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1、第1课时对数函数及其图象1理解对数函数的概念2掌握对数函数的图象和简单性质3了解对数函数在生产实际中的简单应用1对数函数的概念函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)温馨提示：(1)对数函数ylogax是由指数函数yax反解后将x、y互换得到的(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a0且a1.2对数函数的图象及性质温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0aa1dc0.1作出函数ylog2x和ylogx的图象如下：(1)函数ylog2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？(2)函数y
2、的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？(3)若将函数ylog2x与y的图象画在同一坐标系中，其图象有什么关系？答案(1)定义域为(0，)，值域为R，在(0，)上是增函数(2)定义域为(0，)，值域为R，在(0，)上是减函数(3)关于x轴对称2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)ylog2x2与logx3都不是对数函数()(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧()(4)对数函数ylogax(a0且a1)，在定义域上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)题型一对数函数的概念【典例1】指出下列函数哪些是对数函数？(1)y3log2x；(2)ylog6x；(
3、3)ylogx3；(4)ylog2x1.思路导引紧扣对数函数的定义判断解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数(3)自变量在底数位置上，不是对数函数(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数依据3个形式特点判断对数函数判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0且a1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数(3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1若对数函数yf(x)满足f(4)2，则该对数函数的解析式为()Aylog2xBy2log4xCylog2x或y2log4xD不确定解析设对数函数的解析式为
4、ylogax(a0，且a1)，由题意可知loga42，a24，a2.该对数函数的解析式为ylog2x.答案A题型二对数型函数的定义域【典例2】求下列函数的定义域(1)y；(2)y；(3)y；(4)ylog(x1)(2x)解(1)定义域为(0，)(2)由解得x1，定义域为.(3)由解得x，定义域为.(4)由解得1x0或0x0且a1)解(1)解得1x2定义域为x|1x2(2)解得1x2定义域为x|1x2(3)当0a1时，04x311时，4x31x1，定义域为x|x1.题型三对数函数的图象【典例3】(1)已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图象只能是()(2)函数yloga(x1)2(
5、a0，且a1)的图象恒过点_思路导引利用对数函数的图象特征求解解析(1)解法一：若0a1，则函数yax的图象上升且过点(0,1)，而函数yloga(x)的图象下降且过点(1,0)，只有B中图象符合解法二：首先指数函数yax的图象只可能在上半平面，函数yloga(x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，yax与yloga(x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合(2)因为函数ylogax (a0，且a1)的图象恒过点(1,0)，则令x11得x0，此时yloga(x1)22，所以函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过点(0，2)答案(1)B(2)(0，2)变式若本
6、例(2)的函数改为“yloga2”，则图象恒过定点坐标是_解析令1，得x2，此时y2，函数yloga2过定点(2,2)答案(2,2)处理对数函数图象问题的3个注意点(1)明确图象的分布区域对数函数的图象在第一、四象限当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交(2)建立分类讨论的思想在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a1，还是0a0，且a1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.针对训练3函数ylg(x1)的图象大致是()解析由底数大于1可排除A、B，ylg(x1)可看作是ylgx的图象向左平移1个单位(或令x0得y0，而且函数为增函数)答案C4.如图，若
7、C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则()A0ab1B0bab1Dba1解析作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba0，且a1)，由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4loga16，得a2.所以对数函数的解析式为ylog2x，故选D.答案D2若f(x)，则f(x)的定义域为()A.B.(0，)C.D.解析根据题意得解得x(0，)故选B.答案B3若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f1，当x0时，f(x)log2(x)m，则实数m()A1B0 C1D2解析f(x)是定义在R上的奇函数，f1，且x0，a1)的图象过定点()A.B(1,0)C(0,
8、1) D.解析根据对数函数过定点(1,0)，令3x21，得x1，过定点(1,0)答案B3函数f(x)log2(x28)的值域为()ARB0，)C3，)D(，3解析设tx28，则t8，又函数ylog2t在(0，)上为增函数，所以f(x)log283.故选C.答案C4已知m，nR，函数f(x)mlognx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是()Am0,0n1 Bm0,0n0，n1 Dm1解析由图象知函数为增函数，故n1.又当x1时，f(x)m0，故m0.答案C5已知函数f(x)alog2xblog3x2，且f4，则f(2019)的值为()A4B2 C0D2解析f(x)falog2xblog3x2
9、alog2blog324，所以f(2019)f4，又因为f4，所以f(2019)0.答案C二、填空题6函数f(x)的定义域为_解析由12log5x0，得log5x，故00，且a1)的图象恒过定点_解析令x21，解得x1.因为f(1)3，所以f(x)的图象恒过定点(1,3)答案(1,3)8若f(x)是对数函数且f(9)2，当x1,3时，f(x)的值域是_解析设f(x)logax，因为loga92，所以a3，即f(x)log3x.又因为x1,3，所以0f(x)1.答案0,1三、解答题9若函数yloga(xa)(a0且a1)的图象过点(1,0)(1)求a的值；(2)求函数的定义域解(1)将(1,0)
10、代入yloga(xa)(a0，且a1)中，有0loga(1a)，则1a1，所以a2.(2)由(1)知ylog2(x2)，由x20，解得x2，所以函数的定义域为x|x210若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x(0，)时，f(x)lg(x1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象解f(x)为R上的奇函数，f(0)0.又当x(，0)时，x(0，)，f(x)lg(1x)又f(x)f(x)，f(x)lg(1x)，f(x)的解析式为f(x)f(x)的大致图象如图所示综合运用11已知函数f(x)那么f的值为()A27B.C27D解析flog2log2233，ff(3)33.答案B12下列函数中，值域是0，
11、)的是()Af(x)log2(x1)Bf(x)Cf(x)log2(x22)Df(x)log2解析A、D中因为真数大于0，故值域为R，C中因为x222，故f(x)1.只有B中log2(x1)0，f(x)的值域为0，)答案B13若函数f(x)loga(xb)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)axb的图象大致是()解析由函数f(x)loga(xb)的图象可知，函数f(x)loga(xb)在(b，)上是减函数0a1且0b0，且a1)，若f(x1x2x2019)8，则f(x)f(x)f(x)f(x)的值等于_解析f(x)f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogaxlogaxloga(
12、x1x2x3x2019)22loga(x1x2x3x2019)2f(x1x2x3x2019)，原式2816.答案1615已知函数f(x)的定义域为，值域为0,1，则m的取值范围为_解析作出f(x)的图象(如图)可知ff(2)1，f(1)0，由题意结合图象知：1m2.答案1,216已知函数f(x)loga(x1)的图象过点(3,1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(m)f(2)，求m的取值集合解(1)由函数f(x)loga(x1)的图象过点(3,1)，得a2.所以函数解析式为f(x)log2(x1)(2)若f(m)f(2)，由f(x)在(1，)上单调递增，得1m2.所以m的取值集合为m|1m2