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1、考点测试44直线、平面垂直的判定及其性质高考概览考纲研读1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题一、基础小题1下列条件中，能判定直线l平面的是()Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内任意一条直线垂直答案D解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确2设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当l时，lm且ln但当lm，ln时，
2、若m，n不是相交直线，则得不到l即l是lm且ln的充分不必要条件故选A3给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错误；由直线与平面垂直的定义知正确，而错误4若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、异面直线都有可能答案D解
3、析当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交5下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项易知均是正确的6如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析由ACAB，ACBC1，
4、AC平面ABC1又AC平面ABC，平面ABC1平面ABCC1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上7如图所示，在立体图形DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，而BEDEE，所以AC平面BDE因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE又由于AC在平面ADC内，所以平面ADC平面BDE故选C8如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平
5、面ABCDEF，PA2AB，则下列结论正确的是()APAADB平面ABCDEF平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABCDEF所成的角为30答案A解析因为PA平面ABCDEF，所以PAAD，故选项A正确；选项B中两个平面不垂直，故选项B错；选项C中，AD与平面PAE相交，BCAD，故选项C错；选项D中，PD与平面ABCDEF所成的角为45，故选项D错故选A二、高考小题9(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D
6、错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误故选C10(2015福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由“m且lm”推出“l或l”，但由“m且l”可推出“lm”，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件故选B三、模拟小题11(2018大连双基
7、测试)已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是()A若a，a，b，则abB若，a，b，则abC若，a，则aD若，a，则a答案D解析构造一个长方体ABCDA1B1C1D1对于D，平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1平面ABCDA1B1平面A1B1C1D112(2018河南安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A若a，b，则abB若a，b，ab，则C若a，ab，则bD若a，ab，则b或b答案C解析对于A，若a，则a，又b，故ab，A正确；对于B，若a，ab，则b或b，存在直线m，使得mb，又b，m，故B正确；对于C，若
8、a，ab，则b或b，又，b或b，故C错误；对于D，若a，ab，则b或b，故D正确，故选C13(2018安徽亳州模拟)如图甲所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体AEFH中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案A解析AHHE，AHHF，且EHHFH，AH平面EFH，A正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，B不正确；AGEF，EFAH，AGAHA，EF平面HAG，EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作平面
9、AEF的垂线，一定在平面HAG内，C不正确；HG不垂直于AG，HG平面AEF不正确，D不正确，故选A14(2018福建泉州二模)在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()答案D解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意故选D15(2018南昌模拟)如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平
10、面ABC内的投影一定是ABC的()A重心 B内心 C外心 D垂心答案D解析如图，O是点P在平面ABC内的投影，连接OA，OB，OC，PA，PB，PC两两垂直，PA平面PBC，又BC平面PBC，PABC，而PO平面ABC，BC平面ABC，POBC，又PAPOP，BC平面PAO又AO平面PAO，BCAO同理可知ACBO，ABCOO为ABC的垂心故选D16(2018南昌摸底)如图，四棱锥PABCD中，PAB与PBC是正三角形，平面PAB平面PBC，ACBD，则下列结论不一定成立的是()APBACBPD平面ABCDCACDPD平面PBD平面ABCD答案B解析取BP中点O，连接OA，OC，易得BPOA，
11、BPOCBP面OACBPAC选项A正确；又ACBDAC面BDPACPD，平面PBD平面ABCD，所以选项C，D也正确故选B17(2018山西临汾模拟)如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是()A平面BCE平面ABNBMCANC平面CMN平面AMND平面BDE平面AMN答案C解析分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得APCQ1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体BC平面ABN，又BC平面BCE，平面BCE平面ABN，故A正确；连接PB，则PBMC，显然，PBAN，MCAN，
12、故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，ACAMN和CMN都是边长为的等边三角形，AFMN，CFMN，AFC为二面角AMNC的平面角，AFCF，AC，AF2CF2AC2，即AFC，平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；DEAN，MNBD，DEBDD，DE，BD平面BDE，MNANN，MN，AN平面AMN，平面BDE平面AMN，故D正确，故选C18(2018西安六校联考)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则棱AB与PD所在的直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线以上结论正确
13、的是_(写出所有正确结论的序号)答案解析由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；PA平面ABCD，平面PAB，平面PAD都与平面ABCD垂直故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，故错误；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA，可知正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，故错误一、高考大题1(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以O
14、PAC，且OP2连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2由OP2OB2PB2知OPOB由OPOB，OPAC，ACOBO，知PO平面ABC(2)作CHOM，垂足为H又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45所以OM，CH所以点C到平面POM的距离为2(2018天津高考)如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD2，BAD90(1)求证：ADBC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦
15、值解(1)证明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND又M为棱AB的中点，故MNBC所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DM因为AD平面ABC，故ADAC在RtDAN中，AN1，故DN在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为(3)连接CM因为ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CMAB，CM又因为平面ABC平面ABD，而CM平面ABC，故CM平面ABD所以，CDM为直线CD与平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4在
16、RtCMD中，sinCDM所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3(2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD由于ABCD，故ABPD，又APPDP，从而AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，ABADA，可得PE平面ABCD设ABx，则由已知可得ADx，PEx故四棱锥PABC
17、D的体积VPABCDABADPEx3由题设得x3，故x2从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062二、模拟大题4(2018湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，AD2BC，DABABP90(1)求证：AD平面PAB；(2)求证：ABPC；(3)若点E在棱PD上，且CE平面PAB，求的值解(1)证明：因为DAB90，所以ADAB因为平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以AD平面PAB(2)证明：由(1)知ADAB，因为ADBC，所以BCAB又AB
18、P90，所以PBAB因为PBBCB，所以AB平面PBC，因为PC平面PBC，所以ABPC(3)过E作EFAD交PA于F，连接BF因为ADBC，所以EFBC所以E，F，B，C四点共面又CE平面PAB，且CE平面BCEF，平面BCEF平面PABBF，所以CEBF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以EFBCAD在PAD中，因为EFAD，所以，即5(2018广东江门一模)如图，直角梯形ABEF中，ABEBAF90，C，D分别是BE，AF上的点，且DAABBCa，DF2CE2a沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ，得到多面体ABCDPQ，且APa(1)求多面体ABCD
19、PQ的体积；(2)求证：平面PBQ平面PBD解(1)DAABBCa，ABCBAD90，四边形ABCD是正方形，CDAD，CDDP，又ADDPD，CD平面ADPABCD，AB平面ADP，AD2DP2AP2，ADDP，又CDAD，CDDPD，AD平面CDPQ，又ADBC，BC平面CDPQ，VBCDPQS梯形CDPQBCaa3，VBADPSADPABa2aa，多面体ABCDPQ的体积为VBCDPQVBADP(2)证明：取BP的中点G，连接GQ，DG，DQ，在ABP中，BP2a，BGBPa，在BCQ中，BQaPQa，PQBQ，GQBPQGa，又BDAB2aDP，DGBP，DGa，又DQa，DQ2QG2
20、DG2，QGDG又BPDGG，QG平面PBD，又QG平面PBQ，平面PBQ平面PBD6(2018辽宁锦州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCD，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD，PB(1)求证：PA平面MQB；(2)求证：平面PAD底面ABCD；(3)求三棱锥BPQM的体积解(1)证明：如图，连接AC，交BQ于N，连接MN，QC，BCAD，ADBC，Q是AD的中点，AQBC，且AQBC，四边形ABCQ是平行四边形，N是BQ的中点，M是棱PC的中点，MNPA，PA平面MQB，MN平面MQB，PA平面MQB(2)证明：ADBC，BCAD1，Q是AD的中点，BCQD，BCQD，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ，ADCD，BQAD又PAPD2，AD2，Q是AD的中点，故PQ又QBCD，PB，PB2PQ2QB2，由勾股定理的逆定理可知PQQB，又PQADQ，BQ平面PAD，又BQ平面ABCD平面PAD平面ABCD(3)由(2)可知，PQ，BQ，PAPD2，Q是AD的中点，PQAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD，又M是棱PC的中点，故VBPQMVPBQCVMBQCVPBQCVPBQCVPBQC1