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1、二次根式教学目标1、了解二次根式的意义，理解二次根式的双重非负性，掌握和应用其性质；2、通过数学技能的训练，培养学生观察分析、归纳概括的能力；3、通过新旧知识点的联系以及问题探索，启发学生学习数学的兴趣 知识梳理1二次根式的定义一般地，我们把形如a（a0）的式子叫做二次根式2二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念形如a（a0）的式子叫做二次根式（2）二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是_（3）二次根式具有非负性a（a0）是一个非负数3二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：a0；0（双重非负性）（）2=a （a0）（任何一个非负数都可以写成一个数
2、的平方的形式） =a（a0）（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简（3）化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数开方数是_4二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：ab=ab（a0，b0）（2）二次根式的乘法法则：ab=ab（a0，b0）（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a0，b0）（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a0，b0）5二次根式的加减法（1）法
3、则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相_，根式不变（2）步骤：如果有括号，根据去括号法则去掉括号把不是最简二次根式的二次根式进行化简合并被开方数相同的二次根式（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变6二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用学习二次根式的混合运算应注意以下几点：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的在运算中每
4、个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“（2）二次根式的运算结果要化为_二次根式（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍7二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰 参考答案：2.（2）非负数 3.（3）25.（1）加减6.（2）最简典例讲练1. 实数的运算；二次根式的性质与化简【例1】实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|的值是（）Abc Bcb C2（ab+c）
5、D2a+b+c【解析】此题考查了绝对值和二次根式的性质，|a|=，由数轴可知bc0a，|a|b|，所以|a+b|=ab，=c解：a+|a+b|=aab+c=cb故选B练1. 下列计算中正确的是（）ABC D【解析】此题考查了二次根式的运算，要注意运算法则和运算顺序解：解：A、2+3不能合并，故不对；B、算式中，无意义，正确计算为：=4，故不对；C、=，故不对；D、=，正确故选D2. 二次根式的定义【例2】下列说法错误的是（）A零和负数没有算术平方根B是一个非负数，也是二次根式C的最小值是4D的值一定是0【解析】根据二次根式的定义进行逐一分析即可解：A、零的算术平方根是0，负数没有平方根，故错误
6、；B、a2+b2是非负数，所以是一个非负数，也是二次根式，故正确；C、x2+1616，当x=0时，有最小值是4，故正确；D、（x1）20，有意义的情况下它的值一定是0，故正确故选A练2. 对于，以下说法正确的是（）A对于任意实数a，它表示a的算术平方根B对于正实数a，它表示a的算术平方根C对于正实数a，它表示a的平方根D对于非负实数a，它表示a的算术平方根b【解析】根据二次根式的概念可知解：（a0）表示的是非负数a的算术平方根故选D练3. 若是二次根式，则下列说法正确的是（）Ax0，y0 Bx0且y0 Cx，y同号 D0【解析】二次根式中的被开方数必须是非负数解：依题意有0，即0故选D3. 二
7、次根式有意义的条件【例3】使有意义的x的取值范围是（）Ax2 Bx2 Cx2且x1Dx2且x1【解析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解解：根据题意，得，解得x2且x1故选C练4. 如果有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx1且x2Cx2Dx1且x2【解析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；此题要同时满足这两个条件解：由分式的分母不为0，得2+x0，即x2又因为二次根式的被开方数不能是负数，所以有1x0，得x1，所以x的取值范围是x1，且x2故选：B练5. 已知：1x4，则下列
8、式子中有意义的是（）ABCD【解析】根据所给范围得到二次根式的被开方数为非负数；分母不为0的式子即可解：A、当x=4时，分母为0，无意义，不符合题意；B、当x=4时，分母为0，无意义，不符合题意；C、当1x2时，中的被开方数为负数，无意义，不符合题意；D、当1x4时，分子，分母均有意义，符合题意；故选D4二次根式的性质与化简【例4】下列各式运算中，正确的是（）A（a+b）2=a2+b2BCa3a4=a12D【解析】根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；B、=3，正确；C、a3a4=a12，错误；D、=，错误故选B
9、练6. 化简二次根式的结果是（）ABCD【解析】根据二次根式找出隐含条件a+20，即a2，再化简解：若二次根式有意义，则0，a20，解得a2，原式=故选B5函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件【例5】在函数中，自变量x的取值范围是【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：x50，可解自变量x的取值范围解：根据题意得：x50，解得x5练7函数中自变量x的取值范围是【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解解：根据题意得：x40，解得x4当堂检测1若代数式有意义，则x的取值范围是（）Ax2 Bx
10、 Cx且x2 Dx且x22使有意义的x的取值范围是（）Ax1 Bx1 Cx1 Dx0且x13函数的自变量x的取值范围是4在函数y=中，自变量x的取值范围是5已知数a满足，求a20042的值当堂总结_家庭作业1 使式子有意义的实数x的取值范围是（）A0x B0x Cx Dx2能使是一个实数的x有（）A0个 B1个 C2个 D无数个3当有意义时，x满足条件（）Ax Bx3 Cx3 D3x34下列命题：当x0时，在实数范围内有意义当x2时，=1x1的倒数是+1若=x，则x一定是非负数其中正确的有多少个（）A1个 B2个 C3个 D4个5使式子有意义的实数x的取值范围是（）Ax Bx且x0Cx Dx且
11、x06如果有意义，则（）Aa0 Ba2 C0a2 Da为一切实数7二次根式运算：（1）；（2）8二次根式计算：22（）|2|9已知实数满足，求x20082的值10已知x、y为实数，试求3x+4y的值参考答案：当堂检测1.【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解【解答】解：由题意得，解得x且x2故选C2【考点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义时，字母的取值范围，式子中主要有二次根式和分式两部分根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解【解答】解：根据二次根式的
12、性质，被开方数大于等于0可知：0，解得x1；根据分式有意义的条件，x10，解得x1即x1时，二次根式有意义故选A3 【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式的意义，被开方式不能是负数据此求解【解答】解：根据题意得6x0，解得x64 【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可求得x的范围【解答】解：根据题意得：x30，解得x35 【考点】二次根式有意义的条件；绝对值【分析】根据二次根式的性质可得，a20050，即a2005化简原式即可求解【解答】解：根据二次根式的
13、性质可得，a20050，即a2005，由原式可得，a2004+=a=2004a2005=20042a20042=2005故选：A家庭作业1【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解【解答】解：由题意得，解得0x故选B2 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据负数没有平方根可以判断：根号里的数一定是0依此列出不等式计算【解答】解：是一个实数，（x1）20，即（x1）20又（x1）20x1=0，解得x=1，故选B3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母中有字
14、母时，分母不为0【解答】解：依题意有3x+70，解得x，且3|x|0，即3x3，所以x满足条件x3故选C4 【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数；和二次根式的性质：=|a|，进行分析判断【解答】解：当x0时，0，故正确；当x2时，x1的符号不能确定，故错误；1的倒数是，得+1，故正确；若=x，则x一定是非负数，正确正确的有三个，故选C5【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分【
15、解答】解：由分式的分母不为0，得x0；二次根式的被开方数不能是负数，25x0，解得x，x的取值范围是x且x0故选D6 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了字母的取值范围，表达式中主要有二次根式和分式两部分根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数0，根据分式有意义的条件，a0，根据除法的符号法则有，2a0且a0，解得0a2；2a0且a0，此时无解，所以，二次根式有意义的条件是0a2故选C7 【考点】二次根式的混合运算菁优网版权所有【分析】（1）可以把二次根式化简，合并括号里同类二次根式，
16、再做乘法；也可以用分配律计算；（2）把被开方数通分再开方【解答】解：（1）解法一：原式=15；解法二：原式=6+9=15；（2）原式=8【考点】二次根式的加减法菁优网版权所有【分析】分别进行乘方、二次根式的化简、绝对值的化简，然后合并求解【解答】解：原式=4（2）+2=+2+2=+229【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到x的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得x的值【解答】解：x20090，x2009，则原式可化简为：x2008+=x，即：=2008，x2009=20082，x20082=200910 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 【分析】根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值【解答】解：依题意得x2=4，x=2又x2是原式分母，x20x2x=2，此时，y=，3x+4y=3（2）+4（）=7