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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲_圆内接正多边形知识图谱错题回顾顾题回顾正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距补充说明：正多边形的性质：（1）正边形的半径和边
2、心距把正边形分成个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆三. 正多边形有关的计算1. 正边形的每个内角都等于；2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于；3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，
3、面积为；则：三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算易错点：对正多边形相关的概念混淆不清题模精讲题模一：正多边形的相关概念例1.1.1下面给出六个命题：各角相等的圆内接多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；各角均为的六边形是正六边形；边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，正确的命题是_例1.1.2若正多边形的一个外角为60，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）A30B60C90D120例1.1.3正六边形的边心距与边长之比为（）A：3B：2C1：2D：2例1.1.4如图，有一个圆O
4、和两个正六边形T1，T2 T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值题模二：相关计算例1.2.1如图，O是ABC的内切圆，若ABC=70，ACB=40，则BOC=_例1.2.2已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）A1BC2D2例1.2.3如图、.、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、.、正边形.的边、上的点，且，连接、（1）求图中的度数；（2）图中的度数是_，图中的度数是_；（3）试探究
5、的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）随堂练习随练1.1如图，正五边形ABCDE内接于O，则CAD=_度随练1.2边长为的正六边形的边心距等于（ ）ABCD随练1.3已知O的周长等于cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_cm随练1.4如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为_随练1.5已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积随练1.6等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（ ）ABCD弧长与扇形的面积知识精讲一弧长公式1.圆的周长：2.弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）二
6、扇形面积公式1.圆的面积公式：2.扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）三圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：；（3）圆锥的体积：；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：；（5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有：2.圆柱（1）圆柱的侧面积：（2）圆柱的全面积：四不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：三点剖析一考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算二重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形
7、面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积；三易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系； 2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的题模精讲题模一：弧长公式例2.1.1一个扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角为_例2.1.2如图，在RtABC中，C=90，A=20，BC=3，以点C为圆心，BC的长为半径的C交AB于点D，交AC于点E，则（劣弧）的长为（）ABCD例2.1.3如图，在扇形OAB中，AOB=110，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为_例2.1.4如图，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CD
8、与O相切于点E，ADCD于点D（1）求证：AE平分DAC；（2）若AB=4，ABE=60求AD的长；求出图中阴影部分的面积例2.1.5如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为_cm题模二：扇形面积公式例2.2.1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A175cm2B350cm2Ccm2D150cm2例2.2.2如图，梯形ABCD中，ADBC，C=90，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心
9、在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是_例2.2.3如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为题模三：圆锥例2.3.1如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A30cm2B48cm2C60cm2D80cm2例2.3.2如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为_cm2A4B8C12D（4+4）例2.3.3如图，现有圆心角为90的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm小红
10、同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是_度例2.3.4将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_题模四：不规则图形面积的巧算例2.4.1如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB=30，CD=2，则S阴影=（）AB2CD例2.4.2如图，半圆O的直径AB=2，弦CDAB，COD=90，则图中阴影部分的面积为例2.4.3如图，在O中，半径OAOB，过点OA的中点C作FDOB交O于D、F两点，且CD=，以O为
11、圆心，OC为半径作，交OB于E点（1）求O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积随堂练习随练2.1如图，以AB为直径的O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1则的长是（）ABCD随练2.2如图，等边三角形MNP的边长为1，线段AB的长为4，点M与A重合，点N在线段AB上沿线段AB按的方向滚动，直至中有一个点与点B重合为止，则点P经过的路程为_A(M)PNB随练2.3如图：A、B、C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（ ）ABCD随练2.4如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留）随练2.5已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm
12、，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A90cm2B209cm2C155cm2D65cm2随练2.6一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积（即表面积）为_（结果保留）随练2.7如图，在菱形ABCD中，AB=2，C=120，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_随练2.8如图，四边形ABCD是菱形，A=60，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60，则图中阴影部分的面积是_随练2.9如图，在BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的O与CE相
13、切于点D，ADOC，点F为OC与O的交点，连接AF（1）求证：CB是O的切线；（2）若ECB=60，AB=6，求图中阴影部分的面积随练2.10如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B旋转到点B，则图中阴影部分的面积是自我总结 课后作业作业1如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N下列结论错误的是_A四边形EDCN是菱形B四边形MNCD是等腰梯形CAEM与CBN相似DAEN与EDM全等作业2半径为R的圆内接正三角形的面积是（）AR2BR2CR2DR2作业3如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为_cm
14、2作业4如图，正十二边形A1A2A12，连接A3A7，A7A10，则A3A7A10=_作业5如图，ABC是O内接正三角形，将ABC绕点O顺时针旋转30得到DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：DQN=30；DNQANM；DNQ的周长等于AC的长；NQ=QC其中正确的结论是_（把所有正确的结论的序号都填上）作业6（1）已知：如图，是的内接正三角形，点为弧上一动点，求证：（2）如图，四边形是的内接正方形，点为弧上一动点，求证:（3）如图，六边形是的内接正六边形，点为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系，并给予证明.作业7阅读下列材料，然后解答问题经过正四边形（即
15、正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形如图，已知正四边形ABCD的外接圆O，O的面积为S1，正四边形ABCD的面积为S2，以圆心O为顶点作MON，使MON=90，将MON绕点O旋转，OM、ON分别与O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H设由OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S.（1）当OM经过点A时（如图），则S、S1、S2之间的关系为：S=_（用含S1、S2的代数式表示）；（2）当OMAB时（如图），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON旋转
16、到任意位置时（如图），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由作业8如图，A与B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点若CDE=x，ECD=y，B的半径为R，则的长度是（）ABCD作业9如图所示，长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为，由翻滚到时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边与桌面成30角，则点A翻滚到A2位置时所经过的路径总长度为_cm作业10如图，有一边长为4的等边三角形纸片，要从中剪出三个面积相等的扇形，那么剪下的其中一个扇形ADE（阴影部分）的面积为_；若用剪下的一个扇形围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r是_BC
17、AEDF作业11如图，从一张腰长为60cm，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A10cmB15cmC10cmD20cm作业12将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_cm作业13如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是_作业14如图，RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，
18、则图中阴影部分的面积为_cm2作业15用两个全等的含30角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1，且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和角的顶点，按先A后B的顺序交替摆放A、B两种卡片得到图2所示的图案若摆放这个图案共用两种卡8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为_若摆放这个图案共用两种卡片(2n+1)张( n为正整数)，则这个图案中阴影部分的面积之和为_A种B种图一图二作业16如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，BOC=60，BCO=90，将BOC绕圆心O逆时针旋转至BOC，点C在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2作业17如图，是平行四边形，是的直径，点在上，则图中阴影部分的面积为_.15