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1、2017-2018学年北京市昌平区高一上学期期中试题数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、表示正整数集的是（ ）A、Q B、N C、N* D、Z2、如图中的阴影部分表示的集合是（ ）A、MNB、MNC、MND、MN3、已知集合，则下列结论正确的是（） A、B、C、D、集合M是有限集4、已知集合A=x|1x2，B=x|x40，则AB=（ ）A、x|1x4B、x|2x4C、x|x1D、x|x45、如图，可表示函数y=f（x）的图象的可能是（ ）A、B、C、D、6、下列函数中与y=x为同一函数的是( ) A、B、C、D、7、下列各
2、函数中，是指数函数的是（ ）A、y=（3）xB、y=3xC、y=3x1D、y=3x8、将化成分数指数幂为（ ）A、B、C、D、9、与的图像关于( ) A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、对称10、已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（ ） A、3x1 B、3x+1C、3x+2D、3x+411、为了得到函数y=2x+1的图象只需把函数y=2x上的所有点（ ） A、向下平移1个单位长度B、向上平移1个单位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个单位长度12、函数，满足f(x)1的x的取值范围是( ) A、(-1,1)B、C、x|x0或x1或x-）的图象上运动（1）求函数y=
3、g（x）的解析式；（2）求函数F（x）=f（x）g（x）与x轴交点的横坐标（3）函数F（x）在x（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由 选做题（12分，不计入总分）我们给出如下定义：对函数y=f（x），xD，若存在常数C（CR），对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”（1）判断函数f（x）=x+1，x1，3是否为“和谐函数”？如果是，写出它的一个“和谐数”（2）证明：函数g（x）=lgx，x10，100为“和谐函数”，是其“和谐数”；（3）判断函数u（x）=x2，xR是否为和谐函数，并
4、作出证明高一数学答案解析部分一、单选题1、【答案】C 【考点】集合的含义【解析】【解答】解：表示正整数集的是N*故选：C【分析】Q是有理数集；N是自然数集；N*是正整数集；Z是整数集2、【答案】B 【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于M或不属于N的元素构成，所以用集合表示为MN故选B【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断 3、【答案】A 【考点】元素与集合关系的判断，集合的分类【解析】【分析】由于集合表示的为大于-2小于3的实数集合，那么可知，对于A, 成立，对于B不能是含于关系，而是属于关系，对于C是集合与集合的关系，不能用
5、属于符号，对于D集合M是无限集，因此选A. 4、【答案】D 【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：A=x|1x2，B=x|x40=x|x4，AB=x|x4，故选：D【分析】由A与B，求出两集合的并集即可5、【答案】D 【考点】函数的概念及其构成要素【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，A，B，C对应的图象不满足y值的唯一性，故D正确，故选D【分析】根据函数的定义和函数图象之间的关系即可得到结论6、【答案】B 【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】函数的定义域为R，函数的定义域为，所以与函数的定义域不同，不是同一函数；函数的定义域为R，且，与与函数为同一函数；函数的定义域为，所以
6、与函数的定义域不同，不是同一函数；函数，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数.故选：B. 7、【答案】D 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【解答】解：根据指数函数的定义：形如y=ax（a0，且a1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确故选：D【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可8、【答案】D 【考点】分数指数幂【解析】【解答】解：= 故选：D【分析】直接化根式为分数指数幂得答案9、【答案】D 【考点】指数函数的图像与性质，对数函数的图像与性质，反函数【解析】【分析】因为与互为反函数，所以与的图像关于对称。选D. 10、【答案】A 【考点】函数解析式
7、的求解及常用方法【解析】【解答】f（x+1）=3x+2=3（x+1）1 f（x）=3x1故答案是：A【分析】通过变换替代进行求解 11、【答案】B 【考点】函数的图象与图象变化【解析】【解答】解：根据两个函数的关系可知，将y=2x图象再向上平移1个单位长度得到y=2x+1，所以选B故选：B【分析】根据图象平移和函数对应关系去求y=2xy=2x+1，寻找他们的变化关系12、【答案】D 【考点】指数函数的图像与性质，幂函数的图像，幂函数的性质【解析】【分析】即解或，所以，选D。【点评】解不等式，往往借助于函数单调性，也可以借助于函数图象，数形结合加以分析，形象直观。二、填空题13、【答案】a|a
8、【考点】空集的定义、性质及运算【解析】【解答】解：集合x|ax3a1表示非空集合，3a1a，解得a ，a的取值范围是a|a ；故答案为：a|a 【分析】根据题意，得3a1a，求得a的取值范围14、【答案】（0，1 【考点】函数的定义域及其求法，对数函数的定义域【解析】【解答】解：要使函数有意义则由0x1故答案为：（0，1【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求15、【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】【解答】设幂函数的解析式为y=xa，其图象过点（2，16），则2a=16，解得a=4，即y=x4；又图象过点（， m），则m=故答案为
9、：【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出解析式，再计算m的值 16、【答案】2；3 【考点】分段函数的应用【解析】【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，由图象可以观察函数f（x）的最小值为2，当x=1时取得最小值，由图象可以看出函数f（x）与直线y=4的交点个数有3个故答案为：2，3【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想解得三、解答题17、【答案】解：f（x）= ，函数的图象为：坐标系中的点f（f（3）=f（1）=0【考点】函数图象的作法，函数的值【解析】【分析】利用分段函数直接画出函数的图象，然后求解f（f（3）的值18、【答案】解：（1）原式=1+=1+=（2）原式=+lg（2
10、54）+2=+2+2=【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出19、【答案】解：方程|3x1|=k的解的问题，可转化为函数y=|3x1|和y=k的图象交点个数问题如图，故0k1时，两个函数图象有两个交点，故方程有两解；k=0或k1时，两个函数图象有一个交点，故方程有一解；k0时，两个函数图象无交点，故方程无解【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】方程|3x1|=k的解的问题，可转化为函数y=|3x1|和yk的图象交点个数问题，做函数y=|3x1|的图象时，先做出y=3x1的图象，再将x轴下方的部
11、分翻折到x轴上方即可20、【答案】解：（1）设y=f（x）=x，代入点（2，4），得4=2，=2，f（x）=x2；（2）f（x）=x2 ， 当x0时g（x）=x22x设x0，则x0，y=g（x）是R上的偶函数g（x）=g（x）=（x）22（x）=x2+2x即当x0时，g（x）=x2+2x，图象如右图所示；（3）函数y=|g（x）|的图象如图由图象知，函数y=|g（x）|的单调递减区间是：（，2，1，0，1，2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设f（x）=x，代入点（2，4），解指数方程即可得值；（2）利用偶函数的定义，设x0，则x0，f（x）=f（x）
12、，再代入已知解析式即可得x0时，函数y=g（x）的解析式，最后利用对称性画出函数图象即可；（3）先画出函数y=|g（x）|的图象，即将函数y=g（x）的图象x轴下面的部分翻到上面，再根据图象写出此函数的单调减区间即可21、【答案】解：（1）函数f（x）=ax1（a0且a1），函数y=f（x）的图象经过点P（3，9），a2=9，a=3，（2）f（lg）=f（2），当a1时，f（x）=ax1，单调递增，f（2）f（1.9），当0a1，f（x）=ax1，单调递减，f（2）f（1.9）所以，当a1时，f（lg）f（1.9），当0a1，f（lg）f（1.9）（3）f（lna）=e2，alna1=e2，l
13、na（lna1）=2，即lna=2，或lna=1，a=e2或a=【考点】指数函数的图像变换【解析】【分析】（1）把点代入求解，（2）化为f（2），f（1.9），讨论利用函数单调性求解判断，（3）alna1=e2，两边取对数化为lna（lgn1）=2求解22、【答案】解：（1）由点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，得y=log2（x+1），由点（，）在函数y=g（x）（x-）的图象上运动，得，=log2（x+1），令t=，x=3t，g（t）=，即g（x）=；（2）函数F（x）=f（x）g（x）=log2（x+1），令F（x）=0，有log2（x+1）=，解得x=0或x=1，函数F（x）的
14、零点是x=0或x=1；（3）函数F（x）=f（x）g（x）=log2（x+1）=，设t=，设m=3x+1，由x（0，1）得m（1，4），函数在（1，2上递减，在2，4）上递增，当m=2时有最小值4，无最大值，t有最小值，无最大值函数F（x）在x（0，1）内有最小值，无最大值【考点】复合函数的单调性，对数函数图象与性质的综合应用【解析】【分析】（1）把两动点坐标分别代入两函数解析式，然后利用换元法可求得g（x）；（2）表示出F（x），问题转化为求方程F（x）=0的根，注意函数定义域；（3）可化为F（x）=，设t=，变形后进行换元，然后利用基本不等式可求得t的最值，从而可得F（x）的最值情况；四、
15、选做题23、设全集U=xZ|1x5，集合A=xR|（x1）（x2）=0，集合B=，分别求集合CUA、AB、AB 23、【答案】解：全集U=1，0，1，2，3，4，5，A=1，2，B=0，1可得UA=1，0，3，4，5，AB=0，1，2，AB=1【考点】集合的含义，并集及其运算，交集及其运算，补集及其运算【解析】【分析】先化简集合U以及集合A和集合B，然后利用补集的定义求出CUA，最后再利用交集与并集的定义求出AB、AB即可24、【答案】解：（1）对任意x11，3，令=2 ，得x2=2x1， x21，3，即对任意的x11，3，存在唯一的x2=2x11，3，使得=2 ，故正确答案为 是； 2（2）
16、证明：对任意x110，100，令，即，得 x110，100，10,100即对任意x110，100，存在唯一的10,100 ，使得g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x， x（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；对任意x1（1，3），令，即，得， x1（1，3），（2,8），（1,3）即对任意x1（1，3），存在唯一的（1,3），使得h（x）=2x， x（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”（3）解：函数u（x）=x2， xR不是“和谐函数”，证明如下：对任意的常数C，若C0，则对于x1=1，显然不存在x2R，使得=C成立，所以C（C0）
17、不是函数u（x）=x2， xR的和谐数；若C0，则对于，由=得，x22=2C0，即不存在x2R，使=C成立所以C（C0）也不是函数u（x）=x2， xR的和谐数综上所述，函数u（x）=x2， xR不是“和谐函数”【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x11，3，令=2，得x2=2x1，而x21，3，即对任意的x11，3，存在唯一的x2=2x11，3，使得=2 ，即可得正确结果（2）参照上述证明过程，对任意x1（1，3），令，得，（1,3）（1，3），即可证明函数h（x）=2x， x（1，3）为“和谐函数”（3）分c0和c0两种情况讨论，对任意的x
18、1R，不存在唯一的x2R，使=C成立，所以函数u（x）=x2， xR不是“和谐函数” 25、对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数对任意的x0，1，总有f（x）0；当x10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立已知函数g（x）=x3与h（x）=2xa是定义在0，1上的函数（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合25、【答案】解：（1）当x0，1时，总有g（x）=x30，满足；当x10，x20，x1+x21时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=+3x2+3x1+=g（x1）+g（x2），满足，所以函数g（x）是不等函数（2）h（x）=2xa（x0，1）为增函数，h（x）h（0）=1a0，所以a1由h（x1+x2）h（x1）+h（x2），得aa+a，即a+=1（1）（1）因为x10，x20，x1+x21，所以011，011，x1与x2不同时等于1，所以0（1）（1）1，所以01（1）（1）1当x1=x2=0时，1（1）（1）max=1，所以a1综合上述，a1【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可