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1、测试42空间点、直线、平面间的位置关系高考概览考纲研读1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题一、基础小题1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件答案A解析“两条直线为异面直线”“两条直线无公共点”“两直线无公共点”“两直线异面或平行”故选A2下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0
2、 B1 C2 D3答案C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确3若直线上有两个点在平面外，则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内4如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点B
3、C点C但不过点M D点C和点M答案D解析A，B，MAB，M又l，Ml，M根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上5若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A异面或平行 B异面或相交C异面 D相交、平行或异面答案D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置如图(可有三种情况)所示，故a，c可能相交、平行或异面6以下四个命题中：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题
4、的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析正确，否则三点共线和第四点必共面；错误，如图三棱锥，能符合题意但A，B，C，D，E不共面；错误，从的几何体知；空间四边形为反例可知，错误7已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾故选C8如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条答案5解析依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC
5、1相交的棱有CD，C1D1故符合条件的棱有5条二、高考小题9(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A B C D答案C解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以异面直线AE与CD所成的角为EAB，设正方体的棱长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CEa，所以BEa，则tanEAB故选C10(2015广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C，D又注意到正四面体的四个顶点
6、也满足两两距离相等，于是排除A，故选B11(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面，内，所以平面与必有公共点，从而平面与相交；反之，若平面与相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面故选A三、模拟小题12(2018武昌调研)已知直线l和平面，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l()A相交 B平行 C垂直 D异面答案C解析当直线l与平面平行时，
7、在平面内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l平面时，在平面内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面相交时，在平面内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l垂直13(2018福州五校联考)如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBDF，DC1CD1E，则直线EF是平面ACD1与()A平面BDB1的交线B平面BDC1的交线C平面ACB1的交线D平面ACC1的交线答案B解析连接BC1因为EDC1，FBD，所以EF平面BDC1，故平面ACD1平面BDC1EF故选B14(2018湖北七市(州)联考)设直线m与平面相交但不垂直，则下列
8、说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直答案B解析对于A，在平面内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，因为直线m与平面相交但不垂直，所以过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，C错误；对于D，与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，D错误故选B15(2018兰州市高考实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AD1，则异面直线B1C和C1D所成
9、角的余弦值为()A B C D答案A解析如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1CA1D，C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1AB，AD1，A1D2，DC1，A1C12，由余弦定理，得cosC1DA1，故选A16(2018河北石家庄质检)下列正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是()答案D解析(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PRSQ，故点P，Q，R，S共面；对选项B，易判断QRSP，故点P，Q，R，S共面；对选项C，易判断PQSR，故点P，Q，R，S共面；而选项D中的RS，PQ为异面直线，故选D17(2018
10、武汉调研)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面直线的有3对18(2018山西四校联考)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_(填写所有正确说法的序号)EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交
11、点M一定在直线AC上答案解析连接EH，FG(图略)，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上一、高考大题1(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解(1)证明
12、：如图，取AC的中点O，连接DO，BO因为ADCD，所以ACDO又由于ABC是正三角形，所以ACBO从而AC平面DOB，故ACBD(2)连接EO由(1)及题设知ADC90，所以DOAO在RtAOB中，BO2AO2AB2又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为112(2015四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图
13、如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG解(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH同理BG平面ACH又BEBGB，所以平面BEG平面ACH(3)证明：连接FH因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH因为EG平面EFGH，所以DHEG又EGF
14、H，DHFHH，所以EG平面BFHD又DF平面BFHD，所以DFEG同理DFBG又EGBGG，所以DF平面BEG二、模拟大题3(2018河南洛阳月考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E，F分别是AB和AA1的中点，FEA1B且EFA1BA1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C，FED1C，EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形，直线CE与D
15、1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点4(2018河南焦作一模)如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，ADCD，ADED，AFDE，ABCD，CD2AB2AD2EDxAF(1)若四点F，B，C，E共面，ABa，求x的值；(2)求证：平面CBE平面EDB解(1)AFDE，ABDC，AFABA，DEDCD，平面ABF平面DCE四点F，B，C，E共面，FBCE，ABF与DCE相似ABa，EDa，CD2a，AF，由相似比得，即，所以x
16、4(2)证明：不妨设AB1，则ADAB1，CD2，在RtBAD中，BD，取CD中点为M，则MD与AB平行且相等，连接BM，可得BMD为等腰直角三角形，因此BC，因为BD2BC2CD2，所以BCBD，又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，平面ADEF平面ABCDAD，EDAD，所以ED平面ABCD，所以BCDE，又因为BDDED，所以BC平面EDB，因为BC平面CBE，所以平面CBE平面EDB5(2018沈阳质检)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；
17、(2)BCSA证明(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC同理EG平面ABC又EFEGE，所以平面EFG平面ABC(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，因为BC平面SBC，所以AFBC又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB因为SA平面SAB，所以BCSA6(2018河南郑州模拟)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，M为PC的中点(1)求证
18、：PCAD；(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；(3)求点D到平面PAM的距离解(1)证明：取AD的中点O，连接OP，OC，AC，因为四边形ABCD是ABC60的菱形，所以ADC60，ADCD，所以ACD是正三角形，所以OCAD，又PAD是正三角形，所以OPAD，又OCOPO，OC平面POC，OP平面POC，所以AD平面POC，又PC平面POC，所以PCAD(2)存在当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面证明如下：取棱PB的中点Q，连接QM，QA，因为M为PC的中点，所以QMBC，在菱形ABCD中，ADBC，所以QMAD，所以A，Q，M，D四点共面(3)点D到平面PAM的距离即为点D到平面PAC的距离，由(1)可知POAD，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，即PO为三棱锥PACD的高，在RtPOC中，POOC，则PC，在PAC中，PAAC2，PC，所以边PC上的高AM，所以SPACPCAM，设点D到平面PAC的距离为h，由VDPACVPACD，得SPAChSACDPO，即h22，解得h，所以点D到平面PAM的距离为