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1、 向量数量积的物理背景向量数量积的物理背景 Fs一个物体在力一个物体在力 的作用下发生了位移的作用下发生了位移 ，那么该力对此物体所做的功为多少？那么该力对此物体所做的功为多少？Fs| s|F|Wcos其中力其中力 和位移和位移 是向量，是向量， 是是 与与 的夹角，而功的夹角，而功 W是数量是数量. FssF将公式中的力与位移推广到将公式中的力与位移推广到一般向量一般向量| s|F|Wcos功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积出现了向量的一种新的运算|cosa ba b 一、平面
2、向量数量积的定义一、平面向量数量积的定义 coscos,.,aba baba ba ba b 已知两个非零向量 与他们的夹角为 ，我们把数量叫做 与 的数量积（或内积） 记作即 （4） 在运用在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的 范围是范围是 0，180 （1） a b中间的中间的“ ”在向量的运算中不能省略，也不能写在向量的运算中不能省略，也不能写 成成ab ，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算注意：（2）两向量的数量积是一个）两向量的数量积是一个数量数量，而不是向量，而不是向量.（3）规定，零向量与任一向量的数量积为零）规定，零
3、向量与任一向量的数量积为零. 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负什么时候为正，什么时候为负,什么时候什么时候为为0？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。|cosa ba b OABab 1BC|cosbab叫做向量 在 方向上的投影；|cosaba叫做向量 在 方向上的投影.投影是个数，可正可负可零投影是个数，可正可负可零|cosa ba b |cosa ba baabab 的几何意义：数量积等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积.二、二、平面向量数量
4、积的几何意义平面向量数量积的几何意义 非常学案非常学案58页例页例1向量数量积的性质总结向量数量积的性质总结:a b 设 ,都是非零向量,则(1)0aba b (2),|,|a ba baba ba bab 当当同同向向时时；当当反反向向时时；(3)| |a bab 证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据求模的方法求模的方法 4|a ba bab c co os s= =为为 ， 的的夹夹角角求角的依据求角的依据|cosa ba b 2a aaaa a 特特别别的的或或三、三、平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质 2aaa常常记作22aaaa(3)(3)(5)(5)(4)(4)(2)(2)(
5、1)(1)| 4,| 8/_.ababa b 已知，且，则练练一一练练：32| 4,| 8_.ababa b 变式：已知，且，则0四、平面向量数量积的运算律四、平面向量数量积的运算律 探究探究1：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？为什么？小组讨论完成算律对向量是否也适用？为什么？小组讨论完成运算律是否成立交换律分配律结合律, ,a b c实数, ,a b c 向量abbaa bb a ()abca cb c ()()ab ca bc()()a bcab c 成立成立不成立bcaccba )(abba )()()(bababa c
6、bcacba )(交换律：交换律：数乘结合律：数乘结合律：分配律：分配律：则则，和实数和实数、已知向量已知向量 cba数量积的运算律数量积的运算律cbcacba )(4）（典例解析222222(1)()2(2)().abaa bbababab 例求证：；） （| 3,| 4,abkakbakb例4 已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？3| 6,| 460(2 ) (3 ).abababab例已知， 与 的夹角为，求当堂检测221.,=12.|=5, | 23,| _.3.|=3| 6/ ,(2)60.4.|=1|2a ba ba ba bababa bababababa babab 已知为两个单位向量，下列说法中正确的是（ ） A. B. =0 C.| D. 设，则已知，当(1)与 的夹角为时，分别求已知，若aab与 垂直，求 与 的夹角.D351894