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1、*.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）（1）_【答案】【考点】洛必达法则【难易度】【详解】解析：方法一：方法二：使用洛必达法则计算.（2）设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为_【答案】【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线【难易度】【详解】解析：在等式两边对x求导,得将代入上式,得故所求法线方程为即 x2y+2=0.（3） _【答案】【考点】定积分的换元法【难易度】【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.在区间上,是奇函数,是偶函数,故（4） 过点且满足关系式的曲
2、线方程为_【答案】【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：方法一:原方程可改写为两边直接积分,得又由解得故所求曲线方程为：方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式解得又由解得故曲线方程为：（5） 设方程有无穷多个解，则a_【答案】【考点】非齐次线性方程组解的判定【难易度】【详解】解析：方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有可见,只有当a =2 时才有秩对应方程组有无穷多个解.方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有解得或.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当时,原方程无解,因此只能是.二、选择题（本题共5
3、小题，每小题3分，满分15分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设则等于（ ）（A）0（B）1（C）（D）【答案】B【考点】复合函数【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。解析：由题易知，所以，选B.（2）设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】解析：由题易知: （3）曲线的拐点个数为（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【考点】函数图形的拐点【难易度】【详解】解析：由得，或，
4、带入，故有两个拐点.（4）已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且，则（ ）（A）在和内均有（B）在和内均有（C）在内，在内，（D）在内，在内，【答案】A【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：令，则，因为在区间上，严格单调减少，所以当时，单调递增，；当时，单调递减，；故在和内均有，即.（5）设函数在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数的图形为（ ）【答案】D【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：由图可知有两个极值点，横坐标分别记作，故在且仅在这两处的值为，故选D。其中，当时，先增后减再增，故先正再负再正，进一步排除B.三、（本题满分6分）求【考点】不定积分的第
5、二类换元法【难易度】【详解】解析：设则 原式四、（本题满分7分）求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型【考点】两个重要极限、函数间断点的类型【难易度】【详解】解析：由此表达式知x0及xkp（k1，2，）都是f（x）的间断点由于，所以x0是f（x）的可去（或第一类）间断点；而xkp（k1，2，）均为第二类（或无穷）间断点五、（本题满分7分）设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值（在直角坐标系下曲率公式为【考点】曲率半径、定积分的几何应用平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解】解析：抛物线在点处的曲率半径抛物线上的弧长故 因此六、（本
6、题满分7分）设函数在上可导，且其反函数为若求【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：解析：等式两边对x求导得：，又因为是的反函数，故，所以有又因为在处连续，由得故.七、（本题满分7分）设函数，满足，且，求【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法【难易度】【详解】解析：因为，所以其对应的齐次微分方程为特征方程为，所以齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为，则代入微分方程得，所以非齐次微分方程的通解为，又,得,故求积分： .八、（本题满分9分）设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在
7、轴上的截距，且经过点（1）试求曲线的方程；（2）求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值【难易度】【详解】解析：（1）设曲线过点的切线方程为，令,得切线在轴上的截距由题设知 ，令,则此方程可化为分离变量得积分得，即 代入条件得，于是得L的方程, 即.（2）曲线L在点处的切线方程为 即.它在x轴与y轴上的截距分别为与所围面积令.得在内的唯一驻点,易知是最小值点由此，所求切线为,即.九、（本题满分7分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径
8、为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念【难易度】【详解】解析：设雪堆在时刻的体积，侧面积，雪堆半径由题设知，所以有即积分得又由，有，于是又由，即，得，从而令得雪堆全部融化所需时间为小时十、（本题满分8分）设在区间上具有二阶连续导数，（1）写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在上至少存在一点，使【考点】泰勒中值定理、介值定理【难易度】【详解】解析：（1）对任意，其中在0与之间（2） 令，则在具有三阶连续导数，其二阶麦克劳林展开式为所以又由于介于和之间，由介值定理知存在，使得，则有.十一、（本题满分6分）已知矩阵，且矩阵满足，其中是3阶单位阵，求【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念【难易度】【详解】解析：由题设的关系式得即由于行列式所以矩阵可逆，所以故十二、（本题满分6分）已知是线性方程组的一个基础解系，若，讨论实数满足什么关系时，也是的一个基础解系【考点】齐次线性方程组的基础解系【难易度】【详解】由于均为的线性组合，所以均为的解.下面证明线性无关.设，即，由于线性无关，因此其系数全为零，即其系数行列式可见，当，即时，上述方程组只有零解，因此向量组线性无关，又因的基础解系是4个向量，故也是的一个基础解系.