直线和圆中的最值问题题库.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除椭圆中的定点，定值，最值问题：18（2011常州一模）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点 求椭圆的标准方程；若时，求实数；试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论17.（2011苏北四市） （本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M，N，若圆C的不圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A为圆C上的一点.（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；（2）求（O为坐标原点）的取值范围；（3）求的最大值和最小值.17.（1）设椭圆的标

2、准方程为，依题意可得，可得，所以，所求椭圆的标准方程为.3分因为圆的圆心C和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，故园的标准方程为.5分（2）由（1）得圆心C（1，2），所以，而则所以，7分而则，即即，因此，从而（O为坐标原点）的取值范围为.10分(3)表示圆上点P与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（2，0）的距离为2，圆的半径为1，所以P与坐标原点O的距离的最小值为2-1=1，与坐标原点O的距离的最大值为2+1=3，故的最大值为9，最小值1. 14分18. （本小题满分16分）（2011苏州）如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.若,求实数的

3、值；设点为的外接圆上的任意一点，当的面积最大时，求点的坐标.（2011无锡一模）已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点（1） 当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；（2） 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由18（1）直线AM的斜率为时，直线AM：， 1分代入椭圆方程并化简得：， 2分解之得， 4分（2）设直线AM的斜率为，则AM：，则化简得：6分此方程有一根为， 7分同理可得8分由（1）知若存在定点，则此点必为9分，11分同理可计算得13分直线MN过轴上的一定点 16分17、（2011

4、南京二模）（本题满分14分）如图, 椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B、D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E、P分别是线段OA、AM的中点。（1） 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.（2） 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于R、S（不同于B点），且它们的斜率k1、k2满足k1*k2=-，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标。20. （2011南通二模）已知依次满足 （1）求过点的轨迹； （2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的 距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程； （3）经过（2）中椭圆上顶点B作直线m，n，使mn，直线m，n分

5、别交椭圆于P，Q，连接PQ，求证PQ经过定点.解：（1）设（2）设直线的方程为 椭圆的方程 由与圆相切得： 将代入得： 又，可得， 有，. （3）点B(0，2)，直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得：x2+2(kx+2)2=8， 解出 ； 直线n：y=(-1/k)x+2，同理得：. 直线PQ的方程：. 令x=0，直线PQ经过定点.17（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l： 求椭圆的标准方程； 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值解：椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为

6、l：，不妨设椭圆C的方程为（2分），（ 4分）即（5分）椭圆C的方程为（6分） F（1，0），右准线为l：， 设， 则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分） FNOM，直线OM的斜率为，（9分） 直线OM的方程为：，点M的坐标为（11分） 直线MN的斜率为（12分） MNON， ， ，即（13分）为定值（14分）直线和圆中的最值问题：19（苏北九市2011一模）（本小题满分16分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围19（本小题满分16分）

7、解：（）点A代入圆C方程，得m3，m1 2分圆C：设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即直线PF1与圆C相切，解得 4分当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4F1（4，0），F2（4，0） 6分2aAF1AF2，a218，b22椭圆E的方程为： 8分2（），设Q（x，y）， 10分，即，而，186xy18 12分则的取值范围是0，36 14分的取值范围是6，6的取值范围是12，0 16分18、(本小题满分16分）已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)。(1)求椭圆C的方程；(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一

8、点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? (3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。解：(1)椭圆+=1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)，即 ，解得 ，椭圆C的方程为+=1。(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则+=1， 圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，=4y02-4(2x0-1)20。将y02=3(1-)代入，得3x02+8x0-160，解出 -4x0。(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1y2。由(2)，得DE= y2- y1

9、=，当x0=-时，DE的最大值为。17（本小题共14分）椭圆：的一个焦点，右准线方程（1）求椭圆的方程；（2）若为右准线上一点，为椭圆的左顶点，连结交椭圆于点，求的取值范围；（3）设圆Q：与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆上一点作圆Q的切线、，切点为，求的最大值17、解：（1）由题意得，得，所求椭圆方程为4分（2）设点横坐标为，则，的取值范围是 9分（3）由题意得，即圆心Q为，设，则，即，易得函数在上单调递减，在上单调递增，时，. 14分1. (本题满分16分)已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆C在点P处的切线的斜率为1.(1)试求圆C的方程；(2)若点A、B是

10、圆C上不同的两点，且满足=，yxCQPO第18题R试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围。18.（1）设圆方程为，则圆心，且PC的斜率为-12分所以5分解得，所以圆方程为7分（2）=，所以AB斜率为110分设直线AB方程为，代入圆C方程得设，则原点O在以AB为直径的圆的内部，即14分整理得，16分18（本小题满分16分）在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，AOB的内切圆为圆M（1）如果圆M的半径为1，l与圆M切于点C (，1)，求直线l的方程；（2）如果圆M的半径为1，证明：当AOB的面积、周长最小时，此时A

11、OB为同一个三角形；（3）如果l的方程为xy20，P为圆M上任一点，求的最值18解析：（1）由题可得，所以l：y1（2）设A(a，0)，B(0，b) (a2，b2)，则l：bxayab0由题可得M (1，1)所以点M到直线l的距离d1，整理得(a2)(b2)2，即ab2(ab)20于是ab22(ab)，2，ab6当且仅当ab2时，ab6所以面积S3，此时AOB为直角边长为2的等腰直角三角形周长Lab(2)6，此时AOB为直角边长为2的等腰直角三角形所以此时的AOB为同一个三角形（3）l的方程为xy20，得A(2，0)，B(0，2)，：1，设P(m，n)为圆上任一点，则1，2(mn)1，1，2m

12、n2(4)(mn)(9)(2)(mn)当mn2时，(9)(2)( 2)17此时，mn1当mn2时，(9)(2)( 2)9此时，mn117.（2011苏北四市二模）如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切与点，且被轴分成的两段弧之长比为，过点的直线与圆相交于、两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点.(1)求圆的方程；(2)当时，求出直线的方程；(3)求直线的斜率的取值范围. 17解：（1）因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，设圆与轴的交点分别为、，由圆被轴分成的两段弧长之比为，得，所以，圆心的坐标为，所以圆的方程为： 4分（2）当时，由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，由得或，不妨令，因为

13、以为直径的圆恰好经过，所以，解得，所以所求直线方程为或10分（3）设直线的方程为， 由题意知，解之得， 同理得，解之得或 由（2）知，也满足题意所以的取值范围是 14分18（本小题满分15分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。（）若PAB=30，求以MN为直径的圆方程；（）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。 18（本小题满分15分）解：建立如图所示的直角坐标系，O的方程为，直线L的方程为。（）PAB=30，点P的坐标为，将x=4代入，得。MN的中点坐标为（4，0

14、），MN=。以MN为直径的圆的方程为。同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。（）设点P的坐标为，（），。将x=4代入，得，。，MN=。MN的中点坐标为。以MN为直径的圆截x轴的线段长度为为定值。必过O 内定点。9 已知圆的方程为，圆的方程为，过圆上任一点作圆的切线，若直线与圆的另一个交点为，则当弦的长度最大时，直线的斜率是 ；定点，定值：17（2011盐城一模）(本小题满分16分)OlxyABFM第17题已知抛物线的准线为,焦点为.M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交M于另一点,且.（）求M和抛物线的方程；（）若为抛物线上的动点,求的最小值；（）过上的动

15、点向M作切线,切点为,求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.17解：（）因为,即,所以抛物线C的方程为 2分设M的半径为,则,所以的方程为 5分,（）设,则=所以当时, 有最小值为2 （）以点Q这圆心,QS为半径作Q,则线段ST即为Q与M的公共弦 11分设点,则,所以Q的方程为13分从而直线QS的方程为(*)14分 因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为16分18（2011扬州一模）（本小题共16分）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为 （1）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； 若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围； （2）设直线与

16、轴、轴分别交于点，求证：为定值18解：（）（） 圆过椭圆的焦点，圆：， ， 5分 （）由及圆的性质，可得， 10分 （）设，则整理得 方程为：，方程为：，直线方程为 ，即 令，得，令，得，为定值，定值是16分18. (本题满分15分) 已知圆，点，直线.求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；ks5u在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.18解：设所求直线方程为，即，直线与圆相切，得，所求直线方程为 -5分方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或。 -8分下面证明 点对于圆

17、上任一点，都有为一常数。设，则， ，从而为常数。 -15分方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立， -8分，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 -15分18（2011扬州一模）（本题满分15分）已知圆M： ，直线l0：xy8 , l0上一点A的横坐标为a , 过点A作圆M的两条切线l1 , l2 , 切点分别为B ,C. （）当a0时，求直线 l1 , l2 的方程； （）当直线 l1 , l2 互相垂直时，求a 的值；（）是否存在点A，使得BC长为？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.18解：（）圆M： 圆心M(0 , 1) , 半径 A

18、(0, 8) , 设切线的方程为yk x8 , 圆心距, 所求直线l1 , l2的方程为 （）当l1 l2时，四边形MCAB为正方形， 设A(a , 8a), M(0 , 1) 则 a3或a4 （）若, 则 , MB2MDMA 圆心M到直线l0的距离为 点A不存在18. （本小题满分15分）已知椭圆左右两焦点为，P是椭圆上一点，且在x轴上方，于H, .（1）求椭圆的离心率的取值范围； （2）当取最大值时，过的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程； （3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M,N,试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明

19、理由。18.解：由相似三角形知， ，(1) ，,在上单调递减.时，最小，时，最小，(2) 当时，.,是圆的直径，圆心是的中点，在y轴上截得的弦长就是直径，=6.又，.,圆心,半径为3，.（3） 椭圆方程是，右准线方程为，直线AM,AN是圆Q的两条切线，切点M,N在以AQ为直径的圆上。设A点坐标为，该圆方程为。直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程。该直线化为：直线MN必过定点。18（本小题满分16分）M如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆当圆的面积为，求所在的直线方程；当圆与直线相切时，求圆的方程；求证：圆总与某个定圆相切解 易

20、得，设，则， 2又圆的面积为，解得， 或，所在的直线方程为或；4直线的方程为，且到直线的距离为， 化简得，6联立方程组，解得或 8当时，可得， 圆的方程为；9当时，可得， 圆的方程为；10圆始终与以原点为圆心，半径（长半轴）的圆（记作圆O）相切证明：， 14又圆的半径，圆总与圆O内切 1618、（2011南通二模）设向量，满足，已知定点，动点；求 （1）求动点的轨迹的方程； （2）过原点作直线交轨迹于两点，若，试求的面积。（3）过原点作直线与直线交于点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点（不妨设点在直线上方），试判断线段的长度是否为定值？并说明理由。18、（1） （2） （3）OG（定值）19.

21、本小题16分已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，且，(为坐标原点).()求椭圆的方程；()过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点?若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.19. 解：（）因为，所以. 2分又，.b=1. 因此所求椭圆的方程为： 4分yF1F2xSOAB ()动直线的方程为：由得设则 8分假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则 12分由假设得对于任意的恒成立，即 解得m=1.因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）.18（本小题满分15分）如图，椭圆的中心在原点，焦点在轴上

22、，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于两点，的面积为，的周长为（1）求椭圆的方程；BMF2AyOxF1（2）设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由18（） 由题意知：，解得 椭圆的方程为 分（）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切，则 到直线的距离相等,化简整理得： 分 点在椭圆上， 解得： 或 （舍）分时， 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以为圆心的圆相切 18.（2010镇江一模） （本小题满分15分）已知圆方程为，椭圆中心在原点，焦点在轴上。（1）证明圆恒过一

23、定点，并求此定点的坐标；（2）判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；（3）当时，圆与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点，求此时椭圆方程；在轴上是否存在两定点，使得对椭圆上任意一点（异于长轴端点），直线的斜率之积为定值？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。18、（苏北四市一模）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为。（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。18.（1）设抛物线的方程为，因为准线的方程为，所以，即，因此抛物线的方程为 4分（2）由题意可知，,则直线方程为：，即，8分设圆心在轴上，且与直

24、线相切的圆的方程为，则圆心到直线的距离， 10分即，或 ，由可得对任意恒成立，则有，解得（舍去），14分由可得对任意恒成立，则有，可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.16分17、 （本题满分14分） 已知圆O的方程为且与圆O相切。（1） 求直线的方程；（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。17.（1）直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，2分则圆心到直线的距离为，解得，直线的方程为，即 4分（2）对于圆方程,令，得,即又直线过

25、点且与轴垂直，直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得, 10分以为直径的圆的方程为， 又，整理得， 12分若圆经过定点，只需令，从而有，解得，圆总经过定点坐标为 14分在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标图233解答】 (1)设直线l的方程为：yk(x4)，即k

26、xy4k0，由题可知圆心C1到直线l的距离d1，结合点到直线距离公式，得1，化简得24k27k0，解得k0或k，求得直线l的方程为y0或y(x4)，即y0或7x24y280.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为ynk(xm)，yn(xm)，即kxynkm0，xynm0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等故有，化简得(2mn)kmn3，或(mn8)kmn5，因为关于k的方程有无穷多解，所以有或解得或所以点P坐标为或.18（2012南京一模）(本小题满分16分) 如图,在平面

27、直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, . (1)求直线的方程； (2)求直线被过三点的圆截得的弦长；yADPBx0第18题(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.18解: (1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得3分 所以直线BD的方程为5分(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,所以圆C的圆心为(0,1),且圆C的半径为8分又圆心(0,1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为 10分(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,

28、PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN12分设,则,根据在直线上,解得14分所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为,16分（2012无锡一模）已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点（1） 求椭圆的方程；（2） 若点为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于、两点，求证：（为坐标原点）.18. （2012徐州一模）（本小题满分1分）平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于轴于点（，）和（，），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。18因为点到直线的距离为， 2分 所以圆的半径为，故圆的方程为 4分设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即， 6分当且仅当时取等号，此时直线的方程为10分设，则，直线与轴交点，直线与轴交点， 14分故为定值2 16分11过直线：上一点作圆：的切线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 【精品文档】第 24 页