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1、11. 体心立方元素晶体, 111方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? 解答 结晶学的晶胞,其基矢为 a，b，c ,只考虑由格矢 R= h a +kb +l c 构成的格点. 因此, 体心立方元素晶体111方向上的结晶学周期为 根3a , 但实际周期为 根3a /2.13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 解答晶体中原子间距的数量级为 10-10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于 10-10 米. 但可见光的波长为7.6-4.0*10-7 米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势
2、能有何区别?解答自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 10.为什么许多金属为密积结构?解答金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构. 5. 晶体中声
3、子数目是否守恒?频率为w的格波平均声子数为18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 解答在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗? 解答频率为 w的格波的振动能为其中 是由 个声子携带的热振动能, ( )是零点振动能, 声子数为绝对零度时, =0. 频率为 的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现
4、的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.6. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 解答频率为 的格波的(平均) 声子数为 因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( )大于( ）, 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.5.金属淬火后为什么变硬? 解答 我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的
5、强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?解答在位错
6、滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.2. 布洛赫函数满足 = , 何以见得上式中 具有波矢的意义? 解答人们总可以把布洛赫函数 展成付里叶级数 ,其中k是电子的波矢. 将 代入 = ,得到其中利用了 ( 是整数), 由上式可知, k=k, 即k具有波矢的意义.14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ 解答将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量 和垂直于布里渊区边界的分量k. 则由电子的平均速度得到等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有 =0, 即垂直于界面的速度分
7、量 为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? 解答晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为Fl, 电子的加速度为但Fl的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m*与真实质量m的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界
8、上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? 解答设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子.电子气的费米能和热容量在热平衡时，能量为在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是的状态被电子占据的概率是1.费米分布函数0. a T FFF01)(EEEEEEE
9、f陡变0.b T FFF0211)(EEEEEEEf1e1)(BF)( TkEEEf索末菲自由电子服从费米电子服从费米狄拉克分布。狄拉克分布。1eBF( Tk)EEgnB0F22kTTCV 这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。也就是说能量随温度发生变化的只子才能受热激发而跃迁至较高的能级。也就是说能量随温度发生变化的只是少数电子。所以电子的热容量很小。是少数
10、电子。所以电子的热容量很小。2 电子的热容量常温下常温下电子对与热容量的贡献很小，如何解释呢电子对与热容量的贡献很小，如何解释呢? ? 习题习题2:一维一维复式格子复式格子，原子质量为，原子质量为m，原子统一编号，任一原子与两个，原子统一编号，任一原子与两个最近邻原子的间距不同，力学常数不同。分别为最近邻原子的间距不同，力学常数不同。分别为 1，和，和 2，晶格常量为晶格常量为a，求原子的运动方程和色散关系求原子的运动方程和色散关系。解解:只考虑最近邻原子间的相互作用，只考虑最近邻原子间的相互作用， 1211.m nnnnnxxxxx nnnnnxxxxmx 112121. 设格波的解为设格波
11、的解为: : aqntinAx2e aqntiqbaqntinBBx221ee 将试探解代入方程得将试探解代入方程得: :)e()(m212iaqBABAA )()e(122ABABBmiaq 0e21221 BmAiaq 0e21221 BAMiaq 0ee2212121221 mMiaqiaq解得解得: : 2sin)(4112sin)(16)2(2222212121222121222212aqmaqmmmm 2sin)(411222121212aqmo 2sin)(411222121212aqmA 晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观晶体的宏观特性是由晶体
12、内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。特性的反映。晶格+基元=晶体结构。 晶格是晶体结构周期性的数学抽象。原胞 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含理学原胞包含1 1个格点。它反映了晶体结构的周期性。个格点。它反映了晶体结构的周期性。晶胞晶胞
13、 构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。它具有明显的对构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。它具有明显的对称性和周期性。称性和周期性。特点：晶胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积特点：晶胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是原胞体积的整数倍。是原胞体积的整数倍。通过晶格中任意两个格点连一条直线称为通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列晶列，晶列的取向称为晶列的取向称为晶向晶向，描写晶向的一组描写晶向的一组数称为数称为晶向指数晶向指数( (或或晶列指数晶列指数) )。在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为
14、在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面晶面，描写晶面方位的，描写晶面方位的一组数称为一组数称为晶面指数晶面指数配位数：一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数：一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数配位数。它可以描述晶体中粒子排列的紧密。它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。可能的配位数有：程度，粒子排列越紧密，配位数越大。可能的配位数有：12、8、6、4、3、2 。密堆积：如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为圆球最紧密的堆积称为密堆
15、积密堆积。密堆积的配位数最大，为。密堆积的配位数最大，为12 。密堆积有六角密积和立方密积。致密度：如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度致密度Vv 平均每个晶胞包含平均每个晶胞包含4个个格点。格点。 332141aaaa 3.体心立方 kjiaakjiaakjiaa 222321 平均每个晶胞包含平均每个晶胞包含2个格个格点。点。 3321
16、21aaaa 2.面心立方 jiaakiaakjaa 2223211a3a2aiajakai ajaka1a3a2a 典型的晶体结构1.简立方,321kaajaaiaa 3321aaaa 倒格1.1. ijjiba2)ji ( 2 ji 02.2.KRhl2 3.3. *32 3213212. 5hhhhhhdK 332211bhbhbhKh( (h1 1h2 2h3 3) )4.4. 213132321222aabaabaab 321aaa 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，是固体物理学原胞体积。是固体物理学原胞体积。321,aaa与与 332211bhbhbhKn ),(321为整数为整数
17、hhh 所联系的各点的列阵即为所联系的各点的列阵即为倒格倒格。倒格1.1. ijjiba2)ji ( 2 ji 02.2.KRhl2 3.3. *32 3213212. 5hhhhhhdK 332211bhbhbhKh( (h1 1h2 2h3 3) )4.4. 213132321222aabaabaab 321aaa 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，是固体物理学原胞体积。是固体物理学原胞体积。321,aaa与与 332211bhbhbhKn ),(321为整数为整数hhh 所联系的各点的列阵即为所联系的各点的列阵即为倒格倒格。 倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3)
18、 )正交正交. .332211hbhbhbhK 3212hhhd且倒格矢且倒格矢 的模等于的模等于 。332211hbhbhbhK 已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体结晶体结构构正格正格332211bhbhbhKh 正格基正格基矢矢321,aaa倒格基倒格基矢矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222(h1h2h3) 面间距面间距晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率格波振动频率(模式模式)数目数目=晶体的自由晶体的自由度数度数mNn，晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子
19、的自由度数mn。N是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是维数。是维数。简谐近似下，原子的振动或者说格波的振动可以看成是简谐近似下，原子的振动或者说格波的振动可以看成是3N3N个简正振动模式的线个简正振动模式的线性叠加。性叠加。声子是晶格振动的能量量子，声子是晶格振动的能量量子，3nN个振动模式得：个振动模式得：3nN种声子，种声子，3N种声学声子，种声学声子， ( (3n- -3) )N种光学声子。种光学声子。1.1.固体比热的实验规律固体比热的实验规律(1)(1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为3 3NkNkB B；(2)(2)在低温时，绝
20、缘体的比热按在低温时，绝缘体的比热按T3 3趋于零。趋于零。2.模式密度 nDlim0)( nsqcqsVD3 31 13 32 2 d模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a， 晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶晶体的原胞数体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值 11. nnnnxxxxnmx naqtinAx e2sin2aqm aqa Nnnxx n- -2nn+ +1n+ +2n- -1ammoa a m 2lNaq2 爱因斯坦模型：爱因斯坦模型：(1)(1)晶体中原子的振动是相互独立的；晶体中原子的振
21、动是相互独立的；(2)(2)所有原子都具有同一所有原子都具有同一频率频率 ；(3)(3)设晶体由设晶体由N个原子组成个原子组成, ,共有共有3N个频率为个频率为 的振动的振动。高温时与实验相吻合，低温时以比高温时与实验相吻合，低温时以比T3 3更快的速度趋于零。更快的速度趋于零。德拜模型：德拜模型：(1)(1)晶体视为连续介质晶体视为连续介质, ,格波视为弹性波；格波视为弹性波；(2)(2)有一支纵波两支横波；有一支纵波两支横波；(3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在0w 0w 之间之间( ( D为德拜频率为德拜频率) )。高低温时均与实验相吻合高低温时均与实验相吻合, ,且温度越低，与实验
22、吻合的越好。且温度越低，与实验吻合的越好。 按缺陷的几何形状和涉及范围将缺陷分为：点缺陷、线缺陷和面缺陷。按缺陷的几何形状和涉及范围将缺陷分为：点缺陷、线缺陷和面缺陷。1.1.点缺陷：点缺陷： 点缺陷点缺陷是在格点附近一个或几个晶格常量范围内的一种晶格缺是在格点附近一个或几个晶格常量范围内的一种晶格缺陷，陷， 如空位、填隙原子、杂质等。如空位、填隙原子、杂质等。 弗仑克尔缺陷弗仑克尔缺陷：当晶格中的原子脱离格点后，移到间隙位置形成填隙原子：当晶格中的原子脱离格点后，移到间隙位置形成填隙原子时，在原来的格点位置处产生一个空位，时，在原来的格点位置处产生一个空位，填隙原子和空位成对出现，这种缺陷，
23、这种缺陷称为弗仑克尔缺陷。称为弗仑克尔缺陷。 肖特基缺陷肖特基缺陷：当晶体中的原子脱离格点位置后不在晶：当晶体中的原子脱离格点位置后不在晶体内部形成填隙原子，而是占据晶体表面的一个正常位置，并在原来的格点位体内部形成填隙原子，而是占据晶体表面的一个正常位置，并在原来的格点位置产生一个空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。置产生一个空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。2.线缺陷： 当晶格周期性的破坏是发生在晶体内部一条线的周围近邻，这当晶格周期性的破坏是发生在晶体内部一条线的周围近邻，这种缺陷称为种缺陷称为线缺陷线缺陷。位错位错就是线缺陷。就是线缺陷。刃型位错刃型位错：刃型位错的位错线与滑移方向垂直刃型位错的
24、位错线与滑移方向垂直。螺旋位错螺旋位错：螺旋位错的位错线：螺旋位错的位错线与滑移方向平行。与滑移方向平行。位错缺陷的滑移：位错缺陷的滑移：刃位错刃位错：刃位错的滑移方向与晶体受力方向平行刃位错的滑移方向与晶体受力方向平行。螺位错螺位错：螺位错的滑移方向：螺位错的滑移方向与晶体受力方向垂直与晶体受力方向垂直。三个近似：三个近似： 第一步简化第一步简化 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上。电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上。 第二步简化第二步简化 单电子近似：每个电子是在固定的离子势场以及其它电
25、子单电子近似：每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动的平均场中运动 第三步简化第三步简化 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场 复杂的多体问题转化为周期场中的单电子运动问题复杂的多体问题转化为周期场中的单电子运动问题布里渊区： 在在倒格空间中以中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面格点连线的中垂面(或中垂线或中垂线)，这些中垂面，这些中垂面(或中垂线或中垂线)将倒格空间分割成许多区将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为域，这些区域称为布里渊区布里渊区。 第一布里渊区第一布里渊
26、区( (简约布里渊区简约布里渊区) )：围绕原点的最小闭合区域；：围绕原点的最小闭合区域；布里渊区的形状由晶体结构的布喇菲晶格决定；布里渊区的形状由晶体结构的布喇菲晶格决定；布里渊区的体积布里渊区的体积( (或面积或面积) )等于倒格原胞的体积等于倒格原胞的体积( (或面积或面积) )。布洛赫定理： 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。 rurkrkik e nkkRruru ,rRrnRk in)(e)( )()(rrhKkk )3
27、2 1( 22， ibkbiii 在此范围内在此范围内k共有共有N个值个值(N为晶体原胞为晶体原胞数数) ,可容纳可容纳2N个电子。个电子。简约布里渊区简约布里渊区(第一布里渊区第一布里渊区)0)2( nnKkK 晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场 的作用，其他原子的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。)(nRrV mRmatnatRrVRrVrV)()(2.势场 紧束缚近似1.模型 nnRnatRk iRrNr ,k)(e1)( 3.波函数 nsnRsn
28、RRk issatJJEkE)(e)( 4.能量表达式：5.能带宽度：minmaxEEE 等能面等能面 能态密度能态密度 在波矢空间内，布洛赫电子的能量在波矢空间内，布洛赫电子的能量E(k)的特性的特性)()(nKkEkE (1) 周期性周期性:(2) 反演对称性反演对称性: )()(kEkE (3) E(k)具有与晶格相同的对称性具有与晶格相同的对称性: 在在k空间内，电子的能量等于定值的曲面称为等能面。空间内，电子的能量等于定值的曲面称为等能面。 电子在电子在k空间填充一个半径为空间填充一个半径为kF的球。的球。mkEFF2220 EF费米能费米能，对应的等能面为费米面，对应的等能面为费米
29、面， kF 为费米半径。为费米半径。)()(kEkE )(1kEvkk 电子的平均速度 加速度和有效质量电子的平均速度：电子的平均速度：平均加速度：平均加速度： FEakk 21有效质量的分量为：有效质量的分量为： kkEm 22有效质量有效质量m* *是固体物理学中的一个重要的概念。是固体物理学中的一个重要的概念。 （1 1）m*不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量 （2 2）m*不是一个常数，而是不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；情况下，它才可化为一标量的形式；k （3 3）m*可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，m*总是总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。)(1lFFma Fma 1