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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲_反比例函数图象和性质知识图谱错题回顾顾题回顾反比例函数的概念知识精讲一反比例函数反比例函数的概念：形如函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是x的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数二 成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系三点剖析一考点：反比例函数的概念二重难点：反比例函数的概念二易错点：1 注意自变量的取值范围；2 注意区分反比例函数与成反比例关系题模精讲题模
2、一：反比例函数例1.1.1若函数为反比例函数，则m的值为（）A1B1CD1【答案】D【解析】根据题意得：m22=1，且m10解得：m=1故选D例1.1.2反比例函数的图像经过点，则它还经过点（ ）ABCD【答案】A【解析】该题考查的是反比例函数的图象将点代入反比例函数中，得，即，反比例函数的解析式为，将点，分别代入解析式中，可得只有点使得等式成立，即只有点在反比例函数的图象上，所以本题的答案是A题模二：成反比例关系例1.2.1已知与成反比例，当时，那么时，的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】因为与成反比例，所以可设（），因为当时，所以，即，所以，当时，故答案为A选项例1.2.2设三角形的底
3、边、对应高、面积分别为、当时，与的关系式为_，是_函数；当时，与的关系式为_，是_函数【答案】；正比例；反比例【解析】因为，所以当时，是正比例函数；当时，是反比例函数随堂练习随练1.1已知函数y与成反比例，且当时，（1）求y与x的函数关系式；（2）当时，求y的值【答案】（1）（2）2【解析】该题考查的是反比例函数（1）设，把代入得，（2）把，代入解析式得：随练1.2若一个长、宽均为定值的矩形被直线分成面积为x、y的两部分，则表示y与x之间函数关系的图象是（ ）OxyOxyOxyOxyABCDAA图BB图CC图DD图【答案】A【解析】该题考查的是函数图象矩形长、宽均为定值，矩形面积是个定值，设为
4、S，矩形被直线分成面积为x、y的两部分，变形得（S为常量），面积，y与x之间函数关系式为（S为常量，），函数图象为A故本题答案为A随练1.3若函数(是常数)是反比例函数，则_，解析式为_【答案】2；【解析】由反比例函数的定义可知，所以，随练1.4商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑元，首付元，以后每月付元，个月全部付清，则与的关系式为_，是_函数【答案】；反比例【解析】由题意得，是反比例函数反比例函数的图象和性质知识精讲一反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数(为常数，)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线反比例函数与(
5、)的图象关于轴对称，也关于轴对称反比例函数的性质：反比例函数(为常数，)的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于这两条直线轴对称二反比例函数的几何意义反比例函数(为常数，)中比例系数的几何意义,即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线,所得矩形面积为 三点剖析一考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数k的几何意义二重难点：反比例函数k的几何意义三易错点：1 k的几何意义求出面积时
6、注意k的正负；2 反比例函数图像隐藏的对称性题模精讲题模一：反比例函数的图象和性质例2.1.1点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）Ay1y2By1=y2Cy1y2D不能确定【答案】C【解析】反比例函数y=中，k=20，此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，10，20，点A（1，y1）、B（2，y2）均位于第三象限，12，y1y2例2.1.2如图，已知直线y=-2x经过点P（-2，a），点P关于y轴的对称点P在反比例函数y=（k0）的图象上（1）求a的值；（2）直接写出点P的坐标；（3）求反比例函数的解析式【
7、答案】（1）a=4（2）（2，4）（3）y=【解析】（1）把（-2，a）代入y=-2x中，得a=-2（-2）=4，a=4；（2）P点的坐标是（-2，4），点P关于y轴的对称点P的坐标是（2，4）；（3）把P（2，4）代入函数式y=，得4=，k=8，反比例函数的解析式是y=题模二：反比例函数k的几何意义例2.2.1如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x0）图象上的一点，分别过点P作PAx轴于点A，PBy轴于点B若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A3B3CD【答案】A【解析】点P是反比例函数y=（x0）图象上的一点，分别过点P作PAx轴于点A，PBy轴于点B若四边形OAPB的面
8、积为3，矩形OAPB的面积S=|k|=3，解得k=3又反比例函数的图象在第一象限，k=3例2.2.2如图，反比例函数y=(x0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为_A1B2C3D4【答案】B【解析】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S OCE=，S OAD=，过点M作MGy轴于点G，作MNx轴于点N，则SONMG=|k|，又M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4SONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k0，则+6=4k，k=2故选B随堂练习随练2.1若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自
9、变量x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】该题考查的是反比例函数图像反比例函数图像在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，说明是在二四象限，即故选A随练2.2反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（）常数m1；y随x的增大而减小；若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则SABC=；若P（x，y）在图象上，则P（x，y）也在图象上ABCD【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数y=在一、三象限，则1m0，得m1，故正确；由图象可知，反比例函数y=在每个象限内y随x的增大而减小，故错误；设点A的坐标为（a，0）点B的坐标为（b，），则=，故错误；因为反比例
10、函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P（x，y）也在图象上，故正确；由上可得，结论正确的是，故选D随练2.3如图，在反比例函数y=（x0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=【答案】【解析】由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）解法一：S1=1（21）=1，S2=1（1）=，S3=1（）=，S1+S2+S3=1+=解法二：图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成
11、的长方形面积减去最下方的长方形的面积，121=随练2.4如图，点A、B在反比例函数y=（k0，x0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，AOC的面积为6，则k的值为_【答案】4【解析】设OM=a，点A在反比例函数y=，AM=，OM=MN=NC，OC=3a，SAOC=OCAM=3a=k=6，解得k=4随练2.5如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，2）（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接A
12、B，AC，求点C的坐标及ABC的面积【答案】（1）y=；（2）6【解析】（1）根据题意，将点A（2，2）代入y=kx，得：2=2k，解得：k=1，正比例函数的解析式为：y=x，将点A（2，2）代入y=，得：2=，解得：m=4；反比例函数的解析式为：y=；（2）直线OA：y=x向上平移3个单位后解析式为：y=x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，第四象限内的交点C的坐标为（4，1），OABC，SABC=SOBC=BOxC=34=6自我总结 课后作业作业1下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）Ay=By=xCy=Dy=【答案】C【解析】解；A、y是x2的反比例函
13、数，故本选项错误；B、y是x的正比例函数，故本选项错误；C、符合反比例函数的定义，故本选项正确；D、y是x的正比例函数，故本选项错误故选：C作业2若是反比例函数，则a的取值为（）A1B1ClD任意实数【答案】A【解析】此函数是反比例函数，解得a=1作业3下列各函数和中，是关于的反比例函数的有：_（填序号）【答案】【解析】根据反比例函数的定义可知是关于的反比例函数作业4若函数（为常数）是反比例函数，则的值是_，解析式为_【答案】；【解析】由反比例函数定义可知且，所以，作业5如果用s表示路程（单位：千米），t表示时间（单位：小时），v表示速度（单位：千米/时），那么t=时（用s和v表示）【答案】s
14、 v 【解析】本题考查时间，路程，速度三者之间的等量关系，注意对其进行灵活运用此题可根据等量关系“时间=路程速度”，把相关字母代入即可求解时间=路程速度，s表示路程（单位：千米），t表示时间（单位：小时），v表示速度，t=作业6反比例函数y=的图象，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）Ak3Bk3Ck3Dk3【答案】A【解析】对于反比例函数y=（k0），（1）k0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大根据反比例函数的性质解题当x0时，y随x的增大而增大，函数图象必在第四象限，
15、k-30，k3故选A作业7函数y= 与y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】B【解析】由解析式y=kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D
16、、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误作业8函数y=ax（a0）与y=在同一坐标系中的大致图像是（）ABCD【答案】D【解析】A、由反比例函数的图象可知a0，由正比例函数的图象可知a0，二者相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知a0，由正比例函数的图象可知a0，二者相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知a0，由正比例函数的图象可知a0，二者相矛盾，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知a0，由正比例函数的图象可知a0，二者一致，故本选项正确作业9如图，在平面直角坐标系中
17、，点P在函数y=（x0）的图像上过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D则APD的面积为_【答案】6【解析】PBy轴，PAx轴，S矩形APBO=|k|=6，在PBC与DOC中，PBCDOC，SAPD=S矩形APBO=6作业10如图，点A是反比例函数图象上y=一点，过点A作ABy轴于点B，点C、D在x轴上，且BCAD，四边形ABCD的面积为3，则k=_【答案】3【解析】设点A的坐标为（m，n），ABy轴，CDy轴，ABCD，又BCAD，四边形ABCD为平行四边形S平行四边形ABCD=ABOB=mn=3，k=mn=3作业11如图，点A是反比例函
18、数y1=（x0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2=（x0）的图象于点B，连接OA、OB，若OAB的面积为2，则k的值为_【答案】5【解析】延长BA，与y轴交于点C，ABx轴，BCy轴，A是反比例函数y1=（x0）图象上一点，B为反比例函数y2=（x0）的图象上的点，SAOC=，SBOC=，SAOB=2，即=2，解得：k=5作业12如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC若四边形ODBE的面积为6，则k=_【答案】3【解析】连接OB，如图所示：四边形OABC是矩形，OAD=OCE=DBE=90，OAB的面
19、积=OBC的面积，D、E在反比例函数y=（x0）的图象上，OAD的面积=OCE的面积，OBD的面积=OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，BE=2EC，OCE的面积=OBE的面积=，k=3作业13如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（3，n）两点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足PAB的面积是5，直接写出OP的长【答案】（1）y=x+1；y=；（2）OP=1【解析】（1）反比例函数y=的图象经过点A（2，3），m=6反比例函数的解析式是y=，B点（3，n）在反比例函数y=的图象上，n=2，B（3，2），一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（3，2）两点，解得：，一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：SABP=PC2+PC3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CPOC=21=118