《2020年专题03 二次函数与直角三角形问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年专题03 二次函数与直角三角形问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、解决此类题目的基本步骤与思路1.要求点坐标需要先设点坐标2.分类讨论思想，构成直角有多种可能性3. 直角三角形常用方法：勾股定理与相似，尤其是K字形相似的构造和运用。常用的公式定理1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（考察频率很高） 2.直角三角形30角所对应的边等于斜边的一半（考察频率很高）3.中点坐标公式4.两点间距离公式。5.射影定理来源:Zxxk.Com注意事项：1.在求解二次函数的点坐标时不要出现计算错误2.对于复杂的二次函数表达式，会通过十字相乘等因式分解的方法分解3.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。4.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似
2、去处理。二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【解析】：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（
3、2）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2， PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标解答：（1）依题意得：，解得，抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，直线y=mx+n的解析式为y=x+3；来源:学科网若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）【试题精炼】如图，二次函数y=a（x22mx3m2）（其中a，m是常数，且a0
4、，m0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，3），点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE（1）用含m的代数式表示a；（2）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 【解析】：（1）由C在二次函数y=a（x22mx3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式（2）要使线段GF、AD、AE的长度为三边
5、长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可解答： （1）解：将C（0，3）代入二次函数y=a（x22mx3m2），则3=a（003m2）， 解得 a=（2）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，4），过点F作FHx轴于点H连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点GtanCGO=，tanFGH=，=，OG=3mGF=4， AD=3，=，AD：GF：AE=3：4：5，以线段GF，AD，AE的长
6、度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为3m【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（1，0）B点在抛物线yx2x2的图像上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点的横坐标为3 (1)求BC所在直线的函数关系式 (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】：本题主要考查全等三角形的判定与性质和二次函数的应用。（1）由三角形全等可得BD=OC=1，即可得点B的纵坐标，设出直线的函数关系式，把B,C两点的坐标代入，求出直线的解析式。（2）首
7、先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行讨论。以AC为直角边，C点为直角顶点，根据题意推出点P1为直线与对称轴直线x=-的交点，根据直线的解析式和抛物线对称轴的解析式，即可得到点P1的坐标。以AC为直角边，A点为直角顶点，对称轴上有一点P2，使，AP2AC过点A作AP2BC，确定点P2的位置。根据AP2BC，即可推出直线AP2的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可得到P2的坐标。 解答：（1）C点坐标为（-1,0），BD=CO=1B点的横坐标为-3，B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得BC所在直线的函数关系式为y=x 若以为AC直角边，点
8、A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2AC，如图所示，过点A作AP2BC，因为BC的解析式为y=x，设直线AP2的解析式为y=x+d。直线交对称轴直线于点P2，即点P2的横坐标为-。因为OD=3，OC=1，所以OA=CD=2，所以A点的坐标为(0,2)。将点A的坐标代入直线AP2，所以直线的解析式为2y=x+2，所以点P2的坐标为(-, )。综上所述，点的坐标为P1 (-, -)、P2(-, )。 【巩固练习】如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C（1）则点A的坐标是 ；（2）当b = 0时（如图（2），ABE与ACE的面积大小关系如
9、何？当时，上述关系还成立吗，为什么？图（2）图（1）（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由【解析】：（1）知道抛物线的解析式,要求与y轴的交点,令x=0就能求得.（2）当b=0时,直线为y=x,联立两方程式解得交点坐标,由三角形面积公式分别求出两三角形的面积.当b-4时,仍然联立方程解坐标,作BFy轴,CGy轴,垂足分别为F,G,解得BF和CG的值,再由面积公式求面积值.（3）由BF=CG,BEF=CEG,BFE=CGE=90可证BEFCEG,可知BE=CE,即E为BC的中点,当OE=CE时,OBC为直角三角形,解三角形得到答案。学科网解答：（1）点A的坐标为（0，4）（2）当b=0时，直线为，由，解得，所以B、C的坐标分别为（2，2），（2，2），所以当时，仍有成立，理由如下：由解得，所以B、C的坐标分别为，作轴，轴，垂足分别为F、G，则而和是同底的两个三角形，所以（3）存在这样的b。因为，来源:学科网ZXXK所以，所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，OBC为直角三角形因为，所以。而，所以 解得，所以当b=4或2时，OBC为直角三角形来源:学科网 图（2）