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1、陕西省渭南市大荔县2020届高三数学4月模拟考试试题 理本试卷满分150分，考试时间120分钟。1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ ） A.1，3）B.1，3C.1，2D.1，2，32.若复数，则的共轭复数=（ ） A.B.C.D.3.若向量，且=3，则实数的值为（ ） A.B.C.-2D.24.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，为常数），若该食品在 0的保鲜时间是192小时，在 22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）小时. A.22B
2、.23C.33D.245.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ） A.32B.33C.34D.356.设，若，则 A.B.C.D.7.平面平面，点，则直线直线的充要条件是（） 数学（理） 共6页 第1页 数学（理） 共6页 第2页A. B. C.与相交 D.四点共面8.抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，且它们的交点到的距离为，则的值为（ )A.4B.2C.D.9.设函数，则下列结论错误的是（ ） A.为的一个周期 B.的图像关于直线对称C.的一个零点为 D.的最大值为210.已知，则（ ） A.B.C.D.11.已知以双曲线的右焦点为圆心，以为半径的圆与
3、直线 交于两点，若，求双曲线的离心率为（ ） A.2B.C.D.12.定义域为的函数满足，且当时，则当时，的最小值为（）A.B.C.D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表）， 零件数个1020304050加工时间62758189由最小二乘法求得回归直线方程.由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 .14.已知函数是定义在上的奇函数,当时,则的解析式是 . 15.在中，角所对的边分别为已知，则的面积为 16.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：
4、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则= . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知正项数列满足,且。 （1）求数列的通项公式； （2）设,求数列的前4项和。 18.（12分）如图，四棱锥中，,，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 数学（理） 共6页 第3页 数学
5、（理） 共6页 第4页19.（12分）为推进“千村百镇计划”,2018年4月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （1）求40个样本数据的中位数； （2）已知40个样本数据的平均数，记与的最大值为该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型” 请根据
6、40个样本数据，完成下面列联表：根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.附公式:0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82820.（12分）已知椭圆过点 （1）求椭圆的方程，并求其离心率； （2）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由 21.
7、（12分）已知函数，. （1）证明：函数的极小值点为1； （2）若函数在有两个零点，证明:. 数学（理） 共6页 第6页 数学（理） 共6页 第5页（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（10分）22.（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为: (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 . （1）求的极坐标方程； （2）若直线与曲线相交于两点，求. 23.（10分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集；（2）设，且存在，使得，求的取值范围.高三数学（理科）试卷答案解析部分一、单选题1.【答
8、案】 D 2.【答案】 B 3.【答案】 C 4.【答案】D 5.【答案】 A 6.【答案】 D 7.【答案】D 8.【答案】 B 9.【答案】 D 10.【答案】 D 11.【答案】D 12.【答案】 A 二、填空题13.【答案】 53 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】3 三、解答题17.【解析】解：（1）正项数列 满足, 数列为等比数列且公比， 3分 =1,=9， ， ， 数列的通项公式6分 （2） 数列的前4项和为.12分18.【答案】 （1）证明：ABCD ， BCD ，PAPDCDBC1， BD ，ABC ， ， ，AB2，AD ，AB2AD2+BD2 ， ADBD ，
9、 3分PABD ， PAADA ， BD平面PAD ， BD平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD 6分（2）解：取AD中点O ， 连结PO ， 则POAD ， 且PO ，由平面PAD平面ABCD ， 知PO平面ABCD ， 以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（ ，0），B（ ，0），C（ ，0），P（0，0， ），（1，0，0）， （ ， ），8分设平面PBC的法向量 （x ， y ， z），则 ，取z ，得 （0， ， ）， （ ， ），10分cos ，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
10、12分19.【答案】 （1）解：由茎叶图可知： 3分（2）解：因为 ， ，所以 5分由茎叶图值，女性试用者评分不小于 的有 个，男性试用者评分不小于 的有 个，根据题意得 列联表：满意型需改进型合计女性男性合计由于 查表得： 所以有 的把握认为“认定类型”与性别有关8分由知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性 名，男性 名的所有可能取值为 ， ， 则 ， ，所以 的分布列如下：所以 的数学期望为： 12分 20.【答案】 （1）解：由椭圆方程椭圆 过点 ，可得 ，椭圆 的方程为 ，离心率 4分（2）解：直线 与直线 平行证明如下： 设直线 ， ，设点 的坐标为 ， ，由
11、 得 ， ， ，同理 ， ，8分由 ， ，有 ， 在第四象限， ，且 不在直线 上 ，又 ，故 ，直线 与直线 平行12分21.【答案】 （1）证明：因为 ， 当 时， ， ，所以 在区间 递减；3分当 时， ，所以 ，所以 在区间 递增； 且 ，所以函数 的极小值点为15分（2）解：函数 在 有两个零点， 即方程 在区间 有两解， 令 ，则 令 ，则 ，7分所以 在 单调递增， 又 ， 故存在唯一的 ，使得 ， 即 ， 所以 在 单调递减，在区间 单调递增，且 ， 又因为 ，所以 ， 10分方程关于 的方程 在 有两个零点，由 的图象可知， ，即 .12分22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， 转换为普通方程为: ，转换为极坐标方程为: .5分（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为: (为参数). 把直线的参数方程代入 ，得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)，故: ， ，所以 .10分23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 或 或 解得 或 或 即不等式 的解集为 .5分（2）当 时， ，不等式 可化为 ，若存在 ，使得 ，则 ，所以 的取值范围为 10分