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1、第3讲数列的综合问题专题三数列与不等式板块三专题突破核心考点考情考向分析1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破热点一利用Sn，an的关系式求an1.数列an中，an与Sn的关系2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法
2、求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).例例1(2018浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项.数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；解答解解由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48. 因为q1，所以q2.(2)求数列bn的通项公式.解答解解设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.由(1)可得an2n1，当n1时，b11也满足上式，给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化
3、为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练1已知数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式；解答解 解 由 已 知 a1an S1 Sn，当n2时，由已知可得a1an1S1Sn1，若a10，则an0，此时数列an的通项公式为an0.即此时数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an2n(nN*).综上所述，数列an的通项公式为an0或an2n(nN*).解答解解因为an0，故an2n.由n50，解得n5，所以当n4或n5时，Tn最小，数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景
4、，给出数列所满足的条件，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.热点二数列与函数、不等式的综合问题(1)若x0时，f(x)0，求的最小值；解答解解由已知可得f(0)0，若0，则当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)f(0)0，不合题意；则当x0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，f(x)f(0)0，符合题意.证明以上各式两边分别相加可得解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视.(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.(3)不等关系证明中进行适当的
5、放缩.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；解答解解由题设fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.证明证明证明因为fn(0)10，热点三数列的实际应用数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，求解方法既要用到不等式知识，又要用到数列的基础知识，经常涉及到放缩法和数学归纳法的使用.例例3
6、(2018浙江省名校协作体联考)已知数列an中，a11，an12an(1)n(nN*).证明证明证明an12an(1)n，证明证明数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下：(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法：先求和后放缩；先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后用裂项相消法求和.(3)数学归纳法.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练3(2018杭州质检)已知数列an满足a11，an1an (c0，nN*).(1)证明：an1an1；证明证明证明因为c0，a11，下面用数学归纳法证明an1.当n1时，a111；假设当nk时，ak1，
7、所以当nN*时，an1.所以an1an1.证明证明证明由(1)知当nm时，anam1，证明真题押题精练真题体验1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.解析答案63解析解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列， S612663.2.(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*).证明：当nN*时，(1)0 xn10.当n1时，x110.假设当nk(kN*)时，xk0，那么当nk1时，若x
8、k10，则00，因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0 xn1xn(nN*). 证明证明证明由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xn记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，证明证明证明因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，押题依据押题依据数列与不等式的综合是高考重点考查的内容，常以解答题的形式出现，也是这部分的难点，考查学生的综合能力.解答押题依据(1)求b2的值；解解由已知得a23a128，押题预测解答(2)求证：数列an1为等比数列，并求出数列an的通项公式；解解由条件得an13an2，所以数列an1是以a11为首项，3为公比的等比数列.即an1(a11)3n13n，所以数列an的通项公式为an3n1(nN*).证明所以原不等式成立；先证明不等式左边，当n2时，