小学五年级奥数讲义(教师版).pdf

《小学五年级奥数讲义(教师版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学五年级奥数讲义(教师版).pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、小学奥数基础教程 ( 五年级)第 1 讲数字迷（一）第 16 讲 巧算 24 第 2 讲 数字谜(二) 第 17 讲 位置原则第 3 讲 定义新运算 (一) 第 18 讲 最大最小第 4 讲 定义新运算 (二) 第 19 讲 图形的分割与拼接第 5 讲 数的整除性 (一) 第 20 讲 多边形的面积第 6 讲 数的整除性 (二) 第 21 讲 用等量代换求面积第 7 讲 奇偶性（一）第 22 讲用割补法求面积第 8 讲 奇偶性（二）第 23 讲 列方程解应用题第 9 讲 奇偶性（三）第 24 讲 行程问题（一）第 10 讲 质数与合数第 25 讲 行程问题（二）第 11 讲 分解质因数第 26

2、 讲 行程问题（三）第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一）第 27 讲 逻辑问题（一）第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二）第 28 讲 逻辑问题（二）第 14 讲 余数问题第 29 讲 抽屉原理 (一) 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法第 30 讲 抽屉原理 (二) 第 1 讲 数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。 例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成

3、立（每个运算符号只准使用一次）：（ 5137）（ 179）=12。分析与解 ：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位置。当“”在第一个内时， 因为除数是 13，要想得到整数， 只有第二个括号内是13 的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（ 17+9）。当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（ 17-9）=12。例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：= =5568。解：将 5568质因数分解为 5568=26329。由此容易知道，将 5568 分解为两个两

4、位数的乘积有两种： 5896 和 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464， 16 348， 24232，29192， 32 174， 48116。显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。例 3 在 443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。分析与解 ：先用 443000除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371 推知， 443000+ （573-71） =443502一定能被 573 整除， 所以应添 502。例 4 已知六位数 3344 是 89 的倍数，求这个六位数。分析与解 ：因为未

5、知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是 6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是 9。这时，虽然 8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7 或 8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796 或 3896。由 379689=337844， 389689=346744 知，商是 3796，所求六位数是337844。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字

6、代替字母，使加法竖式成立。分析与解 ：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y 或 Y+ 10，推知 N要么是 0，要么是 5。如果 N=5 ，那么要向上进位， 由竖式的十位加法有T+E+E+1=T 或 T+10，等号两边的奇偶性不同， 所以 N5，N=0 。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T 或 T+10， E 不是 0 就是 5，但是 N=0 ，所以 E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为 N=0 ，所以 I 0，推知 I=1，O=9 ，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且 X0 或

7、1，所以 R+T+T+1 22，再由 R ，T都不等于 9 知，T 只能是 7 或 8。若 T=7，则 R=8 ，X=3，这时只剩下数字2，4，6 没有用过，而 S只比 F 大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。若 T=8，则 R只能取 6 或 7。R=6时，X=3，这时只剩下 2，4，7，同上理由，出现矛盾； R=7时，X=4，剩下数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目， 往往要找准突破口， 还要整体综合研究， 不能想一步填一个数。 这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40 ， 10 ， 10， 60 ，而

8、40+10+10 正好是60，真是巧极了！例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解 ：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以 E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10 ，得 F=9，与 E=9矛盾，所以个位加法向上进 1，由 1+F+1=10 ，得到 F=8，这时 C=7 。余下的数字有 2，3，4，5，6，由个位加法知， G比 D大 2，所以 G ，D分别可取 4，2 或

9、 5，3 或 6，4。所求竖式是解这道题启发我们， 如果做题时遇到麻烦， 不妨根据数学的有关概念、 法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习 1 1. 在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。解：621819（100-1）= 6281。2. 在下列竖式中， 不同的字母代表不同的数字， 相同的字母代表相同的数字。 请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：（1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C （1）由百位加法知， A=B+1 ；再

10、由十位加法 A+ C=B+10 ，推知 C=9 ，进而得到 A=5，B=4 （见上右式）。（2）由千位加法知 B=A-1，再由个位减法知C=9 。因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百位减法是（ 10+B-1）-A=A，化简为 9+B=2A ，将 B=A-1代入，得 A=8， B=7（ 见右上式）。3. 在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。解：1（23456789）=90720。4. 在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立： 123456789=2.8。解：1（23）4（5678）9=2.8。5. 将 19 分别填入下式的中，使等式成立：= =3634

11、。提示： 3634=22379。4679= 23158= 3634。6. 六位数 391是 789的倍数，求这个六位数。提示：仿照例 3。391344。7. 已知六位数 7888 是 83 的倍数，求这个六位数。提示：仿例 4，商的后 3 位是 336，商的第一位是 8 或 9。774888。第 2 讲 数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求abcde. 1abcde3=abcde1 分析与解 ：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所代表的数码。现在，我们从另一个角度来解。

12、 1abcde与 abcde1只是 1 所在的位置不同， 设 x=abcde则算式变为（100000+x）3=10 x+1，300000+3x=10 x+1 ，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 1 2 4 8 1 8 1 1 2 4 9 9 2 1 0 0 4 4 求竖式。例 3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。例 4解：竖式中除数与 8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以 x=112，被除数为 989112=110768 。

13、右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解 ：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8 的倍数，另一个是 53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8 的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是 96 的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24 和 16。因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知 b=6。因为商的后三位

14、数是 125 的奇数倍，只能是 125，375，625 和 875 之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为 16，商为 6.375，故被除数为 6.375 16=102。上页右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n 个 0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子 5），另一个含有因子 5n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解 ：由竖式（ 1）可以看出被除数为10*0 （见竖式（ 1） ），竖式（ 1）的除数为

15、 3 或9。在竖式（ 2）中，被除数的前两位数10 不能被整数整除，故除数不是2 或 5，而被除数的后两位数 *0 能被除数整除，所以除数是4，6 或 8。当竖式（ 1）的除数为 3 时，由竖式（ 1） 知， a=1 或 2，所以被除数为100*0 或 101*0，再由竖式（ 2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020；当竖式（ 1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6， 8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数， 故被除数只有 10080，10260，10440

16、和 10620四种可能，最后由竖式（ 2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。所以这个五位数是10020或 10440。练习 21. 下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的答案（ 1）4285；（2）461538。7(1000A+ B)= 6 (1000BA)，化简后得 538A=461B ，由于 538与 461互质，且 A，B均为三位数，所以 A=461，B= 538。所求六位数是 461538。 2. 用代数方法求解下列竖式： 3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 8 7

17、 . ) . ) . ) . 8 0 0 0 答案（1）12481=10044；（2）11768412= 9807。提示：（ 1）设被乘数为 a，由 8a999，81a10000，推知所以 a=124。（2）根据竖式特点知，商是9807。设除数是 a，根据竖式特点由8a100，9a100，推知所以 a=12。3. 答案（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：易知 f=2，g=0；由 g=0知 b，d 中有一个是 5，另一个是偶数而f= 2，所以 b= 5，进而推知d= 6；再由 d= 6，f= 2 知 a= 2 或 7，而 e=3或 4，所以 a=7；最后求出 c=5。见上页右下式。（2）先将

18、除法竖式化为整数除法竖式如左下式：由竖式特点知b=c=0；因为除数与 d 的乘积是 1000的倍数， d 与 e 都不为 0，所以 d 与除数中必分别含有因子23和 52，故 d=8，除数是 125 的奇数倍，因此 e=5；又 f 0，e= 5，所以 f=g=5；由 g=5，d=8得到除数为 50008=625，再由 625a 是三位数知 a=1，所以被除数为6251008=630000 ，所求竖式见右上式。第 3 讲 定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就

19、来研究这个问题。这些新的运算及其符号， 在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例 1 对于任意数 a，b，定义运算“ *”：a*b=ab-a-b 。求 12*4 的值。分析与解 ：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32 。根据以上的规定，求106 的值。 3 ，x=2，求 x 的值。分析与解 ：按照定义的运算， =2，x=6。由上面三例看出， 定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，- ，等，以防

20、止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分， 应使用通常的四则运算符号。如例 1 中，a*b=ab-a-b ，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解 ：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。按通常的规则从左至右进行运算。分析与解 ：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1 个数是 1 位数，第 2 个数是 2 位数，第 3 个数是 3 位数按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=3

21、7035 。从例 5 知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。例 6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。例如 4 ！=1234。那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？分析与解 ：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=720，由此可推知，从 5！开始，以后 6！，7！，8！， 100！的末位数字都是0。所以，要求 1！+2！+3！+100！的个位数字，只要把 1！至 4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13 。所求的个位数字是3。例 7 如果 m ，n 表示两个数，那么规定：m

22、 n=4n-（m+n ）2。求 3（46）12 的值。解：3（46）12=34 6-（4+6）2 12=31912 =419-（3+19）2 12=6512=412-（65+12）2=9.5 练习 31. 对于任意的两个数a 和 b，规定 a*b=3a-b3。求 8*9 的值。 （值为 2）2. 已知 ab 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b，求 134 的值。（值为 4）3. 已知 ab 表示（ a-b）（ a+b），试计算：（ 53）（106）。（值为 0）4. 规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求82 的值。答案5. 假定 m n 表示 m的 3 倍减去

23、 n 的 2 倍，即m n=3m-2n。（2）已知 x（41）=7，求 x 的值。答案提示：（ 2）x（41）= 7，x（43-12）= 7，x10=7， 3x-10 2=7，x=9。（2）相当于由 123 x=40320，求 x。 40320 220160，201603= 6720，67204=1680，16805=336， 88=1，即 1/40320=11/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 。所以 x=8。7.对于任意的两个数P，Q，规定PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知x（85）=10，求x的值。解：x（85）= x （854）= x 10= x104，由

24、 x104=10，求得 x=4。8.定义：ab=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（ 43）（ 2b） 。解：（43）（26）= (43-33)(42-6/2) = 35=35-35=0。9. 已知： 23=234，45=45678，求（ 44）（ 33）的值。提示：新运算“”是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是第二个数字。（ 44）（ 33）= （4567）（ 345）=14。第 4 讲 定义新运算（二）例 1 已知 ab=（a+b）- （a-b），求 92 的值。分析与解 ：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的

25、法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。 ab=（a+b）- （a-b）=a+b-a+b=2b。所以， 92=22=4。由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例 2 定义运算：ab=3a+5ab+kb ， 其中 a， b 为任意两个数， k 为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知 52=73。问： 85 与 58 的值相等吗？（2）当 k 取什么值时， 对于任何不同的数a，b，都有 ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解 ：（1）首先应当确定新运算中的

26、常数k。因为 52=35+552+k2=65+2k，所以由已知 5 2=73， 得 65+2k=73， 求得 k= （73-65）2=4。 定义的新运算是： ab=3a+5ab+4b 。85=38+585+45=244， 58=35+558+48=247。因为 244247，所以 8558。（2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka ，3a+kb-3b-ka=0 ，3(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。对于两个任意数 a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即 k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b时，具有交换律，即ab=ba。例

27、 3 对两个自然数 a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为 ab，即 ab=a，b- （a，b）。比如， 10和 14 的最小公倍数是 70，最大公约数是 2，那么 1014=70-2=68。（1）求 1221 的值；（ 2）已知 6x=27，求 x 的值。分析与解 ：（1）1221=12，21- （12，21）=84-3=81；（2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求 x，只能用推理的方法。因为 6x=6，x- （6，x）=27，而 6 与 x 的最大公约数（ 6，x）只能是 1，2，3，6。所以6 与 x 的最小公倍数 6 ，x 只能是 28

28、， 29 ， 30 ， 33 。这四个数中只有 30 是 6 的倍数，所以 6与 x 的最小公倍数和最大公约数分别是30 和 3。因为 ab=a，b （a，b），所以 6x=303，由此求得 x=15。例 4 a 表示顺时针旋转 90，b 表示顺时针旋转 180，c 表示逆时针旋转 90，d 表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。分析与解 ： a b 表示先顺时针转 90，再顺时针转 180，等于顺时针转270，也等于逆时针转90，所以 ab=c。bc 表示先顺时针转180，再逆时针转 90，等于顺时针转90，所以 bc=a。ca 表示先逆时针转90，再顺时针转 90，等

29、于没转动，所以ca=d。对于 a，b，c，d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如cb，由 c 所在的行和 b 所在的列，交叉处 a 就是 cb 的结果。因为运算符合交换律，所以由c 所在的列和 b 所在的行也可得到相同的结果。例 5 对任意的数 a，b，定义： f （a）=2a+1， g （b）=bb。（1）求 f （5）-g（3）的值；（ 2）求 f （g（2）+g（f （2）的值；（3）已知 f （x+1）=21，求 x 的值。解：（1） f （5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f（g（2）+g（f （2）=f（22）+g（22+1） =f （4）+g（5

30、）=（24+1）+（55）=34；（3）f （x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由 f （x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=9。练习 4答案2. 定义两种运算“”和“”如下：ab 表示 a，b 两数中较小的数的3 倍，ab 表示 a，b 两数中较大的数的2.5 倍。比如： 45=43=12，45=52.5=12.5 。计算： (0.6 0.5)+(0.30.8) (1.2 0.7)-(0.640.2) 解：原式 =（0.5 3+0.82.5 ）(0.7 3-0.64 2.5)=7 。提示： 从已知的四式发现， 第一个数的 4 倍加上第二个数等于结果， 所4. 设 m ，n 是任

31、意的自然数， A是常数，定义运算m n=（Am-n）4，并且 23=0.75。试确定常数 A，并计算：（ 57）（ 22）（ 32）提示：由 2 3= （A2-3）4=0.75，推知 A=3 。定义的运算是： mn=（3m-n）4。（57）（22）（ 32）=（35-7）4 (3 2- 2) 4 （33-2）4=217/4=8/7 。5. 用 a，b，c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转240，b 表示顺时针旋转120，c 表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以a，b，c 为运算对象做运算表。6. 对任意两个不同的自然数a 和 b， 较大的数除以较

32、小的数， 余数记为 ab。 比如 73=1， 529=4，420=0。（1）计算： 19982000，（519）19，5（199）；（2）已知 11x=4，x 小于 20，求 x 的值。 6. （1）2，3，1；（2）7 或 14。提示： （1）（59）19= 419=3，5（195）= 54= 1。（2）当 x11 时，x 是 7；当 x11 时，x 是 14。7. 对于任意的自然数a，b，定义： f （a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求 f （g（6）-g（f （3）的值；（ 2）已知 f （g（x）=8，求 x 的值。解：（1）f （g（6）- g （f （3）= f(6 2+

33、1)- g （33-1）= f( 4)- g（8）= （44-1）- （82+1）= 10；。（2）由 f( g （x）)= 8=3 3-1，推知 g（x）= 3；再由 x2+1=3，得 x=4。第 5 讲 数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互

34、质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被 9，25 和 8 整除。分析与解 ：分别由能被 9，25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8 两两互质，由整除的性质（ 3）知，七位数能被 9 258=1800整除，所以七位数的个位，十位都是 0；再由能被 9 整除的数的特征，推知首位数应填4

35、。这个七位数是 4735800。例 2 由 2000个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271这两个质数整除？分析与解 ： 因为 41271=11111， 所以由每 5 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。 按 “11111”把 2000 个 1 每五位分成一节， 20005=400，就有 400节，因为 2000 个 1 组成的数 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根据整除的性质（ 1）可知，由 2000 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 有四个数： 76550，76551

36、，76552，76554。能不能从中找出两个数， 使它们的乘积能被12 整除？分析与解 ：根据有关整除的性质，先把12 分成两数之积： 12=121=62=34。要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12 整除，有以下三种情况：（1）找出一个数能被12 整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12 整除；（2）找出一个数能被6 整除，另一个数能被2 整除，那么它们的积就能被12 整除；（3）找出一个数能被4 整除，另一个数能被3 整除，那么它们的积能被12 整除。容易判断，这四个数都不能被12 整除，所以第（ 1）种情况不存在。对于第（ 2）种情况，四个数中能被6 整除的只有 7655

37、4，而 76550，76552 是偶数，所以可以选 76554 和 76550，76554 和 76552。对于第（ 3）种情况，四个数中只有76552 能被 4 整除，76551和 76554都能被 3 整除，所以可以选 76552 和 76551，76552和 76554。综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12 整除的有以下三组数： 76550和 76554，76552和 76554， 76551 和 76552。例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被 11整除的数有哪些？分析与解 ：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：各数位上的数字之和等于43；能被 11

38、 整除。因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43 的五位数较少，所以应选择为突破口。有两种情况：（1）五位数由一个 7 和四个 9 组成；（ 2）五位数由两个 8 和三个 9 组成。上面两种情况中的五位数能不能被11 整除？ 9，8，7 如何摆放呢？根据被11 整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是 11，就能被 11 整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。例 5 能不能将从 1 到 10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？分析与解 ：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我

39、们采用反证法。假设题目的要求能实现。 那么由题意， 从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被 3 整除，推知 110 的和也应能被 3 整除。实际上， 110 的和等于 55，不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。练习 51. 已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数， 1392和 7018是不是 29 的倍数？（ 1）提示：. 是。7018 和 1392 分别是 4205 与 2813 的和与差。2. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？（14）。提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是48

40、75的因数。 4875= 355513，用这些因子凑成两个数， 使它们的和是 64，显然这两个数是 313=39和 55=25。它们的差是 39-25=14。3.173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的 3 个四位数，依次可以被 9，11，6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？（ 19）提示：先后填入的三个数依次是7，8，4。6， 进而知 f=4，所求数为 123654和 321654。答案：123654和 321654。提示：由题意知， b，d，f 是偶数， e= 5，所以 a，c 只能是 1 和 3。班有多少名学生？提示：总分等于平均分乘以学生

41、人数，因为平均分90=910，所以总（人）。6. 能不能将从 1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？答案：不能。提示：假设能。因为前两个数的和能被3 整除，第 2、第 3个数的和也能被3 整除，所以第 1、第3 两个数除以 3的余数相同。 类似可知， 排在第 1，3，5，7，9 位的数除以 3 的余数都相同。在 19 中，除以 3 的余数相同的数只有3 个，不可能有 5 个。这个矛盾说明假设不成立。第 6 讲 数的整除性（二）我们先看一个特殊的数1001。因为 1001=71113，所以凡是 1001的整数倍的数都能被 7，11 和 13 整除。能被 7，11 和

42、 13 整除的数的特征：如果数 A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7 或 11 或 13 整除，那么数 A能被 7 或 11 或 13 整除。否则，数 A就不能被 7 或 11 或 13 整除。例 2 判断 306371能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因为 371-306=65，65 是 13 的倍数，不是 7 的倍数，所以 306371 能被 13 整除，不能被 7 整除。例 3 已知 108971能被 13整除，求中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9倍，由

43、 139-37=80，推知中的数是8。2 位数进行改写。根据十进制数的意义，有因为 100010001各数位上数字之和是3，能够被 3 整除，所以这个 12 位数能被 3 整除。根据能被 7 （或 13）整除的数的特征， 100010001与（100010-1=） 100009 要么都能被 7 （或 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。同理， 100009 与（ 100-9= ）91 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。因为 91=713，所以 100010001能被 7 和 13 整除，推知这个 12 位数能被 7 和 13 整除。分析与解 ：根据能被 7

44、 整除的数的特征， 555555与 999999都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7 整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知 5599能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征， 99-55=44 也应能被 7 整除。由44 能被 7 整除，易知内应是6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。判断一个数能否被27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或 37）整除，那么这个数一定能被27（或 37）整除；否则，这个数就不能被 27（或 37）整除。例 6 判断下列各数能否

45、被27或 37整除：（1）2673135；（2）8990615496 。解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810 。因为 810 能被 27 整除，不能被 37 整除，所以 2673135能被 27 整除，不能被 37 整除。（2）8990615496=8 ，990，615，496，8+990+615+496=2 ，109。 2，109 大于三位数，可以再对2，109的各节求和， 2+109=111 。因为 111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，进一步推知 8990615496能被 37 整除，不能

46、被 27 整除。由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。判断一个数能否被个位是9 的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是9 的数记为 k9 （= 10k+9），其中 k 为自然数。对于任意一个自然数， 去掉这个数的个位数后， 再加上个位数的 （k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9 整除；否则，这个数就不能被k9 整除。例 7 （1）判断 18937能否被 29 整除；（ 2）判断 296416与 37289能否被 59 整除。解：（1）上述变换可以表示为：由此可知， 296416能被 59整除， 37289 不能被 59 整除一

47、般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。练习 6 1. 下列各数哪些能被7 整除？哪些能被 13 整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。答案 能被 7 整除的有 250894，675696， 805532；能被 13 整除的有 88205，167128， 805532，75778885 2. 六位数 17562 是 13 的倍数。中的数字是几？答案 1。提示： 175-62=113，只要内填 1，就有 175-162=13 4

48、. 能从而 ababab 能被 7 和 13 整除。5. 能。提示：仿例 5。6.4 。提示：仿例 6。7. 九位数 87654321 能被 21 整除，求中间中的数。7.0 。解：因为 87654321 能被 21 整除，所以能被 7 和 3 整除。由能被 7 整除，推知下列各式也能被7 整除：87654-321=876504+0-321=876183+0，876-（183+0）=693+0。由（693+0）能被 7 整除，可求出 =0或 7。再由能被 3 整除的数的特征，内的数只能是0。8. 在下列各数中，哪些能被27 整除？哪些能被 37 整除？1861026， 1884924， 217

49、5683， 2560437，11159126，131313555，266117778。解. 能被 27 整除的数有： 1884924，2560437，131313555，266117778 。能被 37 整除的数有： 1861026，2560437，11159126，131313555。9. 在下列各数中，哪些能被19 整除？哪些能被 79 整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。9. 能被 19 整除的数有： 55119，55537，186637；能被 79 整除的数有： 55537，71258，5381717。第 7 讲 奇偶

50、性（一）整数按照能不能被2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫 偶数，例如 0， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ，（2）不能被 2 整除的自然数叫 奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被2 整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和