计算机图形学习题解答ppt课件.ppt

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1、34k 31(,)(1,0.5)44iMMiiiidF xyF xyyx(0)1(0)iiydyyd0id 当时13(2,0.5)4iiiidF xyd0id 当时11(2,1.5)4iiiidF xyd014d 3( , )4F x yyx判别式及坐标值x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 0 -1 -2 -2 -3 -4 -5 -5 -6d 0 -1/4 0 -1/4 1/4解解: (: (1 1）最大位移方向为）最大位移方向为y y，其基本原理是：每次，其基本原理是：每次y y方向上走一步，方向上走一步，x x方向上或加方向上或加1 1，或加，或加0 0。假定当前与圆弧最近者已确定，

2、为。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xP(xi i,y,yi i) )，那么，下一候选像素点只能是右下方的那么，下一候选像素点只能是右下方的P Pu u(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)和正下方和正下方P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。 （2 2）构造判别式：）构造判别式： d=d=F(xF(xm m,y,ym m)=F(x)=F(xi i+0.5,y-1)=(x+0.5,y-1)=(xi i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-1)-1)2 2-R-R2 2 当当d0d=0d=0时，取时，取P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。（3

3、 3）误差项递推公式）误差项递推公式: : 当当d=0d0d0时，取时，取P Pd d，则要判断再下一个像素，应计算，则要判断再下一个像素，应计算: : d=F(x d=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-2)=(x-2)=(xi i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-2)-2)2 2-R-R2 2 =d+3-2y =d+3-2yi i因此，因此，d d增量为增量为3-2y3-2yi i。（4 4）d d的初始值为的初始值为1.25-R.1.25-R.5.11 解：解：ET表如下：表如下：A A6 6A A5 5A A4 4A A5 5A A4 4A A3 3A A2 2A

4、A3 3当扫描线当扫描线Y=4Y=4时的有效边表如下：时的有效边表如下：解：100010100010T0101000101005410015419-11 411831731661T=7712611415016.13 解解:根据已知条件根据已知条件,可得可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得由编码规则，可得A的编码为的编码为1010，B的编码为的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由A的编码可知的编码可知A在

5、窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 12, 22313(23)142312325xwxrywytykxk则则,可得可得P1的编码为的编码为0000,P2的编码为的编码为0010,故故P1为实交点为实交点,丢掉丢掉P1A.又又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由B的编码可知的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为在窗口左外侧，与左边界、下

6、边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)和和P4(x4,y4)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 30, 40333(03)4033435xwxlywybykxk 则则,可得可得P3的编码为的编码为0100,P4的编码为的编码为0000,故故P4为实交点为实交点,丢掉丢掉P4B. 所以所以,裁剪后窗口内的直线段为裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为坐标分别为(2,7/4)和和(3/5,0).6.17 解解: 根据已知条件根据已知条件,令令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 则，则，p1= -x

7、 =4,p2= x =-4,p3=- y =5,p4= y =-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，则直线段与窗口边界的交点为：，则直线段与窗口边界的交点为：132133411, 2, 3, 414243545qqqquuuuppppmaxmin1max(0, 2, 4)43max( 1, 3,1)5uuuuu umaxminmaxmin,1( 21)uuuuyyu yy由于所以将和分别代入以下直线参数方程：x=x1+u(x2-x1)求得直线与窗口的两实点坐标为求得直线与窗口的两实点坐标为(2

8、,7/4),(3/5,0).100010001000-1000100001000100010001000100T00100010001000-1000101-22-212-22100011111/20002 xyz1xyz1T1 11122222212xyzxyz A(-2,2,2) B(-2,6,2) C(2,6,2 ) D(-2,6,2)7.6 假定一空间直线假定一空间直线AB的两端点坐标为的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)，试写出绕试写出绕AB旋转旋转300的三维复合变换矩阵。的三维复合变换矩阵。10000360330000033036T100003603300000330

9、36T10000222200222200001T10000222200222200001T1RyRy1RxRx10000100002321002123TRz11RzRyRxTTTTRxRyTT1000000000100001vxozTT主视图：主视图：A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)10000010T00000011HA(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2)D(1,0,-2)00001000

10、T00101001HA(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)2,0,1)314k 111iiiixxyyk(2)(2)由于在光栅化的过程中不可能绘制半个像素，因此对求出由于在光栅化的过程中不可能绘制半个像素，因此对求出的的yi+1yi+1的值需进行四舍五入，即的值需进行四舍五入，即round(yround(yi+1i+1)=(int)(y)=(int)(yi+1i+1+0.5)+0.5)。解得像素序列如下：。解得像素序列如下：123 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 1

11、5 16 17 18 19 20123456789101112131415xyo123 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20123456789101112131415xyo314k 11(0.5)(0.5)iiiydyyd误差项的计算误差项的计算d初初=0，每走一步：每走一步：d=d+3/4 一旦一旦y方向上走了一步，方向上走了一步，d=d-1314k 1(0)(0)iiyeyye误差项的计算误差项的计算e初初=-x=-20，每走一步：每走一步：e=e+ 2y=e+30一旦一旦y方向上走了一步，方向上走了一步，e=e- 2x=e-40e+ 2y

12、已知椭圆的长半轴已知椭圆的长半轴a=12,b=8.用中点用中点Bresenham画椭圆算法画椭圆算法确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置,初始点为初始点为(-12,0).解解: 根据题意根据题意,先绘制椭圆弧的下半部分先绘制椭圆弧的下半部分. y是最大位移方向是最大位移方向,每次走一步每次走一步,在在y方向上加方向上加1,x方向上加方向上加1或加或加0.构造判别式构造判别式:2222221(0.5,1)(0.5)(1)iiiidF xybxaya b1111(0)(0)iiixdxxd误差项递推误差项递推:10d 当时22222212211(1.5,2)(1.5

13、)(2)(22)(23)128288560iiiiiiiidF xybxaya bdbxaydxy10d 当时2222221211(0.5,2)(0.5)(2)(23)288432iiiiiidF xybxaya bdaydy1111.5,1608ddF 的初始值：下面绘制椭圆弧的上半部分下面绘制椭圆弧的上半部分. x是最大位移方向是最大位移方向,每次走一步每次走一步,在在x方向上加方向上加1,y方向上加方向上加1或加或加0.构造判别式构造判别式:2222222(1,0.5)(1)(0.5)iiiidF xybxaya b2121(0)(0)iiiydyyd误差项递推误差项递推:20d 当时2

14、2222222222(2,1.5)(2)(1.5)(23)(22)128288480iiiiiiiidF xybxaya bdbxaydxy10d 当时2222222222(2,0.5)(2)(0.5)(23)128192iiiiiidF xybxaya bdbxdx20.51iixay2当 b时转入上半部分。初始值初始值 d2用下半部分计算的最后像素点的坐标值来计算。用下半部分计算的最后像素点的坐标值来计算。5.11 解：解：ET表如下：表如下：A A6 6A A5 5A A4 4A A5 5A A4 4A A3 3A A2 2A A3 3当扫描线当扫描线Y=4Y=4时的有效边表如下：时的有

15、效边表如下：111111100cos-sin0cos-sin0T010sincos0sincos0 xy1001-x cosy sinx cosy sin1 解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点； （2）顺时针旋转 ；2121yyarctgxx其中：其中：22220022221001002222T101000100222254154100129 254122 解：(1)5+ 24-2 214113 2254173122T1=77125 2541141225-2 24-2 21(2)100010100010T20101000101005410015419-11 411831731661T2

16、=7712611415016.13 解解:根据已知条件根据已知条件,可得可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得由编码规则，可得A的编码为的编码为1010，B的编码为的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由A的编码可知的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 12, 2

17、2313(23)142312325xwxrywytykxk则则,可得可得P1的编码为的编码为0000,P2的编码为的编码为0010,故故P1为实交点为实交点,丢掉丢掉P1A.又又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由B的编码可知的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)和和P4(x4,y4)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 30, 40333(03)4033435xwxlywybykxk 则则,可得可得

18、P3的编码为的编码为0100,P4的编码为的编码为0000,故故P4为实交点为实交点,丢掉丢掉P4B. 所以所以,裁剪后窗口内的直线段为裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为坐标分别为(2,7/4)和和(3/5,0).6.17 解解: 根据已知条件根据已知条件,令令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 则，则，p1= -x =4,p2= x =-4,p3=- y =5,p4= y =-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(

19、k=1,2,3,4)，则直线段与窗口边界的交点为：，则直线段与窗口边界的交点为：132133411, 2, 3, 414243545qqqquuuuppppmaxmin1max(0, 2, 4)43max( 1, 3,1)5uuuuu umaxminmaxmin,1( 21)uuuuyyu yy由于所以将和分别代入以下直线参数方程：x=x1+u(x2-x1)求得直线与窗口的两实点坐标为求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).00001000cos 60sin60000100-sin60cos6000T001000100-201000113002231-002200103-1

20、010001000110011001130011011101220101010131T-000021002122001010211021112111213-101012101213-1011+233201221+33101223101223-1211+233221221+3312122312122260026cossinsin0060cos00000T=3sincossin0026000100260001解解: :推导略推导略. .正等测变换正等测变换266002012632001662201000001330201262 622210000126300010001220024cossinsi

21、n0030cos00000T=2sincossin0022000100240001正二测变换正二测变换2220020124200123220123200020122020122030122210024032010001 1000100001000100T=31cossin00002200010001ctgctg 解解: :斜等测变换斜等测变换1000200120010100220122013102010201002222212+3301000110000100T3100440001 斜二测变换斜二测变换100020012001010022012201020131020100444+352221

22、01000122已知已知:控制点有控制点有:p0(-16,0),p1(-10,10),p2(10,10),p3(16,0),p4(10,-10),p5(-10,-10),p6(-16,0),P7(-10,10).推导推导:二次均匀周期性二次均匀周期性B样条曲线样条曲线,其中其中参数参数t的区间为的区间为0,1)，并求出，并求出t=0.05,0.1,0.15,1这这20点的坐标并画出此曲点的坐标并画出此曲线。线。解：根据题意，可得解：根据题意，可得m=3,n=7,m+n=10,则节点矢量为：则节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)。根据以下基函数的式子：根据以下基函数的式子：

23、 ,1,11,1,0,110 11kk mk mkmk mmktkBttkkmtBtBtBtmmBtBtk其他求得：求得： 20,32101211(2)(1)(3)12221(3)232ttBtttttttt 21,3222,3223,321(1)12211(1)(3)(2)(4)23221(4)3421(2)23211(2)(4)(3)(5)34221(5)4521(3)34211(3)(5)(4)(6)45221(6)52ttBttttttttttBttttttttttBttttttt6t 24,3225,3226,321(4)45211(4)(6)(5)(7)56221(7)6721(5

24、)56211(5)(7)(6)(8)67221(8)7821(6)67211(6)(8)(7)(9)78221(9)82ttBttttttttttBttttttttttBttttttt9t 27,321(7)78211(7)(9)(8)(10)89221(10)9102ttBtttttttt以上以上B样条曲线的定义范围为样条曲线的定义范围为2,8)，若将参数，若将参数t的定义范围为的定义范围为0,1)，则基函数描述如下：则基函数描述如下：20,31,3211( )1 60261161 1 66 1 3026( )112 1 363BttttttttBttt22,3223,3224,311806

25、311( )6 1 3(61) 1 22639111 2232111(61)263311( )(61) 1 22(31) 23232122 2323112(31)32312( )2(31) 23(21) 5622312ttBttttttttttBttttttttttBtttttt2255636tt25,3226,327,3912(21)223325( )(31) 566(32) 1236518 116252(32)36( )156(32) 1(65) 7612615( )(65)126ttBttttttttttBttttttBttt 7,00,31,32,31,32,33,32,33,34,3

26、3,34,35,34,35,36,35,36,37,3( )10120611123631123432( )1234523254563655676k mkp tpkBtp Btp Btp Bttp Btp Btp Bttp Btp Btp Bttp tp Btp Btp Bttp Btp Btp Bttp Btp Btp Bt由可得1t故故p(0)=(-13,5) p(0.05)=(-10.57,7.55) p(0.1)=(-6.88,9.2) p(0.15)=(-1.93,9.95) p(0.2)=(3.72,9.8) p(0.25)=(8.25,8.75) p(0.3)=(11.52,6.8

27、) p(0.35)=(13.54,4) p(0.4)=(14.04,1) p(0.45)=(14.26,-2) p(0.5)=(13,-5) p(0.55)=(10.57,7.55) p(0.6)=(6.88,-9.2) p(0.65)=(1.93,-9.95) p(0.7)=(-3.72,-9.8) p(0.75)=(-8.25,-8.75) p(0.8)=(-11.52,-6.8) p(0.85)=(-13.54,-4) p(0.9)=(-14.04,-1) p(0.95)=(-14.26,2)5.3 5.3 试用中点试用中点BresenhamBresenham算法画直线段的原理推导斜率为

28、负算法画直线段的原理推导斜率为负且大于且大于1 1的直线段绘制过程。的直线段绘制过程。解：（解：（1)1)基本原理：根据题意斜率基本原理：根据题意斜率k-1,k-1,因此因此y y是最大位移方向，每是最大位移方向，每次在次在y y方向上减方向上减1 1，x x方向上或加方向上或加1 1，或加，或加0 0。假设当前点是。假设当前点是P(xP(xi i,y,yi i),),则下一点在则下一点在P Pr r(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)与与P Pl l（x xi i,y,yi i-1)-1)中选一。设中选一。设M M是是P Pr r和和P Pl l的中的中点，即点，即M=(xM=(

29、xi i+0.5,y+0.5,yi i-1)-1)，Q Q是理想直线与垂直线是理想直线与垂直线y=yy=yi i-1-1的交点；若的交点；若M M在在Q Q的左方，则的左方，则P Pr r(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)离直线近，应取为下一个像素；否则离直线近，应取为下一个像素；否则应取应取P Pl l(x(xi i,y,yi i-1)-1)。（2 2）构造判式如下：）构造判式如下： d=d=F(xF(xM M,y,yM M)=F(x)=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-1)=y-1)=yi i-1-k(x-1-k(xi i+0.5)-b+0.5)-b 当当d=0d0

30、d0时，取时，取P Pl l。（3 3）误差项递推公式）误差项递推公式: : 当当d=0d0d0时，取时，取PlPl，则要判断再下一个像素，应计算，则要判断再下一个像素，应计算: : d=F(x d=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-2)=y-2)=yi i-2-k(x-2-k(xi i+0.5)-b+0.5)-b =y =yi i-1-k(x-1-k(xi i+0.5)-1-k=d-1+0.5)-1-k=d-1因此，因此，d d增量为增量为-1-1。解解: (: (1 1）最大位移方向为）最大位移方向为y y，其基本原理是：每次，其基本原理是：每次y y方向上走一步，方向上走一步，

31、x x方向上或加方向上或加1 1，或加，或加0 0。假定当前与圆弧最近者已确定，为。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xP(xi i,y,yi i) )，那么，下一候选像素点只能是右下方的那么，下一候选像素点只能是右下方的P Pu u(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)和正下方和正下方P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。 （2 2）构造判别式：）构造判别式： d=d=F(xF(xm m,y,ym m)=F(x)=F(xi i+0.5,y-1)=(x+0.5,y-1)=(xi i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-1)-1)2 2-R-R2 2 当当d0d

32、=0d=0时，取时，取P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。（3 3）误差项递推公式）误差项递推公式: : 当当d=0d0d0时，取时，取P Pd d，则要判断再下一个像素，应计算，则要判断再下一个像素，应计算: : d=F(x d=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-2)=(x-2)=(xi i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-2)-2)2 2-R-R2 2 =d+3-2y =d+3-2yi i因此，因此，d d增量为增量为3-2y3-2yi i。n k=1的直线段上点P1的坐标为(y,x);n 0k=-1的直线段上点P1的坐标为(-x,y);n k-1的

33、直线段上点P1的坐标为(-y,x);n因此，在绘图过程，首先要判别k的值，对直线两端点做相应的处理。111111100cos-sin0cos-sin0T010sincos0sincos0 xy1001-x cosy sinx cosy sin1 解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点； （2）顺时针旋转 ；2121yyarctgxx其中：其中：1111100cos-sin0cos-sin0T010sincos0sincos0 xy1001-x-y1解：假设A和B都不等于0，则2121yyarctgxx其中：22220022221001002222T101000100222254154100

34、129 254122 解：(1)5+ 24-2 214113 2254173122T1=77125 2541141225-2 24-2 216.13 解解:根据已知条件根据已知条件,可得可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得由编码规则，可得A的编码为的编码为1010，B的编码为的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由A的编码可知的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为在窗口右外侧，与右边界

35、、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 12, 22313(23)142312325xwxrywytykxk则则,可得可得P1的编码为的编码为0000,P2的编码为的编码为0010,故故P1为实交点为实交点,丢掉丢掉P1A.(2)100010100010T20101000101005410015419-11 411831731661T2=77126114150100001000cos 60sin60000100-sin60cos6000T001000100-201000113002231-002200103-10100010001

36、10011001130011011101220101010131T-000021002122001010211021112111213-101012101213-1011+233201221+33101223101223-1211+233221221+3312122312122260026cossinsin0060cos00000T=3sincossin0026000100260001解解: :推导略推导略. .正等测变换正等测变换266002012632001662201000001330201262 622210000126300010001220024cossinsin0030cos00

37、000T=2sincossin0022000100240001正二测变换正二测变换2220020124200123220123200020122020122030122210024032010001 1000100001000100T=31cossin00002200010001ctgctg 解解: :斜等测变换斜等测变换1000200120010100220122013102010201002222212+3301000110000100T3100440001 斜二测变换斜二测变换100020012001010022012201020131020100444+3522210100012210

38、0010001000-1000100001000100010001000100T00100010001000-1000101-22-212-22100011111/20002 xyz1xyz1T1 11122222212xyzxyz A(-2,2,2) B(-2,4,2) C(2,4,2 ) D(0,4,0)7.6 假定一空间直线假定一空间直线AB的两端点坐标为的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)，试，试写出绕写出绕AB旋转旋转300的三维复合变换矩阵。的三维复合变换矩阵。10000360330000033036T10000360330000033036T1000022220022

39、2200001T10000222200222200001T1RyRy1RxRx10000100002321002123TRz11RzRyRxTTTTRxRyTT1000000000100001vxozTT主视图：主视图：A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)10000010T00000011HA(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2)A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2)00001000T00101001HA(-1,0

40、,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)260026cossinsin0060cos00000T=3sincossin0026000100260001解解: :推导略推导略. .正等测变换正等测变换266002012632001662201000001330201262 622210000126300010001220024cossinsin0030cos00000T=2sincossin0022000100240001正二测变换正二测变换222002012420012322012320

41、0020122020122030122210024032010001 1000100001000100T=31cossin00002200010001ctgctg 解解: :斜等测变换斜等测变换1000200120010100220122013102010201002222212+3301000110000100T3100440001 斜二测变换斜二测变换100020012001010022012201020131020100444+35222101000122已知三次Bezier曲线上的四个点分别为Q0(120,0)，Q1(145,0)，Q2(0,45)，Q3(0,120)，它们对应的参数分别为0，1/3，2/3，1，反求Bezier曲线的控制顶点。 p(0) = Q0 = P0 p(1) = Q3 = P3p(1/3) = Q1 = P0 * BEN0,3(1/3) + P1 * BEN1,3(1/3) + P2 * BEN2,3(1/3)+ P3 * BEN3,3(1/3)p(2/3) = Q2 = P0 * BEN0,3(2/3) + P1 * BEN1,3(2/3) + P2 * BEN2,3(2/3) + P3 * BEN3,3(2/3)