《2022年用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤 .pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高二数学组学案1用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部， 区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f(x0)是极大、 极小值的思路 : 若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)( xf的导数异号，则0 x是)( xf的极值点
2、，)(0 xf是极值，并且如果)( xf在0 x两侧满足“左正右负”，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值；如果)(xf在0 x两侧满足“左负右正”，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值求函数 f(x)的极值的步骤 : (1)确定函数的定义区间， 求导数 f(x) (2)求方程 f(x)=0的根(3)用函数的导数为0 的点， 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负， 那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x)在这个
3、根处无极值在闭区间ba,上连续的函数)( xf在ba,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤: 求)(xf在(,)a b内的极值；将)( xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值例 1 求列函数的极值： （1）22)2()1(xxy； （2）2122xxy解： （1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(xxxxf
4、xxxf令0)(/xf，得驻点2,57, 1321xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案2x)1 ,(1 )57,1(57)2,57(2 ),2()(/xf+ 0 - 0 + 0 + )(xf极大极小0)1(f是函数的极大值；3125108)57(f是函数的极小值. （2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(xxxxxxxxfxxxf令0)(/xf，得驻点121,1
5、xxx)1,(-1 )1 , 1(1 ),1()(/xf- 0 + 0 - )( xf极大极小当1x时，f极小=-3；当1x时，f极大=-1 值。例 2设eexaxxfx()1()(2为自然对数的底，a 为常数且Rxa,0） ，)(xf取极小值时，求x 的值 . 解：)1()1()12()(2xxexaxeaxxf)2)(1(xaxez令210)(或axxf（1）02121aa即当，由表x （， 2）2 )1,2(aa1),1(af(x)+ 0 0 + f（x）极大值极小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
6、整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案3)(,1xfax时取极小值 . （2）0)2(21)(,21212xexfaax时即当无极值 . （3）2121aa即当时，由表x （，a1）a1)2,1(a2 ),2(f(x)+ 0 0 + f（ x）极大值极小值取极小值时时当综上取极小值时)(,1,021,.)(,2xfaxaxfx取极小值时时当)(,2,21xfxa。例 3 求抛物线221xy上与点)0,6(A距离最近的点。解：设),(yxM为抛物线221xy上一点，则22)6(|yxMA4241)6(xx。| MA与2|M
7、A同时取到极值，令42241)6(|)(xxMAxf。由0)62)(2()(2/xxxxf得2x是唯一的驻点 . 当 x或x时，2,)(,|xxfMA是)( xf的最小值点，此时2221,22yx. 即抛物线221xy上与点)0,6(A距离最近的点是（2，2）. 例 4设函数 f（ x）=12xax，其中 a 0，求 a 的范围，使函数f（x）在区间0， +）上是单调函数. 分析：要使f（x）在 0，+）上是单调函数，只需f（ x）在 0，+）上恒正或恒负即可 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
8、 - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案4解： f（ x） =21xxa. 当 x0 时，2011xx因为 a0，所以当且仅当a1 时，f（x）= 21xxa 在 0，+）上恒小于0，此时 f（x）是单调递减函数. 点评：要使f（x）在（ a，b）上单调，只需f（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f（x） 0（或 0）单调递增（或减）. 例 5已知函数 f（x）=ax3+bx23x 在 x=1 处取得极值 . （1）讨论 f（1）和 f（ 1）是函数 f（x）的极大值还是极小值；（2）过点 A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此
9、切线方程. 解： （1） f（ x）=3ax2+2bx3，依题意， f(1)=f (1)=0，即.0323,0323baba解得 a=1，b=0. f（x）=x33x，f（ x） =3x23=3（x+1） （x1） . 令 f（ x）=0，得 x=1， x=1. 若 x（， 1）（ 1， +） ，则 f（ x） 0，故f（ x）在（，1）上是增函数，f（ x）在（ 1，+）上也是增函数. 若 x（ 1，1） ，则 f（ x） 0，故 f（x）在（ 1，1）上是减函数. 所以 f（ 1）=2 是极大值， f（1）=2 是极小值 . （2）曲线方程为y=x33x，点 A（0，16）不在曲线上 .
10、设切点为M（x0，y0） ，则点 M 的坐标满足y0=x03 3x0. 因 f（ x0）=3（x021） ，故切线的方程为yy0=3（ x021） （xx0）. 注意到点A（0， 16）在切线上，有16（ x033x0） =3（x021） （0 x0） ，化简得 x03=8，解得 x0=2. 所以切点为M（ 2， 2） ，切线方程为9xy+16=0. 点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
11、 - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案5导数及其应用（单调性、极值与最值）一选择题：(1) 已知函数)(xfy在区间),(ba内可导，且),(0bax，则hhxfhxfh)()(lim000( ) (A)( 0 xf(B)( 20 xf(C)( 20 xf(D)0(2) 函数xxyln在区间( ) (A) )1,0(e上单调递减(B) ),1(e上单调递减(C) ),0(上单调递减(D) ),0(上单调递增(3) 函数5123223xxxy在3,0上的最大值和最小值依次是( ) (A) 15,12(B) 15,5(C) 4,5(D) 15
12、,4(4) 已知函数1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) (A)21a(B)63a(C)3a或6a(D)1a或2a(5) 设点P是曲线3233xxy上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是( ) (A) )32，(B)322(，(C) ),32)2,0(D) ),65)2,0(6) 方程0109623xxx的实根个数是( ) (A) 3(B) 2(C) 1(D) 0二填空题：(7) 函数2)()(cxxxf在2x处有极大值，则实数c(8) 已 知 曲 线xxxyC2323：， 直 线kxyl：， 若l与C相 切 于 点名师资料总结 - - -精
13、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案6)0)(,(000 xyx，则切点坐标是(9) 函数bxxxf3)()(Rb在区间)1 ,0(上单调递增，且关于x 的方程0)(xf的根都在区间2,2内，则实数b的取值范围是(10) 已知axxxf233)()(Ra在33，上有最小值3， 则在33，上，)( xf的最大值是三解答题：(11) 函数baxxxf3)(3)0(a的极大值为6，极小值为2，求实数ba，的值 . (12) 已知函数
14、xxxf)1ln()(. 求函数)( xf的单调区间； 若1x，证明：xxx)1ln(111. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案7(13) ( 全国卷 )设 a 为实数 , 函数.)(23axxxxf()求)(xf的极值 . ()当 a 在什么范围内取值时 , 曲线xxfy与)(轴仅有一个交点 . 14 ( 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分
15、别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角 ,再焊接而成 (如图 ),问该容器的高为多少时,容器的容积最大 ?最大容积是多少 16. （山东卷）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m，（I ）求 m 与 n 的关系式；（II ）求()fx的单调区间；（III） 当1 , 1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - -
16、 - - - - 高二数学组学案8(全国卷 )设 a 为实数 , 函数.)(23axxxxf()求)(xf的极值 . ()当 a 在什么范围内取值时 , 曲线xxfy与)(轴仅有一个交点 . ( 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角 ,再焊接而成 (如图 ),问该容器的高为多少时,容器的容积最大 ?最大容积是多少? （ 山 东 卷 ） 已 知1x是 函 数32()3(1)1fxmxmxnx的 一 个 极 值 点 ， 其 中,0mnR m， （I ）求 m 与 n 的关系式；（II ）求()fx的单调区
17、间；（III） 当1 , 1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案9第五讲答案：一选择题：BABCCC二填空题：(7) 6(8) )83,23(9) 4,3(10) 57三解答题：(11) 1a,4b. (14) 解：()fxax2bxa2，x1，x2是 f (x)的两个极值点，x1，x2是方程()fx 0 的两个实数根
18、1 分a0，x1x2 a0，x1x2ba2 分| x1|x2| x1 x2|b2a24a3 分| x1|x2|2，b2a24a 4，即b24a24a34 分b20 ，0a1 5 分设 g(a)4a24a3，则 g(a)8a12a24a(23a)6 分由 g(a)0 及0a0 a23，g(a)023 a1 ，7 分得 g(a)在区间（ 0，23）上是增函数，在区间（23，1上是减函数，g(a)maxg(23)16278 分|b| 4399 分x1，x2是方程 f (x)0 的两个实数根，f (x)a(xx1)(xx2)10 分h(x)a(xx1)(xx2)2a(xx1)a(xx1)( xx22)
19、，| h(x)|a| xx1| x x2 2| a (| xx1| xx22|2)212 分xx1，| xx1|xx1又 x10，x1x20，x2 0 x222x2，x x220| xx22|x22x| xx1| xx22|x2x12212xx4| h(x)| 4 a14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案1016. （山东卷）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,0
20、m nR m，（I ）求 m 与 n 的关系式；（II ）求()fx的单调区间；（III） 当1 , 1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m 的取值范围 . (全国卷 )设 a 为实数 , 函数.)(23axxxxf()求)(xf的极值 . ()当 a 在什么范围内取值时 , 曲线xxfy与)(轴仅有一个交点 . 解： (I)()fx=32x 2 x 1 若()fx=0，则 x =13， x =1 当 x 变化时，()fx，()fx变化情况如下表：x(，13) 13(13，1) 1 (1，+) ()fx+ 0 0 + ()fx极大值极小值()fx的极大值是15()
21、327fa，极小值是(1)1fa(II) 函数322( )(1) (1)1fxxxxaxxa由此可知，取足够大的正数时，有()fx0，取足够小的负数时有()fx0，所以曲线y=()fx与 x 轴至少有一个交点结合()fx的单调性可知：当()fx的极大值527a0 即 a(1， +)时，它的极大值也大于0， 因此曲线y=()fx与 x 轴仅有一个交点，它在(，13)上。当5(,)27a(1，+)时，曲线y=()fx与 x 轴仅有一个交点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
22、10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案11即 a 的取值范围是3,)4( 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形 ,然后把四边翻转90角 ,再焊接而成 (如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大 ?最大容积是多少? 解：设容器的高为x，容器的体积为V，1 分则 V= （90-2x） （48-2x）x,(0V24)5 分=4x3-276x2+4320 x V=12 x2-552x+4320,7 分（山东卷）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的 一 个 极 值 点 ， 其 中
23、,0m nR m， （I ）求 m 与 n 的关系式；（II ）求()fx的单调区间；（III） 当1 , 1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m 的取值范围 . 解(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm（II ）由（ I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm当0m时，有211m，当 x 变化时，()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m1 1,()fx00 00 0()fx调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知， 当0m时，()fx
24、在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 高二数学组学案12上单调递减 . （III ）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx又0m所以222(1)0 xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm设212()2(1)gxxxmm，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以22(1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即 m 的取值范围为4,03名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -