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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date答案-数列通项公式和求和的基本方法与技巧数列求和的基本方法与技巧数列通项公式的求法一 求数列通项公式常用方法数列满足的递推公式方法由求（如）累加法（如）累乘法（如）构造数列为公比q的等比数列（如）取倒数，构造数列为等差数列（如）在原递推等式两边同除，构造数列，再进一步解决。注意：选择用哪一种方法求通项公式，关键是看已知条件数列满足的递推公式。有时要用上两种以上方法才可
2、以求解。二.观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3） （4）三.公式法例2. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 三.由求： 例3.已知数列的前n项和，求（1） ; （2）例4.若数列的前n项和，求该数列的通项公式。已知数列中，其前项和满足求数列的通项公式；例8、已知等差数列的公差d=1，且，成等比数列。（1）求的通项公式； （2）求例5.已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项例6 定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如,可将123n记作，记，其中为数列
3、中的第项若，则 设数列满足，求数列的通项；例7.数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（） 四.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例7.已知数列an满足,写出数列的通项公式. 练习：1、已知数列的首项为1，且，写出数列的通项公式.2、已知数列满足写出该数列的一个通项公式例8数列中，若,且满足,证明（）数列是等比数列；（）数列an的通项公式。19. 已知数列满足，为常数，且，成等差数列.（1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）设数列满足，求证：.19. (1)，成等差数列，（1） ，那么（2）
4、（3） 将（2），（3）代入（1），得将代入，得，即 以上列等式的左边叠加得以上列等式的右边叠加得即，又，检验知也成立，故通项公式为（2） 在上单调递减，且当时，即，当时，即，可知数列中为最大项，而，五.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8.在数列中 ，求数列的通项公式。练习：1、已知,求数列通项公式。2、求数列的通项公式。六.形如型（取倒数法）例9.已知数列中，求通项公式 2、若数列中，求通项公式. 七形如,其中)型（构造新的等比数列）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来
5、求.方法如下：设,利用待定系数法求出。例10已知数列中，求通项.2、若数列中，,求通项公式。八.形如型（构造新的等比数列）方法1：可构造等比数列，可以用待定系数法确定常数。方法2：两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型七来解，例。已知数列满足，（1）证明数列是等差数列；（2）求的通项公式；练习：已知数列满足，求；九.形如(其中p,q为常数)型，可构造等比数列例13.数列中，若,且满足,求.数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和（定义法） 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1 等比数列中，（1）若（
6、2）求及前项的和。（用两种方法求公比）例 求和：练习 1.有穷数列，为其前项和，定义为数列的“凯森和”，如果有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，的“凯森和” .二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）=_（5）;（6）例2、求和：（1）。例3等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且是公比为64的等比数列。（1）求与；（2）证明：练习.A组题 1.求数列的前项和。2.已知等差数列an满足：a37，a5a726
7、，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.B组题3数列的各项均为正数，为为其前项和，对于任意,总有成等差数列。（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列的前项和为，且.求证：对任意的正整数，总有。4.若的前n项和为，点均在函数y的图像上（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有 都成立的最小正整数mC组题5已知数列中，其前项和满足，令 （1）求数列的通项公式；（2）若，求证：（）三、 绝对值求和例4设数列的通项公式为（1）求; (2)求四、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几
8、个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。【例如：数列，其中数列的等比数列，数列是等差数列（如：）】例5 .已知等比数列的前项和为， ，且，成等差数列.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列前项和（3）设，求数列前项和练习1. 求之和 2.；五错位相减求和法数列，其中数列的等比数列，数列是等差数列，（如：）正确实施错位相减法的步骤与注意事项 先写通项公式型如是等差数列，是等比数列,公比为q） 再列方程组，共写四项，错位排列！ 实施相减，合并同类项，注意最后一项为负数! 部分等比数列求和，注意项数!整理求出Sn。例6设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项
9、公式； (2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.例7设数列是等比数列，对任意，已知，。（1）求数列的通项公式；（2）求使得成立的最大正整数n的值。解（2）。-: ，所以。【这是错位相减法】练习A组题 1已知等差数列的公差为，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.解：（1）为等差数列，成等比数列，故有，解得，.（2） 得. ，.B组题 已知首项为，公比不等于的等比数列的前项和为，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求证：.（1）解：由题意得， 1分即， 即. 2分 . 3分 公比. 4分 . 5分另解：由题意得， 1分 .
10、2分化简得，解得， 4分. 5分 （2）解：， 6分 ， 7分 ， 8分 得，10分 . 12分 . C组题.设数列的前项和为，已知，（为常数，），且成等差数列（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列是首项为，公比为的等比数列，记，证明：解： （1），-2分成等差数列，即，-5分解得，或（舍去）-6分（2），-8分，-9分又，数列的通项公式是-10分（3）证明：数列是首项为，公比为的等比数列，-11分， ， 式两边乘以得 由得 将代入上式，得-14分另证: 先用错位相减法求,再验证.数列是首项为，公比为的等比数列， -11分又，所以 将乘以2得: 得: ,整理得: -12分将乘以得: 整理得: -13分 -14分倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而解得等差数列的前n项和公式，利用这种方法也可以求出某些数列的前n项和.例8.已知，求，其中例9.设函数对任意都有(1)求及的值；(2)若数列满足，求数列的通项公式；(3)若证明：-