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1、矩形、菱形与正方形一、选择题 (每小题 6 分，共 24 分) 1(2014枣庄 )如图，菱形ABCD 的边长为4，过点 A，C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和 AD的延长线于点E，F，AE3，则四边形AECF 的周长为 (A) A22 B18 C14 D11 2(2014丽水 )如图，小红在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线 CD 即为所求 连结 AC，BC，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 一定是 (B) A矩形B菱形C正方形D等腰梯形3(2014呼和浩特 )已知矩形 A
2、BCD 的周长为20 cm，两条对角线AC ，BD 相交于点 O，过点 O 作AC 的垂线 EF，分别交两边AD， BC 于点 E，F(不与顶点重合)，则以下关于CDE 与 ABF 判断完全正确的一项为 (B) A CDE 与 ABF 的周长都等于10 cm，但面积不一定相等B CDE 与 ABF 全等，且周长都为10 cmC CDE 与 ABF 全等，且周长都为5 cmD CDE 与 ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定4(2014宜宾 )如图，将n 个边长都为2 的正方形按如图所示摆放，点A1， A2， An分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B) An Bn1
3、 C(14)n1D.14n 二、填空题 (每小题 7 分，共 28 分) 5(2014凉山 )顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是_菱形 _学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6 m 和 8 m，则这个花园的面积为_24_m2_6(2014毕节 )将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为_30_度7(2014金华 )如图，矩形ABCD 中， AB 8，点 E 是 AD 上的一点，有AE4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点F，连接 EF 交 CD 于点 G.若点 G 是 CD 的中点，则BC
4、的长是 _7_,第 7 题图 ),第 8 题图 ) 8(2013钦州 )如图，在正方形ABCD 中，E 是 AB 上一点， BE 2，AE3BE，P是 AC 上一动点，则 PBPE 的最小值是 _10_解析：如图，连接DE ，交 AC 于点 P，连接 BP，则此时 PBPE 的值最小，四边形ABCD 是正方形， B，D 关于 AC 对称， PBPD， PB PEPDPEDE， BE2，AE3BE， AE 6，AB8， DE628210，故 PBPE 的最小值是10.故答案为10三、解答题 (共 48 分) 9(12 分 )(2013白银 )如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E
5、 是 AD 的中点，过A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点F，且 AFBD ，连接 BF. (1)BD 与 CD 之间有什么数量关系，并说明理由；(2)当 ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由(1)BDCD. 理由如下： AF BC， AFE DCE ， E 是 AD 的中点， AE DE ，在 AEF和DEC 中，AFE DCE ，AEF DEC ，AEDE ， AEF DEC (AAS)， AFDC， AF BD， BD CD(2)当 ABC 满足： ABAC 时，四边形AFBD 是矩形理由如下：AF BD，AF BD，四边形AFBD 是平行四边形，ABAC
6、 ，BD CD， ADB90， ?AFBD 是矩形10(12 分)(2014临夏 )点 D，E 分别是不等边三角形ABC( 即 ABBCAC) 的边 AB，AC 的中点 O是 ABC 所在平面上的动点，连接OB，OC，点 G， F分别是OB，OC 的中点，顺次连接点D， G，F，E. (1)如图，当点O 在 ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；(2)若四边形DGFE 是菱形， 则 OA 与 BC 应满足怎样的数量关系？(直接写出答案， 不需要说明理由 ) (1)证明： 点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点， DE BC，且 DE 12BC，同理， GF BC，且 GF12
7、BC， DEGF 且 DE GF ，四边形DEFG 是平行四边形(2)解：当 OABC 时，平行四边形DEFG 是菱形11(12 分)(2014梅州 )如图，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且DFBE. (1)求证： CECF；(2)若点 G 在 AD 上，且 GCE45，则 GEBEGD 成立吗？为什么？(1)证明： 在正方形 ABCD 中，BCCD，BCDF ，BEDF， CBE CDF (SAS)CECF(2)解： GE BE GD 成立 理由是： 由(1)得CBE CDF ， BCE DCF ， BCE ECD DCF ECD ，即 ECF
8、BCD 90，又 GCE 45， GCF GCE 45. CECF ， GCE GCF ，GCGC， ECG FCG (SAS)GE GF.GE DFGD BEGD12(12 分)(2013呼和浩特 )如图，在边长为3 的正方形ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点， BE 1，AEP90，且 EP 交正方形外角的平分线CP 于点 P，交边 CD 于点 F. (1)FCEF的值为 _；(2)求证： AEEP；(3)在 AB 边上是否存在点M，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由(1)四边形 ABCD 是正方形，B D， AEP90， BAE FEC ，在
9、 RtABE 中，AE321210， sinBAE BEAE sinFEC FCEF，FCEF1010(2)在 BA 边上截取 BK BE， 连接 KE ， B90，BK BE， BKE 45， AKE 135，CP 平分外角，DCP45， ECP 135， AKE ECP ，ABCB，BKBE， ABBK BCBE ，即 AK EC ，易得 KAE CEP ，在 AKE 和ECP 中，KAE CEP，AK EC，AKE ECP，AKE ECP (ASA)， AE EP(3)存在证明：作 DM AE 与 AB 交于点 M ，则有：DM EP， 连接 ME ，DP，在 ADM 与BAE中， AD
10、M BAE ，AD BA， BADABE ， ADM BAE (ASA)，MD AE ，AEEP，MD EP， MD 綊 EP，四边形 DMEP 为平行四边形2015 年名师预测1如图，在矩形ABCD 中， AD 2AB ，点 M，N 分别在边AD ，BC 上，连接BM ，DN ，若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于 (C) A.38B.23C.35D.45解析：设AB 1，则 AD 2，因为四边形MBND是菱形，所以MB MD ，又因为矩形ABCD ，所以 A90，设 AM x，则 MB 2x，由勾股定理得AB2AM2MB2，所以 x212(2 x)2，解得x34，所以 MD 23454
11、，AMMD345435，故选 C2如图，在正方形ABCD 中，边长为2 的等边三角形AEF 的顶点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，下列结论： CECF； AEB75； BEDFEF； S正方形ABCD23. 其中正确的序号是_ _(把你认为正确的都填上) 解析： 四边形 ABCD 是正方形， ABAD ， AEF 是等边三角形， AEAF ，在 RtABE和 RtADF 中，ABAD，AE AF，RtABERt ADF (HL )， BEDF， BCDC ， BCBECD DF ， CE CF ，说法正确；CECF， ECF 是等腰直角三角形，CEF 45， AEF60， AEB 75，说法正确；如图，连接AC ，交 EF 于 G 点， ACEF，且 AC 平分 EF， CAD DAF ， DF FG ， BEDFEF，说法错误；EF2， CE CF2，设正方形的边长为a，在 RtADF 中， a2(a2)2 4，解得 a262，则 a223，S正方形ABCD 23，说法正确，故答案为