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1、MATLABMATLAB在机械优化设计中的应用在机械优化设计中的应用林洋8153025Page 2目录1了解MATLAB相关内容2优化设计理论相关内容3无约束优化问题算法4有约束优化问题算法5案例分析Page 3MATLAB简介n 美国Mathworks公司推出了MATLAB以其强大的功能和易用性受到越来越多的科技工作者的欢迎。n MATLAB由主包和功能各异的工具箱组成，其基本数据结构是矩阵。n MATLAB具有非常强大的计算功能，其已成为世界上应用最广泛的工程计算应用软件之一。（Mathematica、Maple）Page 4MATLAB主要功能和特点n主要功能 1，数字计算功能 2，符号
2、计算功能 3，数据分析和可视化分析功能 4，文字处理功能 5，SIMULINK动态仿真功能n主要特点 1，功能强大 含有四十多个应用于不同领域的工具箱 2，界面友好 其指令表达方式与习惯上的数学表达方式非常的接近 3，扩展性强 用户可自发的开发自己的应用程序 Page 5MatlabMatlab优化工具箱简介优化工具箱简介1.MATLAB1.MATLAB求解优化问题的主要函数求解优化问题的主要函数类 型模 型基本函数名一元函数极小Min F（x）s.t.x1xx2x=fminbnd(F,x1,x2)无约束极小Min F(X)X=fminunc(F,X0)X=fminsearch(F,X0)线性
3、规划Min XcTs.t.AX=bX=linprog(c,A,b)二次规划Min 21xTHx+cTxs.t. Ax=bX=quadprog(H,c,A,b)约束极小（非线性规划）Min F(X)s.t. G(X)=0X=fmincon(FG,X0)达到目标问题Min rs.t. F(x)-wr=goalX=fgoalattain(F,x,goal,w)极小极大问题Min max Fi(x)X Fi(x)s.t. G(x)0,则x为解;否则,x不是最终解,它只是迭代制止时优化过程的值所有优化函数fval解x处的目标函数值linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,
4、fminimax,lsqcurvefit,lsqnonlin, fminbndexitflag描述退出条件: exitflag0,表目标函数收敛于解x处 exitflag=0,表已达到函数评价或迭代的最大次数 exitflag0,表目标函数不收敛output包含优化结果信息的输出结构. Iterations:迭代次数 Algorithm:所采用的算法 FuncCount:函数评价次数所有优化函数Page 8优化设计理论优化设计的必要性质量问题50%由于设计不周成本70%设计阶段决定总周期40%设计周期占据Page 9优化设计的概念优化设计的概念n优化设计是借助最优化数值计算方法和计算机技术，求
5、取工程问题的最优设计方案。n即：进行最优化设计时，必须首先将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最优的设计参数。Page 10优化设计问题分类n函数优化问题n组合优化问题无约束有约束Page 11优化设计的一般实施步骤（1）根据设计要求和目的定义优化设计问题（2）建立优化设计问题的数学模型（3）选用合适的优化计算方法（4）确定必要的数据和设计初始点（5）编写包括数学模型和优化算法的计算机程序，通过计算机的求解计算获取最优结构参数（6）对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分析Page 12优化设计数学
6、模型n1 1，建立数学模型的基本原则，建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题n2 2，数学模型的三要素，数学模型的三要素 设计变量 目标函数 约束条件Page 13无约束优化方法无约束优化方法n 最速下降法（梯度法）n 牛顿型方法 n 共轭方向法n 变尺度法n 坐标轮换法n 鲍威尔方法n 单形变换法Page 14最速下降法（梯度法）n优化设计是追求目标函数值f（x）最小，因此，一个很自然的想法是从某点x出发，其搜索方向d取该点的负梯度方向-f（x),使函数值在该点附近的范围内下降最快。形成以下迭代算法 1() (0,1,2,)kkkkafkxxxPage 15 为了
7、使目标函数值沿搜索方向 能够获得最大的下降值，其步长因子 应取一维搜索的最佳步长。即有()kf xk1()()min ()min ( )kkkkkkkaaffaffaf xxxxx 根据一元函数极值的必要条件和多元复合根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得函数求导公式，得 ( )()()0Tkkkkfff xxx1()()0kTkffxx1()0kTkss相邻的两个迭代点上的函数梯度相互垂直而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻的两个搜索方向相互垂直。这就是说在最速下降法中，迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。Page 16Page 1700102()10424()501
8、00 xfxfxxx沿负梯度方向进行一维搜索，有01000024()2 100fxxx0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件 122()min (24 )25(2 100 )min ( )f x例： 求目标函数 的极小点。解：取初始点则初始点处函数值及梯度分别为02,2Tx2212( )25fxxxPage 1800( )8(24)5 000(2 100)0 算出一维搜索最佳步长 06260.020 030 7231 252第一次迭代设计点位置和函数值 0120241.919 8772 1000.307178 5 10 x1()3.686164fx继续作下去，经10次迭代后，得到最优解 00
9、Tx()0fx| -|xxk1kPage 19梯度法的特点梯度法的特点n （1）理论明确，程序简单，对初始点要求不严格。n （2）对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快，因为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。n （3）梯度法相邻两次搜索方向的正交性，决定了迭代全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。n （4）梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。对于等值线(面)为同心圆（球）的目标函数，一次搜索即可达到极小点。Page 20牛顿型方法1、牛顿法 在xk邻域内用一个泰勒二次函数(X)来近似代替原目标函数，并将(X)的极小点作为对目标函数的一次
10、近似值，若此值不满足收敛精度要求，则将其作为求优的下一次迭代的初始点。经多次迭代，使之逼近目标函数的极小点。Page 21牛顿法牛顿法)()(21)()()()()()()()()()(KKTKKTKKXXXHXXXXXfXfx:,0)(求导得的点的最小点即导数为X)()()(1)()(*KKKXfXHXX0)()()()()()(KKKXXXHXfxPage 223.5 3.5 约束优化方法约束优化方法n 约束优化设计问题，其数学模型为 根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为: :直接解法、间接解法直接解法、间接解法 minf(X) s.t. gu(X)0 (u=1,2,m) hv(X)
11、=0 (v=1,2,pn)Page 23n 直接解法直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向S，且以适当的步长，沿S方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满足收敛条件。n 间接解法间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。Page 24约束优化方法n 随机
12、方向法n 复合型法n 可行方向法n 惩罚函数法n 增广乘子法 直接解法间接解法Page 25惩罚函数法n 惩罚函数法是一种间接解法。它的基本原理是将约束优化问题中的不等式和不等式约束函数经加权后，和原目标函数结合为新的目标函数，将约束优化问题转换为无约束优化问题。求解无约束优化问题的极小值，从而得到原约束优化问题的最优解。Page 26n 按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行，分为： n 内点法n 外点法n 混合法Page 27案例分析n单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计n 已知单级直齿圆柱齿轮减速器的输入扭矩T1=2674Nm，传动比i=5，现要求确定该减速器的结构参数，在保证承载能力条
13、件下，使减速器的重量最轻。小齿轮拟选用实心轮结构，大齿轮为四孔辐板式结构，其结构尺寸如图所示，图中1=280mm，2=320mm。Page 28建立数学模型n(1)确定目标变量 求质量最轻，也就是体积最小。 体积V取决于齿轮宽度B，小齿轮齿数z1，模数m，轴的支承跨距l，主动轴直径d1,从动轮直径d2，和传动比i等七个参数。其中传动比i为常量，有已知条件给定。所以，该优化设计问题可取设计变量为X=(X1,X2,X3,X4,X5,X6)T=(B,z1,m,l,d1,d2)TPage 29n（2）建立目标函数以齿轮减速器的重量最轻为目标函数，而此减速器的重量可以一对齿轮和两根轴的重量之和近似求出。
14、由此，减速器的重量W=(V1+V2+V3+V4)，因钢的密度为常数，所以可取减速器的体积为目标函数。将设计变量带入减速器的体积公式，经整理后得目标函数为）（）（26252642546316321251261331232123221432132286 .18 .092.08585xxx75.4785398.0VV-VVxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxPage 30n（3）确定约束条件1，为了避免根切，小齿轮的次数z1=17，于是得到约束条 件 g1(X)=17-x202，传动动力的齿轮，要求齿轮模数一般大于2mm，故 得 g2(X)=2-x303，根据设计经验，主从动轮的直径范围
15、取150mmd，1100mm，200mmd，2130mm，则轴直径约束为 g3(X)=100-x50 g4(X)=x5-1500 g5(X)=130- x60 g6(X)=x6-2000Page 31n4，为了保证承载能力，且避免载荷沿齿宽分布严重不均，要求16B/m35，由此得 G7(X)=x1/35x3-10 G8(X)=1-x1/16x30n5，根据工艺装备条件，要求大齿轮直径不得超过1500mm，若i=5，则小齿轮直径不得超过300mm，即d1-3000，写成约束条件为 g6(X)=x2x3/300-10n6，按齿轮齿面接触强度条件，有 H=670（i+1）KT1/Bd21i）1/2（
16、H） 式中，T1取2674000Nmm，K=1.3，（H）=885.5Nmm2.将以上个参数代入上式，整理后可得接触应力约束条件g10（X）=670/855.5（i+1）KT1/x1x2x3i）-10Page 32n 7，按齿根弯曲疲劳强度条件有 F =2KT1/Bd1mY(F) 若取T1=2674000Nmm，K=1.3，(F1) =855.5Nmm2，(F2) =213.3Nmm2；若大小齿轮齿形系数Y2，Y1分别按下式计算，得 Y2=0.2824+0.00035399（ix2）-0.000001576（ix2）2 Y1=0.169+0.3006666x2-0.0000854x22 则得小
17、齿轮弯曲疲劳条件为 g11（X）=2KT1/261.7x1x2x3y1-10 大齿轮的弯曲疲劳条件为 g12（X）=2KT1/213.3x1x2x3y2-10n 8，根据轴的刚度计算公式的主动轴的刚度约束条件为 g13（X）=Fx4/48*0.003EJ-10Page 33n 9，主从动轮的弯曲强度条件 W=（M2+（1T）2）1/2/W（-1） 对主动轴：轴主动弯M=T1x4/x2x3cos；若取T1=2674000Nmm;=20。得主动轮弯曲强度约束为 g14（X）=（M2+（1T）2）1/2/5W10 对从动轴：W2=0.1d32=0.1x36;（-1）=55Nmm2.可得从动轮弯曲强度约束为 g15（X）=（M2+（1T）2）1/2/5W20 n 10，轴的支承跨距按结构1关系和设计经验取 lB+2min+0.25d2 其中，min为箱体内壁导轴承中心线的距离，现取min=20mm，则有B-1+0.25d2+400,写成约束条件为 g16（X）=（x1-x4+0.25x6）/40+10Page 34n 5）写出优化数学模型n 6）综上所述，可得该优化问题的数学模型为minf（X），XR6 s.t. gu（X）0（u=1,2,3，.，16）Page 35Page 36Page 37Page 38