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1、，1的极值1的极值1)1)(x(x求f(x)求f(x)3 32 2 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则则a a，b b的值为（的值为（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 ba解解:由题设条件得：由题设条件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或注意代注意代入检验入检验 注意：注意：f f/ /( (x x0 0)=0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件已知函数
2、极值情况，逆向应用确定函数的解析式已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式, ,进而研究函数性质时，注意两点：进而研究函数性质时，注意两点：(1)(1)常根据极值点处导数为常根据极值点处导数为0 0和极值两个条件列方和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解程组，利用待定系数法求解(2)(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性合理性已知极值求参数已知极值求参数极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题
3、的综合，题目着重考查已用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键略是解决综合问题的关键函数极值的综合应用函数极值的综合应用 设函数设函数f f( (x x) )x x3 36 6x x5 5，x xR.R.(1)(1)求函数求函数f f( (x x) )的单调区间和极值；的单调区间和极值；(2)(2)若关于若关于x x的方程
4、的方程f f( (x x) )a a有三个不同的实根，求实有三个不同的实根，求实数数a a的取值范围的取值范围【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用导数求单调区间和极值利用导数求单调区间和极值. .(2)(2)由由(1)(1)的结论，问题转化为的结论，问题转化为y yf f( (x x) )和和y ya a的图象的图象有有3 3个不同的交点，利用数形结合的方法求解个不同的交点，利用数形结合的方法求解. .【名师点评【名师点评】用求导的方法确定方程根的个数用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与运
5、用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点轴的交点个数，从而判断方程根的个数个数，从而判断方程根的个数1 1极值的概念理解极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：下几点：(1)(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小或最小方法感悟方法感悟(2)
6、(2)函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个止一个(3)(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x x1 1是极大值点，是极大值点，x x4 4是极小值点，而是极小值点，而f f( (x x4 4) )f f( (x x1 1) )2 2极值点与导数为零的点极值点与导数为零的点(1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导可导函数的极值
7、点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即数为零的点不一定是极值点，即“点点x x0 0是可导函是可导函数数f f( (x x) )的极值点的极值点”是是“f f( (x x0 0) )0 0”的充分但不的充分但不必要条件；必要条件；(2)(2)可导函数可导函数f f( (x x) )在点在点x x0 0处取得极值的充要条件处取得极值的充要条件是是f f( (x x0 0) )0 0，且在，且在x x0 0左侧和右侧左侧和右侧f f( (x x) )的符号的符号不同不同. .如果在如果在x x0 0的两侧的两侧f f( (x x) )的符号相同，则的符号相同，则x x0 0不是极不是
8、极值点值点二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 导数的应用导数的应用-求函数最值
9、求函数最值. . (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(bf(b)()(端点处端点处) ) 比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. . 求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b(a,b) )内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )所有极值连同端点函数值进行比较，所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值最大的为最大值，最小的为最小值典型例题典型例题6 63( )6123
10、3f xxx求函数在， 上的最值. 2312 33,30,22(2)22( 2)10(3) 15, ( 3)3( )6 123310.fxxxfxxxfffff xxx 解：令解得：或又，所以函数在，上的最大值为22，最小值为1 1、求出所有导数为、求出所有导数为0 0的点；的点；2 2、计算；、计算；3 3、比较确定最值。、比较确定最值。动手试试动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、（浙江）（本题满分（浙江）（本题满分1212分）分）
11、已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若）若 ，求求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若若 在在（-，-2-2和和22，+）上上都是递增的，求都是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)(xf典型例典型例7 7题题小结小结 求在求在a,ba,b 上连续上连续,(a,b,(a,b) )上可导的函数上可导的函数f(xf(x) )在在a,ba,b 上的最值的步骤上的最值的步骤: : (1) (1)求求f(xf(x) )在在(a,b(a,b) )内的极值内的极值; ; (2) (2)将将f(xf(
12、x) )的各极值与的各极值与f(af(a) )、f(bf(b) )比较比较, ,其其中最大的一个是最大值中最大的一个是最大值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值. .思考思考 32( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型；反思：本题属于逆向探究题型； 其基本方法最终落脚到比其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。解决问题，往往伴随有分类讨论。 2 2、求最大（最小）值应用题的一般方法、求最大（最小）值应用题的一般方法:
13、 :(1)(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步; ;(2)(2)确定函数定义域，并求出极值点确定函数定义域，并求出极值点; ;(3)(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实结合实际，确定最值或最值点际，确定最值或最值点. .1 1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来式反映出来: :首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型, 将
14、应用问题转化为数学问题,再解.应用应用例例1、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？60 xx60 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由题意
15、可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3. 2、若函数、若函数 f ( x )在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得
16、结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义xy例例2: 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2), 则则 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2 , 0(1 x所以当所以当 时时,.9
17、332)(3322max xSx因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是) 0 ,2322( .9332拓展提高拓展提高我们知道，如果在闭区间【我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间闭区间【a，b】换成开区间（】换成开区间（a,b）是否一定有最是否一定有最值呢？值呢？ 函数函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。值点，那么这个极值点必定是最值点。