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1、学习必备欢迎下载数学归纳法 (第一课时 )说课稿1、说教材1.1 教材分析1.1.1 教学内容： 数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2 第二章第3 节的内容，根据课标要求，本书该节共2 课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。1.1.2 地位作用： 前面学生已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法数学归纳法。它是一种用于关于正
2、整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系，本节内容是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 1.2教学目标1.2.1知识与技能：（ 1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（ 2）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质（ 3）掌握数学归纳法证题的两个步骤（ 4）会证明简单的与正整数有关的命题。1.2.2过程与方法(1) 努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学
3、习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程-发现问题、提出问题、分析问题、解决问题. (2) 体会类比的数学思想。(3) 感受从有限思维发展到无限思维的思考历程，即无限的问题用有限的步骤来解决的思想方法。1.2.3情感目标（1）纠正片面观点“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义！” 。体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值（2）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及勇于探索的精神。（3）学生通过发现问题、提出问题、解决问题、合作交流等环节培养了数学交流能力和合作精神。1.3 教学重难点1.3.1重 点根据教学大纲要求、本节课内容
4、特点和学生现有知识水平，确定如下教学重点：了解数学归纳法的基本思想和本质，掌握它的基本步骤，能运用数学归纳法证明一些简单的与正整数n学习必备欢迎下载（n 取无限多个值）有关的数学命题。1.3.2难 点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）第二个步骤中对假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1 时结论正确，不易发现具体问题的递推关系。2、说教法2.1 教学问题诊断结合现阶段学生的认知结构、认知水平和知识跨度，对教学中可能遇到的困难做如下诊断：首先，学生对数学归纳法的有效性和完备性可能存疑，不易理解和接受；其次，学生容易对归纳法中第二步的n=k 时假设的作用，
5、并且只能利用假设的结果推出n=k+1 时也成立这一做法的理解上存在思维障碍。2.2 教学对策分析通过分析教材和学生认知规律，创造性地使用教材，做到既重视教材，更重视学生，运用类比启发探究的方法进行教学；借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学，具体来说，突出如下几点：（1）数学与生活联系在一起，数学源于生活，又用于生活学校科技活动中的多米诺骨牌项目体现了数学归纳法原理，通过对多米诺骨牌活动的分析，抽象概况出数学归纳法的要义和实施步骤。而数学归纳法原理又反过来指导生活实践乃至生产创造。（2）培养学生的思维品质，感受自然的数学从实例中感受数学归纳法产生的必要性，从发现问题，提出问题，解决问题
6、，以及应用新知，感受数学自然发生、发展的过程。数学归纳法实现了将无限步骤的问题转化为有限步骤来解决，培养了学生严密的推理能力、训练了学生的抽象思维能力、体验数学内在美和自然美。（3）类比的思想贯穿整个课堂学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k 得出 n=k+1 时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。（4）突出学生的学习主体地位本节课采取教师做主线引导，适当启发，学生自主探究，小组合作的学习方法。在科技节中学生已经亲身体验了多米诺骨牌这一项，非
7、常熟悉骨牌是如何倒下的，已经具备了自主探究学习归纳法原理的基础。3、说学法3.1 学情分析所授课班级为理科平行班，学生学业水平良好，思维活跃，上课发言积极，能够主动的思考问学习必备欢迎下载题，具有一定的探索能力，能够提出一些有意思的看法，课堂教学的生成性较强。在本章节之前已经学完了合情推理的内容，因此能够利用类比来进行相应的探索。3.2 学法分析本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“自主探究式学习法”进行学习。具体来说主要采用下面的模式进行：观察情景发现问题提出问题探索解决 ( 类比归纳、 抽象概况数学模型)分析论证应用强化反馈提升。自主探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生
8、、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神; 在探究过程中学习科学研究的方法; 在探究过程中形成坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终身学习，终身发展都有积极意义，这就是让学生学会学习。4、说教学过程主干层次为：创设情景（提出问题）;探索解决问题的方法（建立数学模型）;方法尝试（感性认识）;理解升华（理性认识）;方法应用（解决问题）;课堂小结（反馈与提高） 。教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程安
9、排如下：【教学过程设计】教 学 环节教学内容课 堂情 况设计意图创设情境，引入问题情境 1 数列,1, 1,*11Nnaaaaannnn已知通过对4,3 ,2, 1n前 4 项归纳， 猜想nan1可以让学生通过数列的知识加以验证感知“不完全归纳法有时是正确的” 。情境2 已知数列5a的通项公式22(55)nann，学生分别计算1a、2a、3a、4a的值，猜想na的值，计算5a的值。感知“不完全归纳法有时是错误的”。结论： 不完全归纳法不能作为论证的方法！提出问题：如何证明这类有关正整数的命题呢？学生能够很快得到问题1， 2 的答案，而结果会让学生眼前一亮。将学生的好奇心调动起来，思维也开始活跃
10、，有利于下阶段学习。培养学生大胆猜想的意识和数 学 概 括 能力鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为“迁移就是概括”， 抓住认知 突破口 学生的概括过程。从而引入本节课的新课内容。学习必备欢迎下载以情境1 的问题为例进行探索，看能否找到一种合适的方法。分析题目特征：情境1 问题中数列的后一项都有前一项推出，学校科技节活动中有没有类似的项目？（前一项对后一项造成影响）学生开始联想引出多米诺骨牌。探索解决问题的方法1. 多媒体演示学校科技节时同学们玩过的多米诺骨牌游戏的视频。引导学生探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：（1）第一块要倒下; （2）当前面一块倒下时，后面一块必须被第一块砸倒;
11、 强调条件（ 2）的作用：是一种递推关系（第k 块倒下，使第 k+1 块倒下）。2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境1 中对于通项公式nan1的猜想。“多米诺骨牌”原理 第 一 块 骨 牌 倒 下 ； 若 第k块 倒 下 ，则使得第k+1 块倒下验证猜想1n验 证 猜 想 成 立 如 果kn时 ， 猜想成立。即kak1，则当1kn时，1111111kkkaaakkk即1kn时猜想成立学生看到技节活动时自己亲手设计的多米诺骨牌推倒的视频，很兴奋，感叹它的美丽！学生踊跃尝试 类 比 归纳。播放视频活跃课堂氛围，激发 学 生 的 兴趣。通过探讨骨牌全部倒下的条件，为类比得出数学归纳法做铺垫。初步尝
12、试，感性认识学习必备欢迎下载引导学生概 括 , 形成科学方法( 引导学生分组讨论后，由小组代表归纳) 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下(1) 证明当n取第一个值0n时结论正确； （归纳奠基 ）(2) 假设当nk (k*N，k0n) 时结论正确 , 证明当nk 1 时结论也正确 （归纳递推 ）完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都正确这种证明方法叫做数学归纳法学生参与小组讨论，并派出代表，类比上面的过程做出归纳，很好的参与到课堂学习中培养学生合作交流和归纳抽象的能力。辩证认识，理解升华1. 置疑对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。2. 论证（说理）师生共同探讨数
13、学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理性认识。本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（ 1） 、 （2）两个条件时 n=1时命题成立因为有（ 2）正确（这时 k=1）1,2nk即 n=时命题成立因为有（2）正确( 这时 k=2)2,3 nkn即时命题成立因为有（2）正确（这时k=3 ）14nk时命题成立对一切*nN， 命题均成立。让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。学生感叹数学的魅力，一种好的方法，用有限的步骤解决了无限的问题由感性认识上升 为 理 性 认识，感受数学思 维 的 严 密性，理解类比在我们解决问题中的作用，进而体会问
14、题是数学发展的根本动力。学习必备欢迎下载巩固认知结构，充实认知过程例1.用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn证明： （1）当 n=1 时，左边112，右边6)112() 11(1，等式成立。（2）假设当n=k 时，等式成立，即6)12)(1(3212222kkkk则当 n=k+1 时，左边 =223221321kk1) 1(21)1()1(61)672)(1(61)1(6) 12()1(61) 1(6) 12)(1(22kkkkkkkkkkkkkk=右边由（ 1） 、 （2）可知，n*N时，等式成立。【简要总结】多数学生能顺利地用数学归纳法解决该问题，可能有个别学生在n=k+
15、1 的 证明中没有使用归纳假设例题与练习的设置为了让学生应用中感受数学归纳法的本质，同时注意学生在书写表达上是否规范。分析易错点：n=k+1 的 证 明中没有使用归纳假设，从而强化正确认知【慧眼识对错】1. 下面的证明过程有没错？证明 2+4+6+2n=nn2( 缺少归纳奠基) 2. 证明 2+4+6+2n=nn2学生辨析两种证明方法异同、对错强化两个证明步骤，缺一不可即当n=k+1 时等式也成立。222246224622(1)()2(1)(1)(1)1nkkkkkkkkkkknk证明 : 假设时，等式成立，即那么 n=k+1时，即时等式也成立从而原命题成立学习必备欢迎下载巩固认知结构，充实认
16、知过程 (没用上归纳假设) 【牛刀小试】练习： 已知数列,)13)(23(1,1071,741,411nn设Sn为数列前 n项和，计算 S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。（解 : 可以看到， 上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数 n表示为 3n+1, 可以猜想13nnSn证明过程由学生自主完成。）学生动手在应用中感受强化小学生自主小结谈收获：（1）与正整数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明。学生谈收获锻炼学生归纳22246224622(1)2123(1)(11)(1)2(1)(1)21nkkkkkkkkkkkknk2证明
17、 :(1)n=1 时, 左边 =2=1 +1=右边(2) 假设时，等式成立，即那么 n=k+1时，即时等式也成立从而原命题成立134131011031031071727274141414114321SSSS学习必备欢迎下载结（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立2假设 n=k（kn0）时命题成立，证明n=k+1 时命题成立，由 1和 2对任意的nn0, n N* 命题成立。（3）证明时要特别注意第二步必须要用上归纳假设（4）本节课充分体现了类比的思想教师补充：在以后的学习中，我们将会遇到使用数学归纳法证明与正整数有关的不等式及几何问题，也
18、会遇到n0的取值不是1 的情况。在下一节课我们还将通过具体的例子使同学们明白为什么在使用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可。和需要注意的地方总结的能力教师提出后续可能会出现的问题，为进一步深入学习做铺垫，分层作业必做：习题2.3 A组 1.2.3 选做：(1) 思考：生活中还有哪些体现数学归纳法的例子？（如站队对齐，一排单车一个倒全部倒等）(2) 平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设f(n)为 n条直线的交点个数，求证：分层作业让每个学生都学有所获。教学评价：采取多元化评价方式，1. 自主学习的明晰度2. 合作学习的有效度3. 课堂反馈的有效度附 1：板书设计23 数学归纳法问题 1 问题 2 数学归纳法（1）（2）探究数学归纳法原理例1 练习： （学生展示）说明：学生课堂练习在展示平台上展示；小结与作业在多媒体上显示附 2：教学反思成功之处：1. 充分考虑学生的认知水平，精心设计每一个教学环节，力争课堂有趣，有效。2. 注重学生思维品质的培养，充分类比，力求使知识发生的过程是自然的。3. 突出学生的主体地位，营造和谐宽松的学习氛围。不足之处：由于时间关系，有些环节可能略显紧凑。121)(nnnf