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1、学习必备欢迎下载函数单调性u=g(x) 增增减减y=f(u) 增减增减y=fg(x) 增减减增新课标人教版高中数学 (必修 1)知识点导学一、集合 :1. 集合的含义 : 某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 每一个对象叫集合的一个元素。2. 元素的三个特性:(1)确定性 : 对于一个给定的集合, 集合中的元素是确定的, 任何一个对象或者是或者不是这个给定集合的元素,(2) 互异性 : 任何一个给定的集合中, 任意两个元素都是不同的对象, 相同的对象归入一个集合时, 仅算一个元素,(3) 无序性 : 集合中的元素是平等的 , 没有先后顺序, 判断两个集合是否一样, 仅需比较它们的元素是否一样
2、, 不需考查排列顺序是否一样,(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3. 集合的表示 : 列举法 : 把集合中的元素一一列举出来, 用一个大括号括起来 , 元素与元素之间用逗号隔开, 描述法 : 将集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法, 语言描述法 : 如: 不是直角三角形的三角形, 数学式子描述法: 如: 不等式 x-32 的解集是 xR|x-32 或x| x-32。4. 集合的分类:(1) 有限集 : 含有有限个元素的集合,(2)无限集 : 含有无限个元素的集合,(3)空集 : 不含任何元素的集合,如:x|x2=-5 。 5. 集合间的基本关系:(
3、1) 包含关系 ( 子集 ):AB有两种可能 : A是 B的一部分 ,A与 B是同一集合 , 集合A不包含于集合B或集合 B不包含集合A,记作 AB或 BA,(2) 相等关系 (若 55 且 55，则 5=5), 如 :A=x|x2-1=0 与B=-1,1相等 , 对于两个集合A与 B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素 , 集合 B 的任何一个元素都是集合A的元素 , 就说集合A等于集合 B,即:A=B, 任何一个集合是它本身的子集,AA,真子集 : 如果 AB且 A B, 就说集合 A是集合 B的真子集 , 记作 AB或 BA,若 AB且 BC, 则 AC,若 AB且 BA,则 A=
4、B,(3) 不含任何元素的集合叫空集 , 记为, 规定 : 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。6. 集合的运算 :(1) 交集 : 一般地 , 由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合叫A与 B的交集 ,记作 AB(读作 A交 B), 即 A B=x|x A且 xB,(2)并集 : 一般地 , 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫A与 B的并集 , 记作 AB( 读作 A并 B), 即 AB=x|x A或 xB,(3)交集与并集的性质:AA=A,A=,A B=B A,AA=A,A=A,AB= BA,(4) 全集与补集 : 补集 : 设 S是一个集合 ,A是 S 的
5、一个子集 , 即 AS, 由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫S 中子集A 的补集 ( 余集或差集 ), 记作 :CSA,即 CSA =x xS 且 xA, 全集 : 如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合就可以看作一个全集, 通常用 U来表示 , 性质 :CU(C UA)=A,(CUA)A=,(CUA) A=U 。二、 函数概念及其性质:1. 函数的概念 : 设 A,B 是两个非空数集, 按照某个确定的对应关系f, 使得对于集合A中的任意一个数 x, 在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 , 称 f:A B为从集合A到集合 B的一个函数 , 记作 y=f(
6、x)(xA),x 叫自变量 ,x 的取值范围A叫函数的定义域, 与 x 的值相对应的y 值叫函数值 , 函数值的集合 f(x)|xA叫函数的值域 ,(1) 若只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域, 则函数的定义域是指能使这个式子有意义的实数的集合,(2)函数的定义域 ,值域要写成集合或区间的形式,(3) 能使函数解析式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,(4) 求函数定义域的主要依据: 分式的分母不为零, 偶次方根的被开方数大于或等于零, 对数式的真数大于零, 指数和对数式的底数大于0 且不等于 1, 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 那么它的定义域是使各部分都有
7、意义的x的值组成的集合, 指数为零底数不等于0, 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,(5) 函数三要素 : 定义域 , 对应关系和值域 , 构成函数的三个要素是定义域, 对应关系和值域, 值域是由定义域和对应关系决定的, 两个函数的定义域和对应关系完全一致, 这两个函数是同一个函数, 两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的字母无关,(6)值域 : 函数的值域取决于定义域和对应法则, 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 , 熟练掌握一次函数, 二次函数 , 指数函数 , 对数函数的值域, 它是求解复杂函数值域的基础。2. 函数图象
8、 :在平面直角坐标系中 , 以函数 y=f(x)(x A)中的 x 为横坐标 ,函数值 y 为纵坐标的点P(x,y) 的集合 C,叫函数 y=f(x)(xA)的图象 ,C上每一个点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),以满足 y=f(x)的每一组有序实数对x,y 为坐标的点 (x,y)均在 C上, 记为C= P(x,y)|y=f(x),xA, 图象 C一般是一条光滑的连续曲线( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。3. 区间 :(1) 区间的分类 : 开区间 , 闭区间 ,半开半闭区间,(2) 无穷区间 ,(3) 区间的数轴表示。 4
9、. 映射 : 一般地 , 设 A,B 是两个非空集合, 如果按照某一个确定的对应法则f, 使得对于集合A 中的任意一个元素x,在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应 ,那么就称对应f:AB 为从集合A到集合 B的一个映射 , 记作 f:AB,给定一个集合 A到 B的映射 ,a A,b B且元素 a 和元素 b 对应 , 元素 b 叫元素 a 的象 , 元素 a叫元素 b 的原象 , 函数是一种特殊的映射 , 映射是一种特殊的对应, 集合 A,B 及对应法则f 是确定的 , 对应法则具有方向性, 强调从集合A 到集合 B的对应, 它与从 B到 A的对应关系一般是不同的, 映射 f:A B应满
10、足 :(1) 集合 A中的每一个元素, 在集合 B中都有象 , 并且象是唯一的 ,(2) 集合 A中不同的元素, 在集合 B中对应的象可以是同一个,(3) 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5. 分段函数 : 在定义域的不同部分上有不同的解析式的函数, 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的解析式 , 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而应写出函数的几种不同解析式并用一个左大括号括起来, 分别注明各部分自变量的取值范围,(1) 分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数,(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集 , 值域是各段值域的并集。6. 复合函数 :
11、若 y=f(u)(uM),u=g(x)(x A), 则 y=fg(x)=F(x)(xA), 称 f,g的复合函数 , 如:12xy,212logxy等。7. 函数的单调性 :(1) 增减性 : 设函数 y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x1,x2, 当 x1x2时, 都有 f(x1)x2时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说f(x)在区间 D上是增函数 ,区间 D称为 y=f(x)的单调增区间 , 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2, 当 x1f(x2),或当 x1x2时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说f(x) 在区间
12、D上是减函数 , 区间 D称为 y=f(x)的单调减区间 , 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质,(2) 图象特点 : 函数 y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数, 函数 y=f(x)在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性 , 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的( 从右到左是下降的), 减函数的图象从左到右是下降的( 从右到左是上升的),(3)函数单调区间与单调性的判定方法:A. 定义法 : 任取x1,x2D 且 x11 且nN*, 当n是奇数时 , 正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,a的n次方根用符号na表示 , 式子na叫根式 ,n叫
13、根指数 ,a叫被开方数 , 当n是偶数时 , 正数的n次方根有两个 , 它们是互为相反数, 正数a的正的n次方根用符号na表示 ,负的n次方根用符号 -na表示 , 正的n次方根与负的n次方根可以合并成na(a0), 负数没有偶次方根 ,0 的任何次方根都是0, 记作00n。 当n是奇数时 ,aann, 当n是偶数时 ,(0)|(0)nnaaaaaa,(2) 分数指数幂:*(0, ,1)mnnmaaam nNn,*11(0,1)mnmnnmaam nNnaa, 零的正分数指数幂为0, 零的负分数指数幂没有意义 , 整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,(3)实数指数幂的运算性质:(1)r
14、sr sa aa), 0(Rsra, (2)()rsrsaa),0(Rsra,(3)()rrra bab (0,0,)abrR。2. 指数函数及其性质:(1)指数函数的概念: 一般地 , 函数) 1, 0(aaayx且叫指数函数 ,x 是自变量 , 函数的定义域为R,(2) 指数函数的图象和性质: 6543211422460165432114224601向 x 轴正负方向无限延伸，函数的定义域为R，函数图象都在x 轴上方，值域为(0,)即 R+图象关于原点和x 轴及 y 轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(0,1) ，1a0(0)a在( )xf xa中，总有(0)1f和(1)fa图象
15、从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降图象从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升增函数 ,01xxya当时,001xxya当时减函数 ,001xxya当时,01xxya当时( 二) 对数函数 :1. 对数 :(1) 一般地 , 如果Nax) 1,0(aa, 那么数x叫做以a为底N的对数 , 记作Nxalog(a叫底数,N叫真数 ,Nalog叫对数式 ),xNNaaxlog, 两个重要对数 : 常用对数 :以 10 为底的对数Nlg, 自然对数 : 以 无 理 数71828.2e为 底 的 对 数Nln,(2)对 数 的 运 算 性 质 : log ()loglogMNaaaMN, logloglogM
16、NMaaaN, loglognaaMnM)(Rn, 换 底 公 式 :logloglogbcacab(0a且1a,0c且1c,0b),(1)loglogmnnamabb,(2)1loglogabab,2. 对数函数 :(1) 对数函数的概念: 函数0(logaxya且)1a叫 对 数 函 数 ,x是 自 变 量 , 函 数 的 定 义 域 是 (0,+ ),对 数 函 数 的 定 义 与 指 数 函 数 类 似 , 都 是 形 式 定义,xy2log2,55logxy都不是对数函数, 只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质: 32521510505115225112345678011
17、3252151050 511 522 5112345678011函数图象都在y 轴右侧 , 函数的定义域为(0, ), 向 y 轴正负方向无限延伸, 函数的值域为R 函数图象关于原点和x 轴及 y 轴都不对称 , 是非奇非偶函数, 函数图象都过定点(1,0),01loga在( )logxaf x中，总有(1)0f和( )1f a增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升1log0axyx当时,01log0axx当时,y=01log0axx当时,y=,1log0axx当时,y=(三 ) 幂函数 :1. 定义 :一般地 , 形如xy)(Ra的函数称
18、为幂函数,为常数。2. 性质 :(1) 幂函数在 (0,+ ) 上都有定义 ,图象都过定点(1,1),(2)当0时 , 图象过原点且在区间),0上是增函数 , 当1时, 图象下凸 , 当10时, 图象上凸 ,(3)当0时, 图象在区间),0(上是减函数 , 在第一象限 , 当x从右边趋向原点时, 图象在y轴右方无限逼近y轴正半轴 , 当x趋于时, 图象在x轴上方无限逼近x轴正半轴。四、函数应用 ( 函数的零点 ):1.使0)(xf成立的实数x叫函数)(Dxxfy的零点 ,2. 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根 , 函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标, 方程0)(xf有实数根函
19、数)(xfy图象与x轴有交点函数)(xfy有零点 ,3. 求函数)(xfy的零点 :代数法 : 求方程0)(xf的实根 , 几何法 : 对不能用求根公 式 的 方 程 , 可 将 它 与 函 数)(xfy的 图 象 联 系 起 来 , 用 函 数 的 性 质 找 零 点 。 4. 二 次 函 数 的 零 点 : 函 数(1)xyaa( 01)xyaal o g(1)xayal o g( 01)xaya学习必备欢迎下载)0(2acbxaxy, 当时 , 方程02cbxax有两个不等实根, 图象与x轴有两个交点，函数有两个零点,当时 , 方程02cbxax有两个相等实根( 二重根 ), 图象与x轴有一个交点, 函数有一个二重或二阶零点, 当时 , 方程02cbxax无实根 , 图象与x轴无交点 , 函数无零点。