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1、八下第九章中心对称图形平行四边形尖子生提优训练（一） 班级：_姓名：_ 得分：_一、选择题1. 在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点(不与点C，D重合)，AE交对角线BD于点F，FGAE交BC于点G，GHBD于点H.现给出下列命题：AF=FG；FH的长度为定值.则() A. 是真命题，是真命题B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题D. 是假命题，是假命题3. 如图，E，F，M分别是正方形ABCD三边的
2、中点，CE与DF交于N，连接AM，AN，MN.对于下列四个结论：AM/CE；CEDF；AN=BC；AND=CMN.其中正确的是A. B. C. D. 4. 如图，已知菱形OABC的两个顶点O(0,0)，B(2,2)，若将菱形绕点O以每秒45的速度逆时针旋转，则第2018秒时，菱形两对角线交点D的纵坐标为() A. 2B. 2C. 1D. 15. 如图所示，点P是正方形ABCD的边BC延长线上任意一点，PQBC于点P，且PC=PQ.若AB=2，则BDQ的面积为A. 22B. 2C. 2D. 326. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证
3、明()A. AB=AD且ACBDB. AB=AD且AC=BDC. A=B且AC=BDD. AC和BD互相垂直平分7. 如图，已知AOBC的顶点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点O为圆心、适当长度为半径作弧，分别交OA、OB于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于12DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点F；作射线OF，交边AC于点G.则点G的坐标为()A. (10,3)B. (101,3)C. (410,3)D. (103,3)8. 如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的
4、最大值是() A. 27B. 13.5C. 20D. 15二、填空题9. 如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为_cm 10. 如图，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形ABCD，旋转角为(0180)，连接BD、CD，若BD=CD，则=_11. 如图，在长方形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN交CD于点E.若DE=3，CE=5，则AD的长为_12. 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值是_13. 如图，AB
5、C，C=90，AC=BC=a，在ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在BC1D1再截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为_14. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_15. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，折痕为PQ.当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动
6、若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为16. 如图，已知：矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分BAD，若EAO=15，则BOE的度数为_17. 如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上则剪下的等腰三角形的面积为_cm2。三、解答题18. 如图1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6.延长BC到D，使得CD=BC，以AC、CD为邻边作平行四边形ACDE，连接BE交AC于点O(1)求证：四边形ABCE为菱形；(2)如图2，点P是线段BC
7、上一动点(不与点B、C重合)，设BP=x.连接PO并延长，延长线交线段AE于点Q.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积； 当x为何值时，POC为等腰三角形？19. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t(s)(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积20. 在边
8、长为8的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿着折线ABC的路线向终点C运动，连接DM交AC于点N，连接BN.记点M运动所经过的路程为x。(1)如图1，若ABC=60，当点M在AB边上运动时 求证：ABNADN；若BCM的面积为S(S0)，求S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；若Q是AD中点，P为AC上一动点，求PQ+PD的最小值。(2)如图2，若ABC=90，在整个运动过程中，求使得AND为等腰三角形时x的值21. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q (1)求证：；(2)过点E作EF/BC交
9、PB于点F，连接AF，当PB=PQ时，求证：AF/PE；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由22. 如图1，在ABCD和GBEF中，顶点B是它们的公共顶点，ABC=GBE=60，AB=BE=4，BC=BG=23+2【特例感悟】(1)当顶点F与顶点D重合时(如图1)，AD与BG相交于点M，BC与ED相交于点N，求证：四边形BMDN是菱形；【探索论证】(2)如图2，当GBC=30时，四边形GCFD是什么特殊四边形？试证明你的结论；【拓展应用】(3)试探究：当GBC等于多少度时，以点C，G，D，F为顶点的四边形是矩形？请给予证明答案和解析1. C 解：满足条件的所有图形如图所示：因为和大小一样
10、，和大小一样，所以大小不同的等腰三角形的个数5个 2. A (1)证明：连接CF，在正方形ABCD中，AB=BC，ABF=CBF=45，在ABF和CBF中，AB=BCABF=CBF=45BF=BF，ABFCBF(SAS)，AF=CF，BAF=BCF，FGAE，在四边形ABGF中，BAF+BGF=3609090=180，又BGF+CGF=180，BAF=CGF，CGF=BCF CF=FG，AF=FG；(2)连接AC交BD于O四边形ABCD是正方形，HGBD，AOF=FHG=90，OAF+AFO=90，GFH+AFO=90，OAF=GFH，FA=FG，AOFFHG，FH=OA=定值，故正确 3.
11、A 四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，ADC=DCB=ABC=DAB=90，AB=BC=CD=AD，在DCF和ECB中，DC=CBDCB=CBECF=BE，DCFCBE，CDF=ECB，CDF+DCN=ECB+DCN=90，CEDF，故正确MC=AE，MC/AE，四边形AECM为平行四边形，AM/CE，故正确若AND=NMC，则AND=NMC=2MND，MND=30，NMC=60，这个显然不可能，故错误如图，DFEC，DFAM，MC=MD，DM=MN，DG=NG，AM是线段AN的垂直平分线，AD=AN，AN=BC.故正确综上所述正确 4. C 解：菱形OABC的顶点O(0,0)，
12、B(2,2)，得D点坐标为(1,1).每秒旋转45，则第60秒时，得452018360=252.25周，OD旋转了252周外加0.25周，即由当前位置再逆时针旋转90度，菱形的对角线交点D的坐标为(1,1)， 5. B 解：由图可知，SBCD+S梯形CDQPSBPQ=SBDQ，设PC=PQ=a，SBDQ=1222+12a(a+2)12a(a+2)=2， 6. B 解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、
13、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形 7. B 解：AOBC的顶点O(0,0)，A(1,3)，AH=1，HO=3，RtAOH中，AO=10，由题可得，OF平分AOB，AOG=EOG，又AG/OE，AGO=EOG，AGO=AOG，AG=AO=10，HG=101，G(101,3)， 8. D 解：如图，此时菱形ABCD的面积最大设AB=x，EB=9x，AE=3，则由勾股定理得到：32+(9x)2=x2
14、，解得x=5，S最大=53=15； 9. 13【解析】【分析】本题主要考查正方形、菱形的知识，解答本题的关键是知道正方形、菱形面积的计算方法，先求出AC=250=10cm，BD=212010=24cm，然后再求菱形的边长【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=250=10cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=212010=24cm，所以菱形的边长=(102)2+(242)2=13cm 10. 60 解：作DHBC于H，交AD于G，如图，正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形ABCD，旋转角为，AD=AD，DAD=，BD=CD，BH=CH，四边形ABCD
15、为正方形，AG=DG，在RtADG中，AG=12AD=12AD，ADG=30，DAG=60，即=60 11. 4 解：由作法得MN垂直平分AC，连接AE，则EA=EC=5，在RtADE中，AD=AE2DE2=5232=4 12. 13 解：如图，连接AE，交BD于P，此时PA+PC=PE+PC的值最小，四边形ABCD是正方形，A、C关于BD对称，PC=PA，PE+PC=PE+PA=AE，BE=2，CE=1，AB=BC=2+1=3，AE=AB2+BE2=32+22=13，PE+PC的最小值是13， 13. (23)na 解：设正方形A1B1C1D1的边长为x，CA1D1和AA1B1都是等腰直角三
16、角形，A1C=22x，AA1=2x，22x+2x=a，解得x=23a，即第1个正方形的边长为23a，设正方形A2B2C2D2的边长为y，C2D1D2和C1A2D2都是等腰直角三角形，C1D2=22y，D1D2=2y，22y+2y=23a，解得y=(23)2a，即第2个正方形的边长为(23)2a，同理可得第3个正方形的边长为(23)3a，第n个正方形的边长为(23)na. 14. 17 解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，在RtABC中，由勾股定理：x2=(8x)2+22，解得：x=174，4x=17，即菱形的最大周长为17 15. 2 解：当折痕PQ的Q点与点D重
17、合时，A点到点B距离最近，如图，由对折可得AD=AD=5，矩形ABCD，BD=AD=5，CD=AB=3，C=90，在RtACD中，由勾股定理得AC=AD2CD2=5232=4，AB=BDAC=54=1，当折痕PQ的P点与点B重合时，A点到点B距离最远，如图2，由对折可得AB=AB=3，点A在BC边上可移动的最大距离=31=2 16. 75 解：在矩形ABCD中，AE平分BAD，BAE=EAD=45，又知EAO=15，OAB=60，OA=OB，BOA为等边三角形，BA=BO，BAE=45，ABC=90，BAE为等腰直角三角形，BA=BEBE=BO，EBO=30，BOE=BEO，此时BOE=75
18、17. 252或56或10 解：分三种情况计算：(1)当AE=AF=5厘米时，SAEF=12AEAF=1255=252厘米2；(2)当AE=EF=5厘米时，如图BF=EF3BE3=5212=26厘米，SAEF=12AEBF=12526=56厘米2；(3)当AE=EF=5厘米时，如图DF=EF2DE2=5232=4厘米，SAEF=12AEDF=1254=10厘米2； 18. 解：(1)四边形ABCE是菱形，证明如下：平行四边形ACDE中，AE/CD，且AE=CD，AE/BC，且AE=BC，四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，四边形ABCE是菱形(2)四边形PQED的面积不发生变化，理由如下
19、：由菱形的对称性知，PBOQEO，SPBO=SQEO，ECD是由ABC平移得到得，ED/AC，ED=AC=6，又BEAC，BEED，S四边形PQED=SQEO+S四边形POED=SPBO+S四边形POED=SBED=12BEED=1286=24当CO=CP时，x=2，当OP=OC时x=710，当PO=PC时，x=2.5 19. 解：(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8t，解得t=4答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；(2)设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ，即42+t2=8t时，四边形AQCP为菱形解得：t=3答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；(3)当t=3时，
20、CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4821234=20(cm2). 20. 解：(1)如图：四边形ABCD是菱形，AB=AD，1=2，又AN=AN，ABNADN；如图：作CEAB，垂足为E，ABC=60，AB=BC=8，ABC是等边三角形，CEAB，CE=8242=43，AM=x，BM=8x，S=12BMCE=12438x=23x+163，08x8，0x8；连接BQ，作BFAD，垂足为F，BQ交AC于P，连接DP，B，D关于AC对称，DP=BP，DP+PQ=PQ+BP=BQ，则BQ的长度即为PD+PQ的最小值，BC/AD，ABC=BAF=60，BFAD，F=90，ABF=30，AF
21、=12AB=4,BF=AB2AF2=43，Q是AD的中点，AQ=4，QF=8，BQ=BF2+QF2=47; (2)ABC=90，菱形ABCD是正方形，CAD=45；如图：下面分三种情形：()若ND=NA，则ADN=NAD=45，此时，点M恰好与点B重合，得x=6；()若DN=DA，则DNA=DAN=45，此时，点M恰好与点C重合，得x=12；()若AN=AD=6，则1=2，AD/BC，1=4，又2=3，3=4，CM=CN，AC=62 CM=CN=ACAN=626，则x=12CM=12626=1862综上所述：当x=6或12或1862时，AND是等腰三角形 21. 解：(1)证明：四边形ABCD
22、是正方形，D=ECQ=90E是CD的中点，DE=CE，(2)证明：PB=PQ，PBQ=Q，AD/BC，APB=PBQ=Q=EPD，PE=QEEF/BQ，PFE=PBQ=Q=PEF，PE=PF，PE=12PQ=12PBPF=BF在RtPAB中，AF=PF=BF，APF=PAF，PAF=EPD，AF/PE四边形AFEP不是菱形理由：EF/BQ/AD，AF/PE，四边形AFEP是平行四边形设AP=x，则PD=1x，若四边形AFEP是菱形，则PE=PA=x，CD=1，E是CD中点，DE=12在RtPDE中，由PD2+DE2=PE2得1x2+122=x2，解得x=58PD=158=38由题可得：PE=E
23、F=PF，PEF是等边三角形PEF=60，PED=30在RtPDE中，PD=12PE=51638四边形AFEP不能是菱形 22. 解：(1)证明：BG/DE，DM/BC，四边形BMDN是平行四边形，在ABM和DGM中，A=G,AMB=GMD,AB=DG, ABMGDM，BM=DM，四边形BMDN是菱形(2)当GBC=30时，四边形GCFD是正方形证法一：如图，连接OB交CG于K，在BK上取一点M，使得BM=GM，ABG=GBC=30，BG=BC，BGC=BCG=75，BGF=BCD=120，OGC=OCG=45，OG=OC，FGCDBG=BC，BO=BO，GO=CO，BOGBOC，OBG=OB
24、C=15，BM=MG，MBG=NGB=15，GMK=30，设GK=x，则BM=MG=2x，MK=3x，在RtBGK中，23+22=x2+3x+2x2，解得x=2，BG=BC，OG=OC，OBCG，GK=KC=2，OC=OG=2=12CD=12GF，CD=FG，OG=OF=OD=OC，四边形DGCF是平行四边形，HF=CD，四边形DGCF是矩形，GFCD，四边形DGCF是正方形证法二：如图BG=BC，GBC=30，BGC=BCG=75又BGF=BCD=120，OGC=OCG=12075=45，OG=OC，GOC=90过点G作GHBC于H，在RtBHG中，GBC=30，GH=12BG=3+1，BH=3GH=3+3，HC=BCBH=23+23+3=31，GC=GH2+HC2=3+12+312=22，OG=OC=CG2=222=2，OD=OF=42=2，OD=OC=OG=OF，四边形DGCF是矩形，GF=CD，四边形DGCF是正方形(3)当GBC=120时，以点C，G，D，F为顶点的四边形CGFD是矩形当GBC=120时，点E与点A重合BG=BC，BGC=BCG=30，GCD=12030=90四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形，AB/CD，AB/FG，AB=CD，AB=GF，FG/CD，CD=GF，四边形DCGF是平行四边形GCD=90，四边形DCGF是矩形 第23页，共23页