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1、1、一般地，对于给定区间、一般地，对于给定区间D上的函数上的函数f(x)，若，若对于属于区间对于属于区间D的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1，x2，当当x1x2时，有时，有问题：问题：函数单调性的定义怎样描述的函数单调性的定义怎样描述的? ? (1)若若f(x1)f(x)f(x2 2) )，那么，那么f(x)f(x)在这个区间上在这个区间上是是减函数减函数. .(2)(2)作差作差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) () (作商作商) )2 2用定义证明函数的单调性的一般步骤：用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取任取x1、x2D，且，且x1 x2.(4)(4)定号定
2、号( (判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负) )( (与与0 0比较比较) )(3)(3)变形变形( (因式分解、配方、通分、提取公因式因式分解、配方、通分、提取公因式) )(5)(5)结论结论思考：那么如何求出下列函数的单调性呢思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? ?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x发现问题：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦
3、，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：时。例如：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？呢？1.3.1函数的单函数的单调性与导数调性与导数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用2yx0. . . . . . . .观察函数观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象：的图象：总结总结: 该函数在区该函数在区间（间（，2）上）上单单减减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性函数在
4、该点单调性发生改变发生改变.在区间（在区间（2，+）上上单增单增,切线斜率切线斜率大大于于0,即其即其导数为正导数为正.xyOxyOxyOy = xy = x2xy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.( )yf x 结论：在某个区间结论：在某个区间( (a a, ,b b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增; ; 如果如果 , ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减. .( )0fx ( )0fx ( )yf x 如果在某个区间内
5、恒有如果在某个区间内恒有f f (x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数结论结论: :一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间 内可导内可导, ,则函数在该区间则函数在该区间注意注意: :如果在如果在恒有恒有f f (x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数如果如果f (x)0, 例例1 1、求函数、求函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7+7的单调区间的单调区间. .f(x)的单增区间为（的单增区间为（，0）和（）和（2，）f(x)f(x)的单减区间的单减区间(0,2)(0,2)说明：当说明
6、：当x=0 x=0或或2 2时时, f(x)=0, f(x)=0,即函数在该点即函数在该点 单调性发生改变单调性发生改变. .题型一：求函数的单调性、单调区间题型一：求函数的单调性、单调区间变式变式1：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。1yx 解解:210,yx 0,x 但但1(,0) (0,)yx 的的单单调调递递减减区区间间为为，变式变式2：求函数求函数 的单调递减区间。的单调递减区间。xxyln2121 , 0注意：考虑定义域注意：考虑定义域f(x)f(x)练习：求下列函数的单调区间练习：求下列函数的单调区间增区间为增区间为(0,+)(0,+)减区间为减区间为(-,0)(-,0)注意
7、：考虑定义域注意：考虑定义域题型题型一一：求函数的单调性、单调区间：求函数的单调性、单调区间1)() 1 (xexfx)2,2(2cos)() 3 (xxxxf12432)() 4(23xxxxf33)() 2(xxxf增区间为增区间为)6,2(减区间为减区间为)2,6(增区间为增区间为(-1,1)(-1,1)减区间为减区间为(-,-1),(1(-,-1),(1,+)增区间为增区间为),2171(),2171,(减区间为减区间为)2171,2171(ABxyo23( )yf x 题型二：应用导数信息确定函数大致图象题型二：应用导数信息确定函数大致图象例例2、已知导函数的下列信息：、已知导函数的
8、下列信息： 3 2 ( )0 xxfx 当当或或时时，试画出函数试画出函数f(x)f(x)图象的大致形状。图象的大致形状。 23 ( )0 xfx 当当时时， 3 2 ( )0 xxfx 当当或或时时，已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变
9、变 化化 , ,切切 线线 平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x ABxyo23( )yf x 题型二：应用导数信息确定函数大致图象题型二：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变变 化化 , ,切切 线线
10、平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x 解：解： 的大致形状如右图：的大致形状如右图：( )f x这这里里，称称A A, ,B B两两点点为为“临临界界点点”题型二：应用导数信息确定函数大致图象题型二：应用导数信息确定函数大致图象xyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x xyo( )yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)设设 是函数是函数 的导函数，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x coss
11、in335(,)( ,2 )(,)(2 ,3 )22.2.2.yxxxABCD 函函数数在在下下面面哪哪个个区区间间内内是是增增函函数数( ( ) ) (04年全国理年全国理)B ( ,2 )该该函函数数在在上上为为增增函函数数。xxxx ( ,2 )sin0,sin0,如如图图, ,当当时时，yxxxxx cos(cos ) (sin )解解： xxxxxx cossinossincy 0即即：xyo 2 3yx sin例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中,
12、 , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO1),(2)( ),(3)(),(4)( )BADC解：（） （ 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的的绝对值绝对值较大较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函
13、数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平平缓缓”. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。释变化快慢的情况。练习练习函数函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数 图象的图象的大致形状大致形状)( xfy )( xf Oabcxy yfx一般地一般地, ,设函数设函数y
14、=f(x)y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导, ,则函数在则函数在该区间该区间如果如果f (x)0, f(x)f(x)325ax - xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(- ,+ )上单调递增，求a的取值范围题型题型三三：根据函数的单调性求参数的取值范围：根据函数的单调性求参数的取值范围思考：思考：2120 10 1f xaxx, ,f xxx,a.例2：已知函数（ ），(若（ ）在(上是增函数，求 的取值范围325ax - xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(- ,+ )上单调递增，求a的取值范围题型题型三三：根据函数的单调性求参数的取值范围：根据函数的单调性求参数的取
15、值范围325f( x)ax - xx-,解：在(- ,+ )上单调递增23210f ( x)ax - x 在(- ,+ )上恒成立。04 120aa 13a2120 10 1f xaxx, ,f xxx,a.例2：已知函数（ ），(若（ ）在(上是增函数，求 的取值范围322f xax解： ( )函数在（函数在（0，1上单调递增上单调递增f x( )0,31g xx 而 ( )在（0， 1上单调递增，1a-g xgmax( )(1)=-1所以a的范围是-1，+ ）31a-xx即在（0， 1上恒成立43(g xx( )0在（0， 1上恒成立）注：注： 在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在）
16、在这个区间上单调递增（递减）；这个区间上单调递增（递减）； 但由但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到而仅仅得到 是不够的。还有可是不够的。还有可能导数等于能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f x( )0(或0(或0(f(x)0),那么函数那么函数f(x)在在(a,b)内为增函数（减函数）内为增函数（减函数）2.如果函数如果函数f(x)在在(a,b)内为增函数（减函数）内为增函数（减函数） ,那么那么f(x)0(f(x)0）在区间）在区间(a,b)内恒成立。内恒成立。练习练习1：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立，上恒成立，a0(f(x)0),那么函数那么函数f(x)在在(a,b)内为增函数（减函数）内为增函数（减函数）2.如果函数如果函数f(x)在在(a,b)内为增函数（减函数）内为增函数（减函数） ,那么那么f(x)0(f(x)0）在区间）在区间(a,b)内恒成立。内恒成立。