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1、习题精选精讲含有函数记号“( )f x”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出( )fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知()211xfxx, 求( )f x. 解：设1xux, 则1uxu2( )2111uuf uuu2( )1xf xx2. 凑合法：在已知( ( )( )fg xh x的条
2、件下，把( )h x并凑成以( )g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x. 此解法简洁，还能进一步复习代换法。例 2：已知3311()f xxxx，求( )f x解：22211111()()(1)()()3)f xxxxxxxxxx又11| |1|xxxx23( )(3)3f xx xxx，(|x| 1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知( )f x二次实函数，且2(1)(1)fxf xx+2x+4, 求( )f x. 解: 设( )f x=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb
3、 xca xb xc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb213( )22f xxx4. 利用函数性质法 : 主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式. 例 4. 已知y=( )fx为奇函数 , 当x0 时,( )lg(1)f xx, 求( )f x解: ( )f x为奇函数，( )f x的定义域关于原点对称， 故先求x0,()lg(1)lg(1)fxxx, ( )fx为奇函数，lg(1)()( )xfxf x当x0 时( )lg(1)f xxlg(1),0( )lg(1),0 xxf xxx例 5已知( )f x为偶函数，( )g x为奇
4、函数，且有( )f x+1( )1g xx， 求( )f x,( )g x. 解：( )fx为偶函数，( )g x为奇函数，()( )fxf x,()( )gxg x, 不妨用 -x代换( )f x+( )g x=11x, 中的x, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲1()()1fxgxx即( )f x1( )1g xx, 显见 +即可消去( )g x, 求出函数21( )1f xx再代入求出2( )1
5、xg xx5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出( )f x的表达式例 6：设( )f x的定义域为自然数集，且满足条件(1)( )( )f xf xf yxy, 及(1)f=1, 求( )f x解：( )fx的定义域为N，取y=1, 则有(1)( )1f xf xx(1)f=1,(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff,( )(1)f nf nn以上各式相加，有( )f n=1+2+3+,+n=(1)2n n1( )(1),2fxx xxN二、利用函数性质，解( )fx的有关问题1. 判断函数的奇偶性：例 7 已知()()2 ( )( )f xyf xyf x f y, 对一切
6、实数x、y都成立，且(0)0f, 求证( )f x为偶函数。证明：令x=0, 则已知等式变为( )()2 (0)( )fyfyffy, 在中令y=0 则 2(0)f=2(0)f(0)f0(0)f=1( )()2( )f yfyf y()( )fyfy( )f x为偶函数。2. 确定参数的取值范围例 8：奇函数( )f x在定义域（ -1 ，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，( )f x为函数，2(1)(1)fmf m又( )f x在（-1，1）内递减，221 111110111mmmmm3.解不定式的有关题目例
7、 9：如果( )f x=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft, 比较(1)(2)(4)fff、的大小解：对任意t有(2)2)ftftx=2 为抛物线y=2axbxc的对称轴又其开口向上f(2) 最小，f(1)=f(3) 在 2， ) 上，( )f x为增函数f(3)f(4), f(2)f(1)f(4) 五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0 时，f（x） 0，f（ 1） 2，求f（x）在区间 2，1 上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求
8、函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0） 2 f（0），f（0） 0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（ 1） 2，又f（ 2） 2 f（ 1） 4，f（x）的值域为 4，2。例 2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y） 2 + f（xy），且当x0 时，f（x
9、） 2，f（3） 5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2 的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。， 又f（3） 5，f（1） 3。， 即，解得不等式的解为1 a 0 时， 0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -