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1、专题08 二次函数的图象性质与应用问题【典例分析】【考点1】二次函数的图象与性质【例1】（2019四川中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）AB当时，顶点的坐标为C当时，D当时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.【详解】解：二次函数对称轴为直线，故A选项正确；当时，顶点的坐标为，故B选项正确；当时，由图象知此时即，故C选项不正确；对称轴为直线且图象开口向上当时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选C【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.【变式1-1】（2019重庆中考真题）抛物
2、线的对称轴是（ ）A直线B直线C直线D直线【答案】C【解析】【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴【详解】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为xh【变式1-2】（2019浙江中考真题）已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围；(2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.【答案】(1) 的取值范围是； (2). 理由见解析.【解析】【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知0；（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解
3、】(1). 由题意，得，的取值范围是. (2). 理由如下:抛物线的对称轴为直线， 又，当时，随的增大而增大. ，.【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键【考点2】抛物线的平移与解析式的确定【例2-1】（2019山东中考真题）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为，把点向上平移2个单位长度，再向右平
4、移1个单位长度得到点的坐标为，所以平移后得到的抛物线解析式为故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式【例2-2】（2019山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的
5、距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )ABCD【答案】B【解析】【分析】设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.【详解】拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，-78=452a，解得：a=，此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本
6、题的关键.【变式2-1】（2019西藏中考真题）把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（）A向左平移个单位，再向下平移个单位B向左平移个单位，再向上平移个单位C向右平移个单位，再向上平移个单位D向右平移个单位，再向下平移个单位【答案】C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是，所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点，即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象故选：C【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式【变式2-2】（2019江
7、苏中考真题）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为_【答案】【解析】【分析】设原来的抛物线解析式为：利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可【详解】设原来的抛物线解析式为：，把代入，得，解得，故原来的抛物线解析式是：，设平移后的抛物线解析式为：，把代入，得，解得(舍去)或，所以平移后抛物线的解析式是：，故答案是：【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键【变式2-3】（2019浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛
8、物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移8个单位D向右平移8个单位【答案】B【解析】【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减【变式2-4】（2019四川中考真题）将抛物线向左平移_个单位后经过点【答案】
9、3【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案【详解】解：将抛物线向左平移后经过点，设平移后解析式为：，则，解得：或（不合题意舍去），故将抛物线向左平移3个单位后经过点故答案为：3【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系【例3】（2019辽宁中考真题）已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：；其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断；抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断；根
10、据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于2，整理后可判断；根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合的结论即可判断.【详解】解：由图象可知：，由于对称轴，故正确；抛物线过，时，故正确；顶点坐标为：.由图象可知：，即，故错误；由图象可知：，故正确；故选：C【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.【变式3-1】（2019浙江中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰
11、直角三角形；点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则y1y2；当-1x2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m2其中错误结论的序号是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】把顶点坐标代入y=-x+1即可判断；根据勾股定理即可判断；根据在对称轴的右边y随x的增大而减小可判断；根据在对称轴的右边y随x的增大而增大可判断.【详解】把（m，-m+1）代入y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故正确；当-(x-m)2-m+1=0时，x1=m-1-m, x2=m+1-m,若顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1-m+(1-m)2+1-m+(1-m)2=4(1-m)，
12、即m2-m=0，m=0或1时，存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；故正确；当x1x2，且x1、x2在对称轴右侧时，-1y2，故错误；-10时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a0，根据a,b,c的正负即可判断出的正误；把代入函数关系式，再根据对称性判断出的正误；把 中即可判断出的正误；利用图象可以直接看出的正误【详解】解：根据图象可得： ，对称轴： ， 故正确；把 代入函数关系式 由抛物线的对称轴是直线，可得当 故错误； 即： 故正确；由图形可以直接看出正确故答案为【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的
13、关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于【考点4】二次函数的应用【例4】（2019辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利
14、润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y；（2）W;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【解析】【分析】（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60x90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40x60时，当60x90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40x60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+21060-5400=3600，当60x90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3652+39065-9000=3675，于是得到结论
15、【详解】解：（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为ykx+b，将（40，140），（60，120）代入得，解得：，y与x之间的函数关系式为yx+180；当60x90时，设y与x之间的函数关系式为ymx+n，将（90，30），（60，120）代入得，解得：，y3x+300；综上所述，y；（2）当40x60时，W（x30）y（x30）（x+180）x2+210x5400，当60x90时，W（x30）（3x+300）3x2+390x9000，综上所述，W；（3）当40x60时，Wx2+210x5400，10，对称轴x105，当40x60时，W随x的增大而增大，当x60时，W最大602+21
16、06054003600，当60x90时，W3x2+390x9000，30，对称轴x65，60x90，当x65时，W最大3652+3906590003675，36753600，当x65时，W最大3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键【变式4-1】（2019山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是；小球抛出3秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时速
17、度为0；小球的高度时，其中正确的是( )ABCD【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象中的信息判断即可【详解】由图象知小球在空中达到的最大高度是；故错误；小球抛出3秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故正确；设函数解析式为：，把代入得，解得，函数解析式为，把代入解析式得，解得：或，小球的高度时，或，故错误；故选D【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意【变式4-3】（2019江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C120若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）A18m2Bm2Cm2
18、Dm2【答案】C【解析】【分析】过点C作CEAB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，DCE=CEB=90，则BCE=BCD-DCE=30，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出得出，又梯形面积公式求出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解.【详解】解：如图，过点C作CEAB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，DCE=CEB=90，则BCE=BCD-DCE=30，BC=12-x，在RtCBE中，CEB=90，梯形ABCD面积 当x=4时，S最大=24即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2；故选C【点睛】此题考查了梯性质、矩形
19、的性质、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键【变式4-3】（2019湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒
20、时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元【解析】【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题（2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即可【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，则有，解得故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意总利润化简得当时，取得最大值为1307，故当种湘莲礼盒降价9元
21、/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案【达标训练】1（2019广西中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；B、由抛物线
22、与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用2（2019内蒙古中考真题）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关
23、图象进行判断【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；故选【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系3（2019浙江中考真题）二次函数图象的顶点坐标是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】，二次函数图像顶点坐标为：.故答案为：A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为
24、（h，k）4（2019黑龙江中考真题）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.A；B；C；D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，故选：B【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.5（2019福建中考真题）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).Ay1 y2
25、 y3By1 y3 y2Cy3 y2 y1Dy2 y3 y1【答案】D【解析】【分析】由点A（m，n）、C（3m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2 y3 y1；【详解】解答：解：经过A（m，n）、C（3m，n），二次函数的对称轴x，B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，|a|0，y2 y30. A选项错误；函数图象与x轴有两个交点，所以0，B选项错误；观察图象可知x1时y=abc0，所以abc0，C选项错误；根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，x3
26、即为函数对称轴，D选项正确；故选D【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.12（2019浙江中考真题）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（ ）A或B或C或D或【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图像与x轴有M个交点解得，再对a，b分情况讨论，求得答案.【详解】对于函数，当时，函数与x轴两交点为（a，0）、（b，0），所以有2个交点，故对于函数，交点为，此时，交点为，此时，交点为，此时综上所述，或 故选C.【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论a，b.13（2019四川中考真题）已知二
27、次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案.【详解】，抛物线与轴没有公共点，解得，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，而当时，随的增大而减小，实数的取值范围是，故选D【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.14（2019四川中考真题）已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点
28、，则下列结论不正确的是（ ）A存在实数k，使得为等腰三角形B存在实数k，使得的内角中有两角分别为30和60C任意实数k，使得都为直角三角形D存在实数k，使得为等边三角形【答案】D【解析】【分析】通过二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定可解答【详解】解：A、如图1，可以得C为等腰三角形，正确；B、如图3，可以得的内角中有两角分别为30和60，正确；C、如图2和3，可以得为直角三角形，正确；D、不存在实数k，使得为等边三角形，不正确；本题选择结论不正确的，故选：D【点睛】本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定，正确画图是关键15（2019江苏中考真题）如
29、图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )A25min50min，王阿姨步行的路程为800mB线段CD的函数解析式为C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快D曲线段AB的函数解析式为【答案】C【解析】【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.【详解】观察图象可知5min20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、
30、(50，2000)分别代入得，解得：，所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，解得：a=-3，所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，故选C.本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的【点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.16（2019湖南中考真题）如图，在直角三角形中，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点
31、，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为则关于的函数图象大致为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，设正方形的边长为，当移动的距离时，如图1，；当移动的距离时，如图2，根据函数关系式即可得到结论；【详解】解：在直角三角形中，是等腰直角三角形，四边形是矩形，是的中点，四边形是正方形，设正方形的边长为，如图1当移动的距离时， ；当移动的距离时，如图2， ，关于的函数图象大致为C选项，故选：C【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论
32、的思想，属于中考常考题型17（2019湖北中考真题）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_【答案】4【解析】【分析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.【详解】解：依题意，令得：得：解得：（舍去）或即小球从飞出到落地所用的时间为故答案为4【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题此题较为简单.18（2019黑龙江中考真题）二次函数的最大值是_【答案】8【解析】【分析】二次函数的顶点式在x=h时有最值，a0时有最
33、小值，a0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.【详解】解：，有最大值，当时，有最大值8故答案为8【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.19（2019甘肃中考真题）二次函数的图象如图所示，若，则、的大小关系为_(填“”、“”或“”)【答案】【解析】【分析】由图像可知，当时，当时，然后用作差法比较即可.【详解】当时，当时，即，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.20（2019四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落
34、在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为_（填一般式）【答案】【解析】【分析】先由题意得到，再设设，由勾股定理得到，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.【详解】解：点，反比例函数经过点B，则点，则，设，则，由勾股定理得：，解得：，故点，将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为：【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.21（2019湖北中考真题）二次函数的最大值是_【答案】7【解析】【
35、分析】将二次函数化为顶点式，即可求解.【详解】解：，即二次函数的最大值是7，故答案为：7【点睛】本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.22（2019浙江中考真题）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式_.【答案】或或等.【解析】【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可【详解】符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一)故答案为如或或等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义.23（2019山东中考真题）
36、如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_【答案】【解析】【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决【详解】联立得，解得，或，点的坐标为，点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，得，直线的函数解析式为，当时，即点的坐标为，将代入直线中，得，直线与轴的夹角是，点到直线的距离是：，的面积是：，故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答24（2019吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_【答案】2【解析】【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值【详解】解：