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1、专题二：几何图形动点问题,专题二几何图形动点问题,专题解读：几何图形动点问题是安徽中考近10年的高频考点，2019、2017、2016年均在选择压轴题考查，其中2019年考查带有限定条件的动点问题，2017年考查利用对称性求线段和的最小值；2016年考查利用隐形圆求线段的最小值；2015年在20题结合圆的基本性质涉及考查线段最值问题；2011年在22(3)题结合几何图形综合题考查线段最值问题,类型一最值问题2017、2016.10，2015.20，2011.22(3),一、利用垂线段最短求线段最值,类型一最值问题2017、2016.10，2015.20，2011.22(3),一、利用垂线段最短
2、求线段最值,例如图，在RtABC中，A90，AB3，AC4，点P是边BC上一动点，PEAB，PFAC，垂足分别为点E、F，连接EF，若点M为EF的中点，连接MP，则PM的最小值是(),例题图,A.B.C.D.,A,二、利用“将军饮马”求线段最值,模型一“一线两点”型(一动点两定点)类型1异侧线段和最小值问题,【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PAPB值最小【解决思路】根据两点之间线段最短，PAPB的最小值即为线段AB长连接AB交直线l于点P，点P即为所求,例1如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE2，则线段EFCF
3、的最小值为(),A.B.C.D.2,例1题图,B,类型2同侧线段和最小值问题,【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PAPB值最小【解决思路】将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同类型1即可解决可作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求,例2如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE最小，则这个最小值为(),A.B.C.D.,例2题图,B,类型3同侧差最大值问题,【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大【解决思路】根据三角形任意两边之差小
4、于第三边，|PAPB|AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PAPB|的最大值为线段AB的长连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.,例3如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD1，P是BC上一动点，则PMPO的最大值为(),A.B.C.D.3,例3题图,A,【解析】如解图，连接MO并延长，与BC交于点P，PMPOMO，当P与P重合时，此时PMPO有最大值，且最大值为MO的长度，过点M作MNBC于点N，在AOM和COP中，AOMCOP，OAOC，OAMOCP，AOMCOP，OMOPMP，CPAM413，BP1，PN4112，MP，OMMP.
5、PMPO的最大值为.,例3题解图,类型4异侧差最大值问题,【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决,例4(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6，P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为_,例4题图,2,例4题解图,【解析】如解图，四边形ABCD为正方形，AB和CB关于对角线BD对称，作点M关于BD对称的点M，则点M在AB上，连接PM、MN，根据对称可得BMBM6，又AB8，AC8，AM2，ANAOAC2，cosMANcos45，AM
6、N90，MNAM2，PMPNPMPNMN2，延长MN交BD于点P，连接PM，当点P运动到P时，即点M、N、P共线时，MNPMPN2，PMPN的最大值为2.,模型二“一点两线”型(两动点一定点),【问题】点P是AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMN周长最小【解决思路】要使PMN周长最小，即PMPNMN值最小根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可,例5如图，AOB30，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP6，则PMN的周长最小值为()A.4B.5C.6D.7,例5题图,C,【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接
7、CM、OC、DN、OD，点P关于OA的对称点为C，PMCM，OPOC，COAPOA，点P关于OB的对称点为D，PNDN，OPOD，DOBPOB，OCODOP6，CODCOAPOAPOBDOB2POA2POB2AOB60，PMN的周长为PMPNMNCMDNMN，连接CD分别交OA，OB于点M，N，CMDNMNCMDNMN，当M与M，N与N重合时，PMN的周长最小，即为线段CD的长度，COD60，OCOD，COD是等边三角形，CDOCOD6.PMN的周长的最小值为6.,例5题解图,模型三“两点两线”型(两动点两定点),【问题】点P、Q是AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形
8、PQNM周长最小【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PMMNNQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点,例6如图，在平面直角坐标系中，A(3，1)，B(1，3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是_,例6题图,例6如图，在平面直角坐标系中，A(3，1)，B(1，3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是_,三、利用圆的相关性质求线段最值,提分要点,定点定长作圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B
9、的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图)推广：如图，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将BEF沿EF折叠得到BEF，则点B的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧,图,图,类型1点圆最值,【模型分析】平面内一定点D和O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值具体分以下三种情况讨论(规定ODd，O半径为r)：(i)若D点在O外时，dr，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为_，DE的最小值为_；,图,图,dr,dr,dr=2r,dr=0,dr,dr,例1题图,例1如图，矩形ABCD中，AB3，AD2，E是CD边上一点，
10、将ADE沿AE折叠，使点D落在点D处，连接CD，则CD的最小值是()A.1B.C.D.,C,【解析】如解图，由折叠知，点D在以点A为圆心，AD为半径的圆弧上，当点A，D，C在同一直线上时，CD有最小值，在RtADC中，由勾股定理得AC，CD的最小值是ACADACAD.,例1题解图,例2如图，在等边ABC中，AB6，点D、E分别在BC、AC上，且BDCE，连接AD、BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为(),例2题图,A.B.C.D.,例2题解图,B,【解析】易证ABDBCE，BADCBE，ABFBAFABFCBE60，AFB120，即AFB的度数保持不变如解图，作ABF的外接圆O，则点F在劣
11、弧上运动连接OC、OB，OC交劣弧于点F，当点F与点F重合时，CF的长度最小易知OBC是直角三角形，OCB30，OBBC，OC2OB，CFOCOF.,类型2线圆最值,图,图,【模型分析】(i)如图，AB为O的一条定弦，点C为圆上一动点(1)如图，若点C在优弧上，当CHAB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时ABC的面积最大；(2)如图，若点C在劣弧上，当CHAB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时ABC的面积最大.,(ii)如图，O与直线l相离，点P是O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是_(如图
12、)，点P到直线l的最大距离是_(如图),图,图,dr,dr,例3如图，在RtABC中，C90，A30，BC2，C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为()A.B.2C.D.4,例3题图,例3题解图,A,【解析】如解图，连接CP、CQ，PQ是C的切线，CQPQ，CQP90.根据勾股定理得PQ2CP2CQ2，CQ为定值，当CP最短时，PQ最短即当PCAB时满足题意在RtACB中，A30，BC2，AB2BC4，AC.当PCAB时，易得PCBCAB，即CP.PQ.PQ的最小值是.,例4如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，O为矩形ABCD的中心
13、，以D为圆心，1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则AOP面积的最大值为_,例4题图,例4题解图,【解析】如解图，延长AO至C点，过点D作DFAC于点F，延长FD交D于点P，连接AP，OP，要使AOP面积最大，则只需AO边上的高最大，此时P满足条件，即PF为最大的高，在ADC中，ADDCACDF，DF，PFDFDP+1，AOAC.SAOP的最大值为AOPF.,类型3直径对直角,图,【模型分析】(i)半圆(直径)所对的圆周角是90.如图，在ABC中，C90，则AB为O的直径(ii)90的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)如图，在ABC中，C90，点C为动点，则点C的
14、轨迹圆是_,图,以AB为直径的O(不包含A、B两点),例5如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动连接AM和BN交于点P，则PC长的最小值为_.,例5题图,例5题解图,【解析】如解图，连接AC、BD交于点E，在正方形ABCD中，ABMBCN90，ABBC4.由题意可知BMCN，ABMBCN.BAMCBN.又CBNNBA90，BAMNBA90.APB90.又AB4，根据“定边定角”模型可得点P在以AB为直径的上运动，取AB的中点O，连接OC，线段OC交于点P，此时PC的长最小，PCOCOP22,类型4四点共圆,【模型分析】(
15、i)如图、，RtABC和RtABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OCODOAOB，A、B、C、D四点共圆，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一,图,图,(ii)圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180，可考虑作它的外接圆解题如图，四边形ABCD中，满足ABCADC180，四边形ABCD的外接圆为O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点),图,【解析】如解图，连接AC、BD交于点O，连接PO、EO.
16、AED45，ACD45，A、C、E、D四点共圆，正方形ABCD的边长为4，OEODBD，P为AB的中点，O是BD的中点，OPAD2，PEOPOE2，当点O在线段PE上时，线段PE有最大值，此时PEOPOE2，即线段PE的最大值为2.,例6如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一点，且满足AED45，P为AB的中点，则线段PE的最大值为_,例6题图,例6题解图,2,类型二特定条件问题（2019、2014、2013.10，2015、2011.9）,例如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为12和4，P为菱形ABCD内部的一个动点，且满足SABPSADP，若ABE是等边三角形，则PDPE的最小值为()A.4B.C.D.6,例题图,C,例题解图,【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，P为菱形ABCD内部的一个动点，SABPSADP，点P在对角线AC上OAAC6，OBBD2，ACBD，AB.AC与BD互相垂直平分，PDPB.PEPDPEPB.PEPBBE，当E、P、B三点共线时，PEPD的值最小，最小值为BE的长ABE是等边三角形，BEAB.PDPE的最小值为.,