讲义6：排列组合与二项式定理.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date讲义6：排列组合与二项式定理精锐教育班主任必读精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号： 学员编号： 年 级： 高 三 课 时 数： 3学员姓名： 辅导科目： 数 学 学科教师： 学科组长签名及日期 教务长签名及日期课 题排列、组合与二项式定理授课时间备课时间教学目标1、 掌握加法原理与乘法原理，会用来解决一些简单的实际问题；2、 理解排列、组合的概念, 掌握排列数、组合数公

2、式，并能解决简单的实际问题；3、 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。重点、难点1. 加法原理与乘法原理；二项展开式有关问题；2. 排列、组合综合题的解题思路。考点及考试要求掌握加法原理与乘法原理；理解排列、组合的概念，掌握排列数和组合数公式，并能用来解决实际问题；掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数及二项式系数和等相关问题。教学内容一、知识巩固与例题分析一）两个基本原理1、加法原理（分类计数原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。2、乘法原理（分步计数原理） 完

3、成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。3、加法原理与乘法原理的区别 加法原理：方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 乘法原理：各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。【例1】（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（ ）A81种B64种C24种D4种（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）A81种 B64种C24种D4种二）排列（1）排列：从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元

4、素的一个排列。排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。（2）排列数公式： =n(n1)(nm+1)（3）全排列： =n!【例1】电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）。【例2】（1）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个（2）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种（3）在数字

5、1,2，3与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）（A）6 （B）12 （C）18 （D）24（4）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040【例3】用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个。三）组合（1）组合：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示。【小秘书】排列与组合的区别：（2）组合数公式：Cnm=

6、；（3）组合数的性质：Cnm=Cnn-m； C=C+C； Cn0+Cn1+Cnn=2n； Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1。【例1】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）（A）10种（B）20种（C）36种 （D）52种【例2】将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（ ）（A）种 （B）种 （C）种（D）种【例3】（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有_种。（2）5名志愿者分到3

7、所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解析（2）人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有60种，若是1,1,3，则有90种，所以共有150种，选A。【小秘书】解决排列组合问题常见的解题方法有：直接法，间接法，捆绑法，插空法，隔板法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。（1）直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。（2）间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题

8、意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。（3）捆绑法：关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。（4）插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，这种方法叫插空法。【典型例题分析】1.优先考虑： 对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元

9、素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。【例1】（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。（2）由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。（3）5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。小试身手：1、现有6名同学站成一排：（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？2、用，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？2.捆绑法： 【例2】（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有

10、三名学生，这样的排法共有 种。小试身手：1、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起，则不同的5位数共有_个。2、有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间只有三名学生，这样的排法共有 种。3.插空法： 【例3】（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。小试身手：1、七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种2、有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多

11、少种不同的排法？3、有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相邻有 种排法；（2）男女相间有 种排法。4.间接法：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。【例4】（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。（2）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。（3）从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？小试身手：1、某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为_。2、6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？5.先组

12、后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。【例5】（1）用1、2、3、9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有 种不同的奖法。（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有 种分配方法。小试身手：1、有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有 种参加方式。2、从两个集合和中各取两个元素组成一个四位数，可组成 个数。6.除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。【例6】（1）有4

13、名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有 种。（2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有_个。（3）书架上放有5本书（15册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。小试身手：1、书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。2、9人（个子长短不同）排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种 排法。 7.对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。【例7】（1）一部电影在四个单位轮放

14、，每单位放映一场，可以有 种放映次序。（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有 种。小试身手：1、某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是 。2、三个人坐在一排7个座位上，（1）若3个人中间没有空位，有 种坐法。（2）若4个空位中恰有3个空位连在一起，有 种坐法。 【小结】练兵场：15名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，共有_种站法。2翰林39. 398人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有_种。3现有6张同排连座号的

15、电影票, 分给3名老师与3名学生, 要求师生相间而坐, 则不同的分法有_。4在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 种。5现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是_。(写出具体数字)6将A、B、C、D、E排成一排，其中按A、B、C顺序（即A在B前，C 在B 后）的排列总数为 。7如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有 。 1 2 3 4 58（1）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着

16、色，要求相邻 地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有 种。（以数字作答）9.同室人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这张贺年卡不同的分配方式有_种。10从0、1、2、3、4五个数字中，任选3个作为二次函数的系数（各项系数均不相同），可以得到二次函数_个。11. 将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A70 B140C280 D84012. 从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是（ ）A.140 B.84 C.70 D.3513.从6人中选出4人分别到巴黎

17、、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种 B240种 C144种D96种14.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）A.240种B.180种C.120种D.60种15名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?16.有11个工人，其中5人只会当钳工，4人只会当车工，还有2人既会当钳工又会当车工现在要从这11人中选出4人当钳工，4人当车工，一共有多少种选法？17.在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件 （1

18、）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 18.有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法种数。（1）全部排成一排； （2）全部排成一排，其中甲只排在中间或两头； （3）全部排成一排，甲、乙必须在两头； （4）全部排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边； （5）全部排成一排，男女生各排在一起； （6）全部排成一排，男生必须排在一起； （7）全部排成一排，男女生各不相邻； （8）全部排成一排，男生不排在一起； （9）全部排成一排，其中甲乙丙三位同学自左向右顺序不变； （10）全部排成一排，其中甲乙

19、两人中间必须有三个人。四）二项式定理（1）二项式展开公式：（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk【例1】二项展开式中，第_项是常数项。【例2】在的展开中，的系数是（ ）A. B C D【例3】若 ，则 _。【例4】展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项。练兵场：1、在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有（ ）A3项 B4项 C5项 D6项2、的二项展开式中，有理项共有（ ）A项 B项 C项 D项3、在(x1)(x+1)8的展开式中x5的系数是()A14 B14 C28 D284、在的二项展开式中，的系数是

20、_。5、若且，则_。6、已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大。（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。 五）概率问题 1、一枚伍分硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）2、（06文）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_。（结果用分数表示）3、（08文）在平面直角坐标系中，从六个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是。（结果用分数表示）4、盒中有6个灯炮，其中2只次品，4只正品，从中任取2只，试求下列事件的概率：（1）取到两只都是次品；（2

21、）取到两只中正品、次品各1只；（3）取到两只中至少有1只正品。二、反思、总结解排列组合应用题的基本规律：1加法原理与乘法原理使用方法有两种：单独使用；联合使用。2将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。3对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。对于每种方法的应用情境，你是否了解？ 你还有什么体会吗？ 三、课后训练营1、5位好友在节日期间互发信息问候，则所发送信息总数为 。（用

22、数字作答）2、某班上午要排语文、数学、体育、英语四门课，如果体育课不排在第一节也不排在第四节，则不同的排法共有_种。 3、3个人坐在一排8个座位上，若每个人的两边都需要有空位，则不同的坐法种数为 。4、某校准备参加2008年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_种。5、从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。6、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有 种不同的选法。7、马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中

23、的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，则满足条件的关灯方法有_种。8、若a1,2,3,5, b1,2,3,5则方程y=表示的不同的直线条数为_。9、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A140种B.120种C.35种D.34种10、有共5人并排站在一起，如果必须相邻，并在B在A的右边，那么不同的排法有（ ） A60种 B48种 C36种 D24种11、从单词“ctbenjin”中选取5个不同字母排成一排，含有“en”（其中“en”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ） A120个B480个 C720个

24、D840个12、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？13、有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定。14、若二项式的展开式中的第6项是常数项，则n= 。15、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（ ）（A）0 （B）2（C）4（D）616、若则（）（A）（B）（C） （D） 17、袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取3个，这3个都是红球的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）18（05文）、某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 。(结果用分数表示)19、（07文）在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 。-