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1、2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用一、解答题（共有7道小题）1.如图，直线与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC，抛物线经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。（1）球抛物线的解析式。（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+ PC的和最小。求出点P的坐标。2.如图，已知二次函数的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点(1)求二次函数的表达式；(2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB
2、的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积3.如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l(1)求点P，C的坐标；(2)直线l上是否存在点Q，使PBQ的面积等于PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不
3、存在，请说明理由5.如图，已知二次函数的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点(1)求二次函数的表达式；(2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积6.如图，直线与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC，抛物线经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。（1）球抛物线的解析式。（2）在y轴上是否存在一点G，似的 的值最大？若存在，求出点G的左边；若
4、不存在，请说明理由。7.已知顶点为A抛物线经过点，点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若，求POE的面积；(3)如图2，点Q是折线ABC上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到，若点落在x轴上，请直接写出Q点的坐标参考答案一、解答题（共有7道小题）1.（1）解：把y=0代入，得x=-1，所以A(-1，0)由OA=OC可得C(0，-1)将B(4，m)代入可得m=5，所以B(4，5)所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入可得
5、，解得 ，进而，（2）所以，函数的对称轴为直线，点A(-1，0)关于直线的对称点为A(2，0)。AC与直线的交点即为点P。设AC所在直线解析式为，进而可得当时所以，点P的坐标为2.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，解得，二次函数的解析是为；(2)若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP，则PECO，垂足为E，C(0，3)，E(0，)，点P的纵坐标，当y时，即，解得，(不合题意，舍)，点P的坐标为(，)；(3)如图2，P在抛物线上，设P(m，m22m3)，设直线BC的解析式为ykxb，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，解得直线BC的解析为yx3，
6、设点Q的坐标为(m，m3)，PQm22m3(m3)m23m当y0时，x22x30，解得x11，x23，OA1，AB3(1)4，ABOCPQOFPQFB43(m23m)3，当m时，四边形ABPC的面积最大当m时，m22m3，即P点的坐标为(，)当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为3.解：(1)将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式yx22x3；(2)设BC的解析式为ykxb，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析式为yx3，设M(n，n3)，P(n，n22n3)，PM(n3)(n22n3)n23n(n)2，当n时，PM最大；当PMPC时，(n23n
7、)2n2(n22n33)2，解得n1n20(不符合题意，舍)，n33，n22n30，P(3，0)当PMMC时，(n23n)2n2(n33)2，解得n10(不符合题意，舍)，n23，n33(不符合题意，舍)，n22n324，P(3，24)；综上所述：P(3，24)4.解：(1)yx26x5(x3)24，顶点P(3，4)，令x0得到y5，C(05)(2)令y0，x26x50，解得x1或5，A(1，0)，B(5，0)，设直线PC的解析式为ykxb，则有，解得，直线PC的解析式为y3x5，设直线交x轴于D，则D(，0)，设直线PQ交x轴于E，当BE2AD时，PBQ的面积等于PAC的面积的2倍，AD，B
8、E，E(，0)或E(，0)，则直线PE的解析式为y6x22，Q(，5)，直线PE的解析式为yx，Q(，5)，综上所述，满足条件的点Q(，5)，Q(，5)5.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，解得，二次函数的解析是为；(2)若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP，则PECO，垂足为E，C(0，3)，E(0，)，点P的纵坐标，当y时，即，解得，(不合题意，舍)，点P的坐标为(，)；(3)如图2，P在抛物线上，设P(m，m22m3)，设直线BC的解析式为ykxb，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，解得直线BC的解析为yx3，设点Q的坐标为(m，m3
9、)，PQm22m3(m3)m23m当y0时，x22x30，解得x11，x23，OA1，AB3(1)4，ABOCPQOFPQFB43(m23m)3，当m时，四边形ABPC的面积最大当m时，m22m3，即P点的坐标为(，)当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为6.（1）解：把y=0代入，得x=-1，所以A(-1，0)由OA=OC可得C(0，-1)将B(4，m)代入可得m=5，所以B(4，5)所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入可得，解得 ，进而，（2）连接BD并延长，交y轴于点G，则点G即为所求。设BD所在直线解析式为，代入B(4，5)，D(2，0)进而可得。当x
10、时所以，存在这样的点G(0，-5)7.解：(1)把点代入，解得：a1，抛物线的解析式为：；(2)由知A(，2)，设直线AB解析式为：ykxb，代入点A，B的坐标，得：，解得：，直线AB的解析式为：y2x1，易求E(0，1)，若OPMMAF，OPAF，OPEFAE，设点P(t，2t1)，则：解得，由对称性知；当时，也满足OPMMAF，都满足条件，POE的面积OE|t|，POE的面积为或(3)若点Q在AB上运动，如图1，设Q(a，2a1)，则NEa、QN2a，由翻折知QNQN2a、NENEa，由QNEN90易知QRNNSE，即2，QR2、ES，由NEESNSQR可得a2，解得：a，Q(，)；若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，设NEa，则NEa，易知RN2、SN1、QNQN3，QR、SEa，在RtSEN中，(a)212a2，解得：a，Q(，2)；若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，设NEa，则NEa，易知RN2、SN1、QNQN3，QR、SEa，在RtSEN中，(a)212a2，解得：a，Q(，2)综上，点Q的坐标为(，)或(，2)或(，2)