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1、第五章 数列第一节数列的概念与简单表示法2019考纲考题考情1数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。2数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。(2)已知数列an的前n项和Sn，则an1数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集1,2,3，n上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值。2在数列an中，若an最大，则若an
2、最小，则3递推关系求通项公式的三种方法：(1)叠加法：对于an1anf(n)型，若f(1)f(2)f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an。(2)叠乘法：对于f(n)型，若f(1)f(2)f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an。(3)构造法：对an1panq型，构造一个公比为p(p1)的等比数列，求得an。 一、走进教材1(必修5P33A组T4改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()ABC.D.解析a212，a31，a413，a51。答案D2(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_。答案5n4二、走近高考3(20
3、18全国卷)记Sn为数列an的前n项和。若Sn2an1，则S6_。解析根据Sn2an1，可得Sn12an11，两式相减得an12an12an，即an12an，当n1时，S1a12a11，解得a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以S663。解析：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632。所以S61248163263。答案
4、63三、走出误区微提醒：忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集1,2，n；求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况；根据Sn求an时忽视对n1的验证。4在数列1,0，中，0.08是它的第_项。解析依题意得，解得n10或n(舍)。答案105在数列an中，ann26n7，当其前n项和Sn取最大值时，n_。解析由题可知nN*，令ann26n70，得1n7(nN*)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始an0，则该数列的前6或7项的和最大。答案6或76已知Sn2n3，则an_。解析因为Sn2n3，那么当n1时，a1S12135；当n2时，anSnSn12n3(2n13)2n1(*)。
5、由于a15不满足(*)式，所以an答案考点一 由数列的前n项求数列的通项公式【例1】(1)数列，的一个通项公式为()Aan(1)nBan(1)nCan(1)n1Dan(1)n1(2)(2019湖北八校联考)已知数列an满足an(nN*)，将数列an中的整数项按原来的顺序组成新数列bn，则b2 019的末位数字为()A8B2C3D7解析(1)该数列是分数形式，分子为奇数2n1，分母是指数2n，各项的符号由(1)n1来确定，所以D选项正确。(2)由an(nN*)，可得此数列为，整数项为，所以数列bn的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，因
6、为2 01945043，所以b2 019的末位数字为7。故选D。答案(1)D(2)D根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：1分式中分子、分母的各自特征；2相邻项的联系特征；3拆项后的各部分特征；4符号特征。应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想。 【变式训练】(1)数列1,3,6,10,15，的一个通项公式是()Aann2(n1)Bann21CanDan(2)(2018河南安阳二模)已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2 018项a2 018等于()A B C64 D.解析(1)设此数列为an，则由题意可得a11，a23，a36，a41
7、0，a515，仔细观察数列1,3,6,10,15，可以发现：11,312,6123,101234。所以第n项为12345n，所以数列1,3,6,10,15，的通项公式为an。解析：代入n1,2,3进行验证。(2)观察数列：，可将它分成k(kN*)组，即第1组有1项，第2组有2项，第3组有3项，所以第k组有k项，各项的分子从k依次减小至1，分母从1依次增大到k，所以前k组共有项，令2 018m(kN*，1mk，mN*)，可得k63，m2，所以该数列的第2 018项a2 018为第64组的第2项，故a2 018。故选D。答案(1)C(2)D考点二 由an与Sn的关系求an【例2】(1)已知数列an
8、的前n项和Snn22n1(nN*)，则an_。(2)已知数列an的前n项和Snan，则an的通项公式为an_。解析(1)当n2时，anSnSn12n1；当n1时，a1S14211。因此an(2)当n1时，a1S1a1，所以a11。当n2时，anSnSn1anan1，所以，所以数列an为首项a11，公比q的等比数列，故ann1。答案(1)(2)n11已知Sn求an，常用的方法是利用anSnSn1(n2)转化为关于an的递推关系，再求其通项公式。2要验证a1是否适合an，若适合，则统一用an表示；若不适合，则通项公式用分段函数的形式表示。 【变式训练】(1)(2019合肥市质量检测)已知数列an的
9、前n项和为Sn，若3Sn2an3n，则a2 020()A22 0201B32 0206C.2 020D.2 020(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_。解析(1)因为a1S1，所以3a13S12a13a13。当n2时，3Sn2an3n,3Sn12an13(n1)，所以an2an13，即an12(an11)，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an1(2)(2)n1(2)n，则a2 02022 0201。故选A。(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1。显然当n1时，不满足上式。所以an答案(1)A(2)考点三 由递
10、推关系求通项公式【例3】(1)已知数列an中，a11，an1an2n1，则a5_。(2)若a11，an12nan，则通项公式an_。(3)若a11，an1，则数列an的通项公式an_。解析(1)依题意得an1an2n1，a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)1357925。(2)由an12nan，得2n1(n2)，所以ana12n12n2212123(n1)2。又a11适合上式，故an2。(3)因为an1，a11，所以an0，所以，即。又a11，则1，所以是以1为首项，为公差的等差数列。所以(n1)。所以an(nN*)。答案(1)25(2)2(3)已知数列的递推关系求通项公式
11、的典型方法1当出现anxan1y(x，y为常数)时，构造等比数列。2当出现anan1f(n)时，用累加法求解。3当出现f(n)时，用累乘法求解。 【变式训练】(1)若数列an满足a11，且对于任意的nN*都有an1ann1，则等于()AB C.D.(2)定义：在数列an中，若满足d(nN*，d为常数)，称an为“等差比数列”。已知在“等差比数列”an中，a1a21，a33，则等于()A42 01521B42 01421C42 01321D42 0132解析(1)由an1ann1，得an1ann1，则a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，以上等式相加，得ana123(n
12、1)n，把a11代入上式得an123(n1)n，所以2，则22，故选D。(2)由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则2n1，所以ana1(2n3)(2n5)1。所以4 0274 025(4 0261)(4 0261)4 0262142 01321。答案(1)D(2)C考点四 数列的性质微点小专题方向1：数列的周期性【例4】(2019河北石家庄一模)若数列an满足a12，an1，则a2 018的值为()A2B3CD.解析因为a12，an1，所以a23，同理可得：a3，a4，a52，可得an4an，则a2 018a50442a23。故选B。答案B列出数列的前几项，归纳出周期。 方向2：数列的单调
13、性【例5】(1)已知数列an的通项公式an(n1)n，则数列的最大项为_。(2)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_。解析(1)因为an1an(n2)n1(n1)nn，所以当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an10)，求导得f(x)1。令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x0或an1)的最大值为_。解析因为Snan，所以当n1时，anSnSn1anan1，即，因为数列单调递减，所以当n2时，2最大。答案21(配合例2使用)若数列an是正项数列，且n2n，则_。解析当n1时，1212，a14。当n2时，(n1)2(n1
14、)，n2n，两式相减可得2n，即an4n2，又a14也符合该式，所以an4n2，则4n，则41424n2n22n(nN*)。答案2n22n(nN*)2(配合例4使用)若a11，对任意的nN*，都有an0，且na(2n1)an1an2a0。设M(x)表示整数x的个位数字，则M(a2 019)_。解析由已知得(nan1an)(an12an)0，因为an0，所以an12an0，则2，因为a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an12n12n1(nN*)。所以a22，a34，a48，a516，a632，a764，a8128，所以n2时，M(an)依次构成以4为周期的数列。所以M(a2 019)M(a3)4，故答案为4。答案43(配合例5使用)已知数列an满足nan2(n2)an(n22n)，其中a11，a22，若anan1对任意的nN*恒成立，则实数的取值范围是_。解析由nan2(n2)an(n22n)n(n2)得，所以数列的奇数项与偶数项均是以为公差的等差数列，因为a11，a22，所以当n为奇数时，11，所以ann。当n为偶数时，11，所以ann，当n为奇数时，由anan1得n2，若n1，则R，若n1，则，所以0。当n为偶数时，由anan1，得n2，所以，即0。综上，实数的取值范围为0，)。答案0，)