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1、第17章 勾股定理一选择题（共10小题）1在RtABC中，C90，a8，c17，则b的长是（）A25BC15D132在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是（）A3B4C15D7.23如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：x2+y249；xy2；x+y；2xy+449；其中说法正确的是（）ABCD4如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，则BC边上的高AD为（）A8B9CD105如图ABD中，D90，C是BD上一点，已知CB9，AB17，AD8
2、，则DC的长是（）A8B9C6D156下列各组数据中，不是勾股数的是（）A3，4，5B7，24，25C8，15，17D5，6，97如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A7米B8米C9米D12米8如图，P是等边ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC3：4：5，以AC为边在形外作APCAPB，连接PP，则以下结论错误的是（）AAPP是正三角形BPCP是直角三角形CAPB150DAPC1359已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A3cm2B4cm
3、2C6cm2D12cm210如图，长方体ABCDABCD中，AB2，AD，则AC的取值范围为（）A2AC5B3AC+2C3AC5D2AC+2二填空题（共5小题）11ABC三边长分别为2，3，则ABC的面积为 12如图，ABC中，ABAC，AB5，BC8，AD是BAC的平分线，则AD的长为 13如图，在ABC中，AB5，AC13，BC边上的中线AD6，则ABD的面积是 14如图，一块形如“z”字形的铁皮，每个角都是直角，且ABBCEFGF1，CDDEGHAH3，则AF 15如图，等腰ABC中，ABAC13，BC10，D是BC边上任意一点，DEAB于E，DFAC于点F，则DE+DF 三解答题（共6
4、小题）16已知在ABC中，三条边长分别为a、b、c，且an21、b2n、cn2+1，ABC是直角三角形吗？请说明理由17如图，在ABC中，已知ABAC5，AD平分BAC，E是AC边的中点（1）求DE的长；（2）若AD的长为4，求DEC的面积18已知，如图，在ABC中，D是BC的中点，DEBC，垂足为D，交AB于点E，且BE2EA2AC2，求证：A9019定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM1.5，MN2.5，BN2，则点M、N是线段AB的
5、勾股分割点吗？请说明理由（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB24，AM6，求BN的长20背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c显然，DABB90，ACDE请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD ，SEBC ，S四边形AECD ，则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理知识运用：（1）如图
6、2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为A、B，AD25千米，BC16千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB40千米，AD24千米，BC16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PCPD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0x16）21如图，在RtABC中，ACB90，AD、BE、CF分别是三边上的中线（1）若AC1，BC求证：AD2+CF2BE2；（2）是否存在这样的RtABC，使得它三边上的中线AD、BE、
7、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由（提示：满足关系a2+b2c2的3个正整数a、b、c称为勾股数）参考答案一选择题（共10小题）1 C2 D3 D4 C5 C6 D7 C8 D9 C10 C二填空题（共5小题）11 312 313 1514 515 三解答题（共6小题）16解：ABC是直角三角形，理由如下：（n21）2+（2n）2n4+2n2+1（n2+1）2，a2+b2c2，能成为直角三角形的三边长17解：（1）ABAC，AD平分BAC，ADBC，又E是AC边的中点，DEAC2.5；（2）在RtADC中，DC3，DAC的面积ADDC6，E是AC边的中点，DEC的面积DAC的面积318证明：
8、连接CE，如图所示：D是BC的中点，DEBC，CEBE，BE2EA2AC2，CE2EA2AC2，EA2+AC2CE2，ACE是直角三角形，即A9019解：（1）是理由：AM2+BN21.52+226.25，MN22.526.25，AM2+NB2MN2，AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，点M、N是线段AB的勾股分割点（2）设BNx，则MN24AMBN18x，当MN为最大线段时，依题意MN2AM2+NB2，即（18x）2x2+36，解得x8；当BN为最大线段时，依题意BN2AM2+MN2即x236+（18x）2，解得x10，综上所述，BN8或1020解：【小试牛刀】S梯形ABCDa（a
9、+b），SEBCb（ab），S四边形AECDc2，则它们满足的关系式为：a（a+b）b（ab）+c2故答案为：a（a+b），b（ab），c2，a（a+b）b（ab）+c2【知识运用】（1）如图2，连接CD，作CEAD于点E，ADAB，BCAB，BCAE，CEAB，DEADAE25169千米，CD41（千米），两个村庄相距41千米故答案为：41（2）如图2所示：设APx千米，则BP（40x）千米，在RtADP中，DP2AP2+AD2x2+242，在RtBPC中，CP2BP2+BC2（40x）2+162，PCPD，x2+242（40x）2+162，解得x16，即AP16千米【知识迁移】：如图3，代
10、数式+的最小值为：2021（1）证明：如图，连接FD，AD、BE、CF分别是三边上的中线，CDBC，CEAC，FDAC，由勾股定理得，AD2AC2+CD212+（）2，CF2CD2+FD2（）2+（）2，BE2BC2+CE2（）2+（）2，+，AD2+CF2BE2；（2）解：设两直角边分别为a、b，AD、BE、CF分别是三边上的中线，CDa，CEb，FDACa，由勾股定理得，AD2AC2+CD2b2+（a）2a2+b2，CF2CD2+FD2（a）2+（b）2a2+b2，BE2BC2+CE2a2+（b）2a2+b2，不妨设：AD2+CF2BE2，a2+b2+a2+b2a2+b2，整理得，a22b2，ADb，CFb，BEb，CF：AD：BE1：，没有整数是和的倍数，不存在这样的RtABC当CF2+BE2AD2时，同法可证CF显然不能作为斜边，此种情形不存在综上所述，不存在这样的RtABC