2)( xy2的定义域为,0（3）定义域
6、不同2ln xy的定义域为, 00,，y= 2lnx的定义域为,0（4） 定义域不同1xy的定义域为 R，112xxy的定义域为1,xRxx例 7 在区间),0(内，与函数xxf2ln)(相等的函数是（） （200503） AxlnB2ln21xCxlnDxln解：我们知道xx2，因此选 D II 、函数之间的运算和函数性质的题目。函数之间的运算主要涉及求复合函数或外层函数。给出一个函数，只要能看出是由哪些初等函数、 基本初等函数符合而成的就可以了。利用常用方法就能解题。函数的性质：（1）单调性设函数)(xf的定义域为 D ，区间DI，如果对于区间 I 上任意两点21, xx，当21xx，恒有
7、)()(21xfxf，则称)(xf在区间 I 上是单调增加；如果对于区知识点大全间 I 上任意两点21,xx，当21xx，恒有)()(21xfxf，则称)(xf在 I 上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论 ）（2）有界性如果存在正数 M ，使得Mxf)(对任一Xx都成立，则称函数)(xf在 X上有界，如果这样的 M 不存在，就称函数)(xf在 X 上无界；这就是说，如果对于任何正数 M 总存在Xx1，使Mxf)(1，那么就称函数)(xf在 X 上无界有界性与区间 I 有关，如xy1在2, 1上有界，但在1 ,0上无界若函数)(xf
8、在 I 上有一个界 M ，则比 M 大的数都可以作为它的界，即界不唯一在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是),(情况下，分别是xyxyxyarctan,cos,sin在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时， 我们接触到的一般都是 “有界函数乘无穷小等于零” （3）奇偶性设函数)(xf的定义域 D 关于坐标原点对称如果对任一Dx，)()(xfxf恒成立， 则称)(xf为偶函数；如果对任一Dx，)()(xfxf恒成立，则称)(xf为奇函数函数奇偶性判断方法：根据奇偶性定义：如证得)()(xfxf，那么此函数为偶函数，如证得)()(xfxf，那么此函数为奇函数根据四则运算：奇奇奇，偶偶偶，
9、奇偶非奇非偶奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇指数运算用除法：奇偶1, 1)()(xfxf，知识点大全举例：1212)(xxxf运用1)()(xfxf,得)(xf为奇函数对数运算用加法：偶奇)(2,0)()(xfxfxf，e.g. )1ln()(2xxxf运用0)()(xfxf,得)(xf为奇函数如xyxyxyarctan,sin,3等是奇函数；而xyxycos,2是偶函数 （特别要说的是， 0 是既奇又偶的函数）（4）周期性设函数)(xf的定义域为D 如果存在一个正数，使得对于任一Dx有Dlx)(且)()(xflxf恒成立，则称)(xf为周期函数 l 为)(xf的周期，通常我们说的周期函数的周期是指最小
10、正周期这里我们总结一个正弦函数的周期公式：)sin(lwxBAyA表示的是上下移动， B 表示的是振幅， l 表示的水平移动，w与三角函数周期有关wT2一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数周期函数在每一个周期上的图形是相同的例如：24sin,sin1,cosyx yxyx是周期函数xyxxyxxyxy1sin,cos,cos,sin2不是周期函数（5）反函数设函数)(:DfDf是单射，则它存在映射DDff)(:1， 称此映射1f为函数f的反函数例如：xy2与2yx互为反函数；xay与xyalog互为反函数例 1 设2cos)(sin2xxfy
11、，求)(xf知识点大全解：因为xxxf22sin32sin1)(sin，所以23)(xxf例 2讨论下列函数的奇偶性（1）xxxfsin)(（2）1)(2xxxf（3）1)(xxf（4）)11ln()(xxxf解： （1）因为)(sin)sin()(xfxxxxxf，所以)(xf为偶函数（2）因为)(11)()(22xfxxxxxf，所以，)(xf为奇函数（3）1)(xxf既不是奇函数也不是偶函数（可称之为非奇非偶函数）（4）)11ln()11ln()()(xxxxxfxf0)11ln()11ln()11ln()11ln(xxxxxxxx即)()(xfxf，所以)(xf为奇函数. 例 3 在区
12、间1 , 1上，设函数)(xf是偶函数，那么)(xf（）A 是奇函数B 是偶函数C 既不是奇函数也不是偶函数D 不能被判定奇偶性解：记)()(xfxg，则在1 , 1上，有)()()()(xgxfxfxg，即)(xf为偶函数，故选 B例 4 设xf在区间),(内是奇函数，并且在区间),0(内严格单调增，那么函数xf在区间),(内（）A 严格单调减B 严格单调增C 既不严格单调增， 也不严格单调减D 可能严格单调增， 也可能严格单调减解：设任意21,xx,0，且21xx，则 f(x) 由在,0内严格单调增得)()(21xfxf，于是再有)(xf是,上的奇函数，得12xx，且)()(12xfxf=
13、0)()(12xfxf，即)(xf在,0上严格单增，故)(xf在,内严格单调增知识点大全说明：原题为“)(xf在,0内严格单调增”如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案III 、无穷小量阶的比较。（ 1） 定 义： 设 函 数)(xf在0 x的 某 一 去心 邻域 内 有 定 义 ，如 果对0,0M，当00 xx时，恒有Mxf)(成立，则称0 xx时)(xf为无穷大，记作)(lim0 xfxx注意“”仅是一个记号，不是通常的“数”，不能像数那样进行运算)(lim0 xfxx实质上是)(lim0 xfxx不存在的特殊情况若0)(lim0 xfxx，则称0 xx时)(xf为无穷小注意常数“ 0”
14、在x的任何趋向下都是无穷小，但除此之外的任何数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小（2）无穷小与无穷大的关系：若)(lim0 xfxx，则称0)(1lim0 xfxx；反之，若0)(lim0 xfxx，且)(xf在0 x的某个邻域内不为零，则)(1lim0 xfxx（通常说成，无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大，但是要注意上述的“0)(lim0 xfxx，且)(xf在0 x的某个邻域内不为零”）（3）无穷小的运算性质（下列结论均指自变量x的同一趋向下成立）有限个无穷小之和仍是无穷小；有限个无穷小之积仍是无穷小；有界函数与无穷小之积是无穷小（4）无穷小的比较设函数)(x和)(x，当0 xx
15、时都是无穷小；若0)()(lim0 xxxx，则称当0 xx时，)(x是比)(x较高阶的无穷小， 记作)(x)(xo(此时也称)(x是比)(x较低阶的无穷小）；知识点大全若)0()()(lim0kkxxxx，则称当0 xx时，)(x和)(x是同阶无穷小；特别，若1)()(lim0 xxxx，则称0 xx时，)(x和)(x是等价无穷小，记作)(x)(x（5）等价无穷小替换 （常应用于求极限的题目中）设0 xx时，)(x与)(x是等价无穷小，则)()(lim)()(lim00 xgxxgxxxxx；（当0 xx时，0)(x）)()()(lim)()()(lim00 xgxxhxgxxhxxxx注：
16、以上两式中的等号“=”应理解为：等号“=”两边的极限同时存在或同时不存在；若两边的极限存在则必相等等价无穷小量替换见第二部分本章重点和难点中的（3）. 例 1 下列函数中，当0 x是，与1xe等价的无穷小量是（）A xx sin2B 23xC 2sin xD 33x解：选 A.本题考察的是当0 x时，12xe与函数xx sin2的比值的极限为1IV 、求各种形式的极限。（1）两个重要极限：1sinlim0 xxx（第一重要极限）；exxx)11(lim0，exxx1)1(lim，特别地ennn)11(lim0（第二重要极限）例：xxx31)21(lim，会有多种方法求极限，以下列出三种：换元法
17、，令2,2txtx，所以原式化为323210)1(limettt知识点大全凑形式，3232210)21(limexxx; 零位乘无穷， 在该极限题中，x2 所在的位置为零位，x31所在的位置为无穷大，无穷零位0lim1xe（2）在下列一般形式的特例中0,000ba，m和n为非负整数时，有mnmnmnbabxbxbxbaxaxaxannnnmmmmn, 0,.lim002011022110.也即多项式的型求极限等于分子分母最高项系数之比。（3）多项式的00型求极限要首先分解因式，约去零因子再求极限。（4）分子（母）有理化求极限。（5）用等价无穷小量求极限。等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的
18、因式；此方法在各种求极限的方法中应作为首选。（6）用两边夹法则求极限。（7）用对数恒等式求)()(limxgxf极限。（8）用洛必达法则求极限。例 173357243lim357243lim332323xxxxxxxxnn， （mn）解：分子中变化最快的因子是33x；分母中变化最快的因子是37x. 3232342lim753nxxxx7373lim33xxn例 2求下列极限：（1）xxx13lim0；（2）xxx211lim；（3）)0(limaaxaxxx知识点大全（4）xxx121lim；（5）xxxxsin1sinlim20；（6）xxxxsinlim解 ： （ 1）3ln3lnlim1
19、lim13lim03ln00 xxxexxxxxx（ 这 里 利 用 了0 x时 ，3ln1lnxex）; （2）22211lim11limexxxxxx; （3）括号内分子、分母同除以x，再用第二重要极限：aaaxxxxxxxeeexaxaxaxaaxax211lim11limlim; （4）本题是“ 1 ”型，应用第二重要极限：22111121121)1(1lim)1(1limlimexxxxxxxxx; （5）注意到11sinx，而0 x时，x是无穷小，因此有0011sinsinlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx; （6）因为01limxx，1sin x，即0sinli
20、mxxx, xxxxsinlim101sin1limxxx例 3设31lim21xbaxxx，则ba,分别为（） A 1，1B 1，2C 2，1D 1，2解：选 D .将 D 的结果代入极限式左端得知识点大全3)2(lim1)2)(1(lim121lim1121xxxxxxxxxx故选 D V、函数连续性的问题。（1）我们把函数)(xfy在点0 x连续的定义用不同的方法来叙述：设函数)(xfy在0 x的某邻域内有定义，如果0)(lim0 xfxfxx，则称)(xfy在0 x处连续设函数)(xfy在0 x及0 x的左侧有定义，如果0)(lim0 xfxfxx，则称)(xfy在0 x处左连续设函数
21、)(xfy在0 x及0 x的右侧有定义，如果0)(lim0 xfxfxx，则称)(xfy在0 x处右连续若函数)(xfy在区间 I 上每点都连续，则称)(xfy在区间 I 上连续规定：函数在区间端点处的连续性， 左端点只要求右连续， 右端点只要求左连续函数)(xf在0 x处连续与它在该点的左右连续性的关系；)(xf在0 x处连续的充分必要条件 是它在该点既左连续又右连续（2）初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续在区间 I 上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在 I 上连续由连续函数经过有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续在区间 I 上连续且单调的反函数在对应的定义区间上连续初
22、等函数在定义区间上连续若)(ufy在0u处连续，且0)(lim0uxxx， 则)()(lim)(lim000ufxfxfxxxx. 例 1 当常数ba,取何值时，函数0010sin)(2xbxxaxxxxf在 R上连续知识点大全解：因为在0 x上xxxfsin)(连续，在0 x上bxxf2)(连续，所以只要，)(xf在0 x处也连续即可因bbxxfxxxfxxxx)(lim)(lim, 1sinlim)(lim20000，且1)0(af由)(xf在0 x处连续知，必有11ab即2a, 1b例 2 讨论函数)11 ()(xxxf的连续性解：1111)2()(2xxxxxxxf，显然)(xf在1x
23、或1x时是连续的又)1 (1)1()1 (fff，所以)(xf在 R上连续VI 、函数间断点的类型。若函数)(xf在0 x处不连续，则称)(xf在0 x处间断间断点的分类)(lim)(lim)(lim000震荡型无穷型）（特点是：极限不存在第二类：非第一类函数值可去型：极限值右极限跳跃型：左极限第一类：xfxfxfxfxxxxxx例 1设2lg1sin11)(2xxxxxxf，求)(xf的间断点并指出其类别解：因为)(xf分别在区间（, 1,1 , 0,0, 2,2,内是初等函数，因此是连续的，而分别在1 ,0,2x处无定义，故在这三点处间断，又)(lim2xfx，所以2x是第二类间断点（无穷
24、间断点） ；2lg1)(lim0 xfx，所以0 x是第一类间断点（可去间断点） ；3lg1sin2)(lim3lg1sin2)(lim11xfxfxx, 所以1x是第一类间断点（跳跃间断点） 例 2求11sintan)(xxxxf的间断点，并指出其类型解 ： 函 数)(xfy当,.)2, 1,0(2, 1 , 0kkx时 是 间 断 的 ， 而知识点大全1sin1)(lim0 xfx，因此0 x是第一类问断点（可去间断点） ；)(lim1xfx不存在，因此1x是第二类间断点（振荡间断点） ；,.)2, 1, 0()(lim2kxfkx故这些是第二类间断点（无穷间断点） VII 、零点定理证明
25、方程根的存在性或者含有的等式。连续函数在闭区间上的性质（1）最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上必取得最大值和最小值（2）有界性定理：闭区间上连续的函数必在该区间上有界（3）零点存在定理：在闭区间上连续的函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内至少有一个零点推论：在闭区间上连续的单调函数，且两端点的函数值异号，则它在该区间内有唯一的一个零点（4）介值定理：在闭区间上连续的函数必取得介于两端点的函数值之间的任何值推论： 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值例 1证明方程12326xxx至少有一个正根解析：要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数， 并证明它
26、在某个正的区间上连续且在两端点上的函数值异号证令123)(26xxxxf，则05514122)2(,01)0(6ff，又)(xf在2 ,0上连续由零点存在定理知，至少有一点)2,0(使得0)(f即方程12326xxx至少有一个正根例 2 证明方程bxaxsin（其中0,0 ba） ，在ba,0上至少有一个根证明： 令bxaxxfsin)(，)(xf显然在ba,0上连续，且0)sin(1)(,0)0(baabafbf当0)(baf时，bax就是满足题意的一个根；知识点大全当0)(baf时，0)()0(baff，由零点存在定理知，至少有一点),0(ba，使得0)(f即原方程在),0(ba内至少有一个根综上所述，bxaxsin在ba,0上至少有一个根