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1、专题06 一元一次方程及其应用 专题知识回顾 知识点1：一元一次方程的概念1.一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。2.方程的解： 判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等知识点2：一元一次方程的解法1.方程的同解原理（也叫等式的基本性质）性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除
2、数不能是零），所得结果仍是等式。要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。2.解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。（2）去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。（3）移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。（4）合并同类项 把方程化成axb(a0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。（5）系数化为1 在方程两
3、边都除以未知数的系数a，得到方程的解xb/a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:a0时，方程有唯一解xb/a ；a=0，b=0时，方程有无数个解；a=0，b0时，方程无解。知识点3：列一元一次方程解应用题1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。（2）设设出未知数：根据提问，巧设未知数（3）列列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。（4）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的
4、解，是否符合实际，检验后写出答案，注意带上单位。2.常见的一些等量关系（1）行程问题： 距离=速度时间 （2）工程问题： 工作量=工效工时 （3）比率问题： 部分=全体比率 （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价折 ，利润=售价-成本， ；（6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥=R2h.知识点4：方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多
5、项式统称整式。等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5，mnnm等都叫做等式，而像3a+2b，3 m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x311。理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数。两者缺一不可。（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）解方程：【答
6、案】x=【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解左右同乘12可得：32x（x1）=8（x1），化简可得：3x+3=8x8，移项可得：5x=11，解可得x=故原方程的解为x=【例题2】（2019杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A2x+3（72x）30B3x+2（72x）30C2x+3（30x）72D3x+2（30x）72【答案】D【解析】设男生有x人，则女生（30x）人，根据题意可得：3x+2（30x）72【例题3】（2019张家界）田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，
7、其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步【答案】12 【解析】设长为x步，宽为（60x）步，x（60x）864，解得，x136，x224（舍去），当x36时，60x24，长比宽多：362412（步）【例题4】（2019湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算术）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰
8、至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【答案】（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人【解析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步列方程求解即可。由题意得x：600100：60 x10001000600100300所以当走路慢
9、的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解由题意得y200+yy500所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人 专题典型训练题 一、选择题1.（2019贵州毕节）如果3ab2m1与9abm+1是同类项，那么m等于（）A2 B1 C1 D0【答案】A 【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可根据题意可得：2m1m+1，解得：m22.（2019湖南怀化）一元一次方程x20的解是（）Ax2 Bx2 Cx0Dx1【答案】A 【解析】直接利用一元一次方程的
10、解法得出答案x20，解得：x23.（2018江苏无锡）林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程( )A. B. C. D. 【答案】B.【解析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为公顷，林地面积为公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即. 故选B. 4（2018湖南长沙）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A21000（26x）=800x B1000（13x）=800
11、xC1000（26x）=2800x D1000（26x）=800x【答案】C【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程由题意得1000（26x）=2800x，故C答案正确。5（2019襄阳）九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A5x457x3B5x+457x+3CD【答案】B 【解析】设合伙人数为x人，依题意，得：5x+457x+3二、填空题6.
12、（经典题）方程（12x）=（3x+1）的解为_.【答案】x=【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解7（12x）=32（3x+1）7+14x=18x+64x=13x=7.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元【答案】2000【解析】一元一次方程的应用。设这种商品的进价是x元，由题意，得（1+40%）x0.82240解得x20008.（2019湖南湘西）若关于x的方程3xkx+20的解为2，则k的值为 【答案】4【解析】
13、考查一元一次方程的解关于x的方程3xkx+20的解为2，322k+20，解得：k49（2018福建）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是元【答案】180 【解析】设该件服装的成本价是x元根据“利润=标价折扣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论设该件服装的成本价是x元，依题意得：300x=60，解得：x=180该件服装的成本价是180元10.（2018武汉）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件 元【答案】150【解析】考点是一元一次方程的应用设该商品的标价为每件为x元，根据八折出售可获利20元，
14、可得出方程：80%x100=20，再解答即可解得：x=150答：该商品的标价为每件150元11.（2019贵州省毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元【答案】2000.【解析】一元一次方程的应用。设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可由题意得，（1+40%）x0.82240解得：x200012.（2019湖南株洲）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步
15、及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人【答案】250【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差时间路程，即可求出t值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论根据题意得：（10060）t100，解得：t2.5， 100t1002.5250所以走路快的人要走250步才能追上走路慢的人13.（2019贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元【答案】2000【解析】设这种
16、商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可由题意得，（1+40%）x0.82240解得：x200014.（2019湖南湘西州）若关于x的方程3xkx+20的解为2，则k的值为 【答案】4【解析】关于x的方程3xkx+20的解为2，322k+20，解得：k415.（2019湖南岳阳）我国古代的数学名著九章算术中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺 【答案】 【解析】设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第
17、四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x5，解得：x，即该女子第一天织布尺三、解答题16.（经典题）解方程（1）4x=3（2x）；（2）【答案】见解析。【解析】（1）去括号得：4x=63x，移项得：x+3x=64，合并得：2x=2，系数化为1得：x=1（2）去分母得：5（x1）2（x+1）=2，去括号得：5x52x2=2，移项得：5x2x=2+5+2，合并得：3x=9，系数化1得：x=317（经典题）解方程（1）4（x1）3（20x）=5（x2）；（2）x=2【答案】见解析。【解析】（1）去括号得：4x460+3x=5x10移项得：4x+3x5x=4+6
18、010合并得：2x=54系数化为1得：x=27；（2）去分母得：6x3（x1）=122（x+2）去括号得：6x3x+3=122x4移项得：6x3x+2x=1243合并得：5x=5系数化为1得：x=118.（2019湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多
19、为多少亩？【答案】见解析。【解析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩根据“复耕土地面积+改造土地面积1200亩”列出方程并解答；由题意，得x+（600+x）1200,解得x300则600+x900 所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答 由题意，得y（300y）解得 y75故休闲小广场总面积最多为75亩 所以休闲小广场总面积最多为75亩19.（2019甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个
20、问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【答案】共有39人，15辆车【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果根据题意得：+2，去分母得：2x+123x27，解得：x39，15，则共有39人，15辆车 20（2019张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化
21、效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？【答案】见解析。【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x40）棵，由题意可得，30x+20（2x40）9000，70x9800，x140，购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵。（2）设购买甲树苗y棵。乙树苗（10-y）棵，根据题意得：30y+20（10-y）23010y30 y3购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵。21.(2019安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x2）米根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间由题意，得2x+（x+x2）26，解得x7，所以乙工程队每天掘进5米，（天） 所以甲乙两个工程队还需联合工作10天