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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date离散数学考前综合复习资料离散数学模拟题答案离散数学综合复习资料一、判断题1 A、B、C是任意命题公式，如果ACBC，一定有AB。（ ）2设是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e和零元q，则eq。（ ）3 A、B、C为任意集合，已知AB=AC，必须有B=C。（ ）4 自然数集是可数的。（ ）5 命题联结词，是最小联结词组。（ ）6 有理数
2、集是可数的。（ ）7 交换群必是循环群。（ ）8 图G的邻接矩阵A，Al中的i行j列表示结点vi到vj长度为l路的数目。（ ）二、解答题1 求命题公式(PQ)的主析取范式。2 举出A=a,b,c上的二元关系R和S满足： （1）R既不是自反的又不是反自反的，既是对称的又是反对称的；（2）S既不是对称的又不是反对称的，是传递的。3 以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。（1） f: NQ, f(x) = 1/x（2） f: RRRR, f(x,y)=4 判断下列代数系统是否是群，并说明理由：(1) ：实数集关于减法； (2) ：整数集关于加法；5.构造一非空偏序
3、集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。d beca6.画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。7.将下列命题符号化（1）如果张三和李四都不去，她就去。（PQ）R）（2）今天要么是晴天，要么是雨天。（PQ）v4V5v1v2v30 1 0 0 01 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0A(G)=8.设G=，V=V1,V2,V3,V4的邻接矩阵：（1）试画出该图。（2）V2的入度d-(V2)和出度d+(V2)是多少？（3）利用邻接矩阵的性质求从V1到V2长度为3的路有几条？9.将下列命题符号化（1）除非你走否则我留下。（2）
4、我们不能边看电视边看报。10.设集合A有m个元素，B有n个元素，则A到B的关系有多少个？A到B的函数有多少个？11.设有一组权3、4、13、5、6、12，（1）求相应的最优树（要求构造的过程中，每个分支点的左儿子的权小于右儿子的权）。（2）设上述权值分别对应英文字母b、d、e、g、o、y，试根据求得的最优树构造前缀码，并对二进制序列0100110110010001011译码。三、证明题1 设R,S是A上的等价关系，证明RS也是A上的等价关系。2 设f和g都是群到的同态，令H=x|xA，f(x)=g(x)，试证：是的子群。3 当且仅当连通图的每条边均为割边时，该连通图才是一棵树。4 f是群到群的
5、同态映射，e是G中的幺元则，f的同态核K=x|xG且f(x)=e构成的代数系统是的子群。5 证明当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。6 设f是从A到B的一个函数，定义A上的关系R：aRb当且仅当f(a)=f(b)，证明：R是A上的等价关系。7 代数系统是一个群，设B=x|x=5n,nI，证明：是的子群。8 连通图至少有一棵生成树离散数学综合复习资料答案一、判断题题号12345678答案二、解答题1、求命题公式(PQ)的主析取范式。解：(PQ)(PQ)PQ2、 解：（1）R = ,（2） S=,3、以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。（
6、1） f: NQ, f(x) = 1/x（2） f: RRRR, f(x,y)=解：（1）不是函数，在x=0时无定义。（2） 函数，双射，f-1(x,y)=4、判断下列代数系统是否是群，并说明理由：(1) ：实数集关于减法； (2) ：整数集关于加法；解：（1）+在R上是封闭的，不可结合所以不是群；（2）+在I上是封闭的，可结合的，幺元是0，I中任意元素x的逆元为-x，所以是群；5、构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。解：右图所示哈斯图表示一个偏序集，其中：子集B=b，c有上界d，e但没有最小上界，同时子集B=b，c有最大下界a，但没有
7、最小元。 6、画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。解：7、将下列命题符号化（1）如果张三和李四都不去，她就去。（PQ）R）（2）今天要么是晴天，要么是雨天。（PQ）v4V5v1v2v30 1 0 0 01 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0A(G)=8、解：（1）如右上图（2）d-(V2)=2，d+(V2)=2（3）因为a(3)12=2，所以V1到V2长度为3的路有2条。9将下列命题符号化（1）除非你走否则我留下。（PQ）（2）我们不能边看电视边看报。（PQ)）10设集合A有m个元素，B有n个元素，则A到B的关系有多少个？A到B的函数有多少个？解：1）A
8、到B的关系有2mn个。2）A到B的函数有nm个。 11设有一组权3、4、13、5、6、12，（1）求相应的最优树（要求构造的过程中，每个分支点的左儿子的权小于右儿子的权）。（2）设上述权值分别对应英文字母b、d、e、g、o、y，试根据求得的最优树构造前缀码，并对二进制序列0100110110010001011译码。解：（1）见下页（2）将上面的最优树的每个分枝点引出的两条边，左侧边标0，右侧边标1，得到一个b、d、e、g、o、y对应的前缀码000，001，11，010，011，10。对二进制序列译码为goodbye。34567111912132544 0 1 0 1 0 10 1 0 1 y
9、eb d g o三、证明题1.设R,S是A上的等价关系，证明RS也是A上的等价关系。证明：a)自反性：对任意aA，因为A,S，所以RS，即RS具有自反性。b)对称性：对任意a,bA，如果有RS，则R且S。因为R,S是等价关系，所以具有对称性，所以R且S。所以RS，即RS具有对称性。c)传递性：对任意a,b,cA，若有,RS则,R且,S则因为R,S是等价关系，所以具有传递性，所以R且S所以RS，即RS具有传递性。所以RS是A上的等价关系。2.设f和g都是群到的同态，令H=x|xA，f(x)=g(x)，试证：是的子群。证明 由定义知HA （1）设e是的幺元，e是的幺元， 因为f,g都是到的同态，则
10、f(e)=g(e)=e，所以eH，所以H； （2）a,bH，有f(a)=g(a)，f(b)=g(b)， 因为f,g都是同态映射，所以f(b)-1=f(b-1)且g(b)-1=g(b-1) 所以f(a* b-1)=f(a)f(b-1)=f(a)f(b)-1= g(a)g(b)-1=g(a)g(b-1)=g(a* b-1) 所以a* b-1H，所以是的子群。3 当且仅当连通图的每条边均为割边时，该连通图才是一棵树。证明：必要性：如果图G是树，则删去任一边后就不连通，故任一边均为G的割边。充分性：任取两个结点u,v，图G连通，则u,v之间有路存在。若u,v间有两条路，则可组成一个回路，则删除回路上任
11、一条边后不改变图的连通性，这样该回路上的边都不是割边，与前提矛盾，因此任意两个结点间恰有一条路，图G是树。4 f是群到群的同态映射，e是G中的幺元则，f的同态核K=x|xG且f(x)=e构成的代数系统是的子群。证明：由定义可知KG，设G中的幺元为e，则有f(e)=e，所以eA，即A为非空集合。对于任意的a,bK，有f(a)=e，f(b)=e则f(ab-1)=f(a)*f(b-1)=f(a)*f(b)-1=e*e=e则ab-1K，因此是的子群。5 证明当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。证明：必要性：设e是图G的割边，e关联的两个结点是a,b。如果e包含在G的一个回路中，那
12、么除了边e=(a,b)外，a到b还有一条路存在，所以删去e后，a,b之间仍然连通，与e是割边矛盾。充分性：如果边e不包含在G的回路中，则连接a,b只有边e。所以删除边e后，a,b不再连通，所以e是G的割边。6 设f是从A到B的一个函数，定义A上的关系R：aRb当且仅当f(a)=f(b)，证明：R是A上的等价关系。证明：a)自反性：对任意aA，f(a)=f(a)，所以aRa，即R是自反的。b)对称性：对任意a，bA，若aRb，即f(a)=f(b)，即f(b)=f(a)，故bRa，即R是对称的。c)传递性：对任意a，b，cA，若aRb，bRc，即f(a)=f(b)，f(b)=f(c)即f(a)=f
13、(b) =f(c)，故aRc，即R是传递的。所以R是A上的等价关系。7 代数系统是一个群，设B=x|x=5n,nI，证明：是的子群。证明：由题意知BI并且B非空，设x,yB则有x,yI，且x=5n1, y=5n2(n1,n2I)， 在，y-1= -y，所以x+y-1=x+(-y)= 5n1-5n2=5(n1-n2) B所以是的子群。8 连通图至少有一棵生成树证明：设连通图G没有回路，则G本身就是一棵生成树。若G至少有一个回路，删去G的回路上的一条边，得到图G1，它仍是连通的并与G有同样的结点集。若G1没有回路，则G1就是生成树。若G1仍有回路，再删去回路上的一条边，重复上述步骤，直到得到一个连通图H，它没有回路，但与G有相同的结点集，因此H是G的生成树。-