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1、2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法1.(2019.葫芦岛)如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=900，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE。（1） 如图，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当EAC=150时，请直接写出的值。解析：（1）由ECA=CAB=450,可得ECAB。（2）由,且EAC=DAB,可得EACDAB进而得出ECA=DBA=450=CAB,所以CEAB.(3)此问分
2、两种情况点D在BC上，点D在CB延长线上。当点D在BC上时，如图（2），此时CAB=150能得出CAD=300，这样就有,也就是BC-DB=AC,BC=AC,所以BD=AC。又由EACDAB得,因此有BD=CE，所以可得CE=AC，又AB=AC，因此=.当D点在CB延长线上时，CDA=300,解三角形得3AC=CD。CD=BC+BD,由AECABD,可得BD=AC，就能得到CE=,AB=AC，所以.2.(2019.沈阳）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，
3、取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CDAB交AP的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是_200_米。（2）在ABC和ADE中，AC=BC，AE=DE，且AEAC，ACB=AED=900,将ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时ADE的位置为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE。如图2，当ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是_PC=PE,PCPE_; 如图3，当=900时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；当=1500
4、时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值。解析：延长EP交BC于M，则DEPBMP得PE=PM,又易证CE=CM，根据等腰三角形三线合一，可得PC=PE,PCPE。过B作ED的平行线交EP延长线于点M，连接CE,CM。由EDPMBP得PM=PE,AE=ED=BM，再由边角边得AECBMC,得出EC=CM，根据等腰三角形三线合一得PC=PE,PCPE.过E作EH垂直于CA交CA延长线于H，连接EC。由旋转角为1500得EAH=300，AE=1，解三角形得EH=, AH=,又AC=3，运用勾股定理可求得EC2=10+3，因此PC2=5+。3.（2019.抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABC
5、D的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）。将线段EP绕点E顺时针旋转900得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q。（1） 如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为_EC=QC+BP_.（2） 如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立。若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。（3） 正方形ABCD的边长为6，AB=3DE，QC=1，请直接写出线段BP的长。解析：（1）略 。（2）（1）的结论仍然成立。由角边角可证得GDEPQE，可得PQ=DE,又BP+QC=
6、BC-PQ, DC=BC,所以BP+QC=DC-DE=EC.(3) 此问有两种情况交点Q在BC 上，与（2）结论相同可得BP=EC-QC=4-1=3.当点Q在BC延长线上时，证法与(2)相同，可得BP=QC+EC=1+4=5.4.（2019.铁岭）如图，ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且GEF+BAC=1800.(1) 如图1，当B=450时，线段AG和CF的数量关系是AG=CF_。(2) 如图2，当B=300时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明。(3) 若AB=6, DG=1, co
7、sB=， 请直接写出CF的长。解析：（1）连接AE，根据角角边可证CEFAEG,得AG=CF。（2） 连接AE， 由两角对应相等可证得CEFAEG，得，AG=.（3） 此问有两种情况当点G在线段AD上时，连接AE，作AHBC ,交BC于H。由cosB=cosC=，BD=3,AC=6，解直角三角形得BE=AE=4，CH=，而EC=9-4=5。又DG=1，所以AG=2.由（2）知，所以CF=。当点G在线段BD 上时，同理可求得CF=5.5.(2019.本溪)在RtABC中，AABC，D是AC边上一点，且DA=DB。O是AB的中点，CE是BCD的中线。（1） 如图a，连接OC，请直接写出OCE和OA
8、C的数量关系：_；（2） 点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使MON=ADB，ON与射线CA交于点N。如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；若BAC=300，BC=m，当AON=150时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）。解析：（1）连接EO，由题意知DB=DA,根据中位线定理，斜边中线等于斜边一半， 则有OE=CE，OC=OA,所以ECO=EOC，OCA=OAC,又EOC=OXA,故有ECO=OAC.(2) 连接OC，则有OC=OA。在等腰三角形BDA和AOC中有公共的底角OAD，所以ADB=AOC,又ADB=MON,所以AOC=M
9、ON，因此COM=AON.由（1）得ECO=OAC,所以OCM=OAC,所以OCMOAN,故有ON=OM.（3）分两种情况点N在A点的左侧时，由BAC=300，AON=150可得ONF=450.过点O作OFAC,垂足为F，可得OF=m=FN,解直角三角形得，FA=，所以AN=-m。我们又可以求得CBD=300，可解得BD=，所以CE=。由（2）OCMOAN知AN=CM,所以ME=CE-CM=-(-m)=。同理当点N在DA延长线上时，ME=MC+CE=。6.（2019.辽阳）如图1，ABC（ACBCAC）绕点C顺时针旋转得DEC，射线AB交射线DE于点F。（1） AFD与BCE的关系是_; （2
10、） 如图2，当旋转角为600时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG=OD,连接GC。AFD与GCD的关系是_,请说明理由；如图3，连接AE，BE,若ACB=450,CE=4，求线段AE的长度。解析：（1）因为旋转变换所以A=D, ACB=DCE,所以ACD=BCE. 又根据三角形内角和定理可得ACD=AFD,所以BCE=AFD。（2）AFD与BCE互补。理由如下连接AD，因为旋转角为600，所以ADC是等边三角形。根据题中条件易证得AODCOG，这样可得OA=OC，由三线合一得ODC=300，由GC=AD=CD得CGD=ODC=300，所以GCD=1200.又
11、知BCE=600，因此GCD+BCE=1800.（3）由（2）知OD是AC的垂直平分线，所以AB=BC=BE，又ACB=450，可得ABC=900，进而可得ABE=1500,EBF=300,就能得出BAE=150，所以CAE=300，又ACD=600，这样就能得出CD垂直AE,又DCE=450，CE=4，两直角边长=2.因此，AE=2+2.7.（2019.锦州）（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图，将BOC绕点O逆时针方向旋转得到BOC，OC与CD交于点M，OB与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想。（2）如图，将（1）中的BOC绕点B逆时针旋转
12、得到BOC，连接AO、DC，请猜想线段AO与DC的数量关系，并证明你的猜想。（3）如图，已知矩形ABCD和RtAEF有公共点A，且AEF=900，EAF=DAC=，连接DE、CF，请求出的值（用的三角函数表示）。解析：（1）由BON=COM, OB=OC, OBN=OCN,可得BONCOM，所以BN=CM。（2）由,且ABO=DBC,所以ABODBC，所以DC=AO.(3)因为EAF=DAC=,所以有且FAC=EAD,所以FACEAD，因此，。8.(2019.营口)如图1。在RtABC中，ACB=900,B=300,点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PCBC，连接MP交
13、AC于点H。将射线MP绕点M逆时针旋转600交线段CA的延长线于点D。(1) 找出与AMP相等的角，并说明理由。(2) 如图2，CP=BC，求的值。(3) 在（2）的条件下，若MD=，求线段AB的长。解析：（1）由DMA+AMH=600,DMA+MDA=600,所以AMP=MDA.(2)过点C作CGAB交MP于G点，容易求得MCG=1200，又MAD=1200，所以MCG=MAD又知道CMG=AMD，MC =MA所以CMGAMD，CG=DA. 由CGAB得CPGBPM,所以.解三角形可得AB=,所以BM=。因此，AD=CG=BM=,故=.(3)由（2）知CMGAMD，得MG=MD=。由CPGB
14、PM，且相似比K=，得MH=MG=，设GC=AD=x，则AM=AC=3x,又知AH=AC=x , DH=x. 因为AMH=MDH, MAH=DMH,所以MAHDMH，可得MH2=HAHD，即=x2.解得x=,所以AB=2AM=23=2.9.(2019.丹东)如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点,连接AE、BD。（1） 猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2） 现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转（00900），得到图，AE与MP、BD分别交于点G、H。请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证
15、明；若不成立，请说明理由；（3） 若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明。解析：（1）由题中的条件SAS容易证ACEBCD，得AE=BD,CBD=CAE。又知MP、PN是相应两三角形的中位线，可推出PN=AE， PM=BD,NPD=EAD,MPA=BDC.所以能得出MPA+NPD=900,即MPN=900.故有PM=PN,PMPN.(3) 利用等式的性质可得ACE=BCD,由SAS证ACEBCD，得AE=BD,CBD=EAC,又知BAH+HAC+ABC=900,所以可得BHA=900.即PMPN.与（1）同理可得PM=PN
16、.(4) 由两边成比例且夹角相等，可证ACEBCD，得出，由中位线定理得PN=AE， PM=BD。所以，即PM=kPN.10.(2019.鞍山)在RtABC中，ACB=900，D是ABC内一点，连接AD，BD。在BD左侧作RtBDE，使BDE=900，以AD和DE为邻边作平行四边形ADEF，连接CD，DF。（1） 若AC=BC, BD=DE.如图1，当B,D,F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为_.如图2，当B,D,F三点不共线时，中的结论是否仍然成立？请说明理由。（2）若BC=2AC，BD=2DE，且E，C，F三点共线，求的值.解析 ：（1）连接CF，由BCA=AFD=900,及三角形内
17、角和定理可得CAF=CBD,由平行四边形知AF=DE=BD,AC=BC可推出 AFCBDC,所以CD=CF,BCD=ACF,可得出DCF=900.所以DF=CD(2) 成立，理由如下：连接CF，延长BD交AF延长线于点H，与（1）同理可得CAF=CBD，又知DE=AF=BD,BC=AC，所以 AFCBDC,所以CD=CF,BCD=ACF,可得出DCF=900.所以DF=CD。(3) 延长BD交AF延长线于点H，由上两问可知CAF=CBD，又,所以BDCAFC，所以BCD=ACF,这样就有ADC=DCF=900,设AC=5t，CD=4t.由,得CF=2t。由勾股定理得AD=EF=3t，EC=t.
18、再用勾股定理得AF=DE=t.因此，.11.(2019.大连)阅读正面材料，完成（1）（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，ABC中，BAC=900,点D、E在BC上，AD=AB，AB=kBD(其中k1)ABC=ACB+BAE,EAC的平分线与BC相交于点F，BGAF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明。同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现BAE与DAC相等。”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系。”.老师：“保留原题条件，延长图1中的BG,与AC相交于点H（如图2），可以求出的值。”（1） 求证：BA
19、E=DAC;（2） 探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3） 直接写出的值（用含k的代数式表示）。解析：（1）由AD=AB得ABC=ADB,又ADB=DAC+ACB,ABC=ACB+BAE,所以BAE=DAC.（2）设ACB=，BAE=DAC=。因为ABC+ACB=900，所以2+=900，又EAC的平分线与BC相交于点F，得2FAC+=900，所以FAC=ACB=，得AF=FC，BAF=ABC=+,所以AF=BF。由两角对应相等可得AFCDAB,可得,即BF=.根据两角对应相等可得ABGBCA，可得,即.（3）由AHB=ABC=+,HAB=BAC=900,得HABB
20、AC。所以,又M由勾股定理得AC=kBD，所以AH=，HC=AC-AH=。故=.12.（2019.盘锦）如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=900，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD。（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形。图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断。（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90
21、0，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H，次AD于点O，连接BD、AF,求BD2+AF2的值。解析 ：（1）由SAS易证BCFACD,可得BF=AD，FBC=CAD,又知CAD+ADC=900,可得FBC+ADC=900，即BFAD。（2） （1）结论成立，理由如下：由等式的性质可得FCB=DCA,BC=CA,CF=CD,所以BCFACD，得BF=AD，FBC=CAD,又FBC+ABH+BAC=900,所以CAD+ABH+BAC=900，即BFAD。（3） 连接DF，则DF2=CF2+CD2=,AB2=BC2+AC2=25.因为FCB=DCA,且,所以BCFACD，所以FBC=CAD,又FBC+ABH+BAC=900,所以CAD+ABH+BAC=900，即BFAD。由勾股定理得BD2=BO2+OD2,AF2=OF2+AO2,所以BD2+AF2=（BO2+AO2）+（OD2+OF2）=AB2+DF2=