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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date曲线拟合的理解和研究曲线拟合的理解和研究 曲线拟合的理解和应用 曹明轩 精仪学院 1014202029曲线拟合在我们的实验测试中，都会得到海量的数据。为了更好地了解这些数据或者从数据中，做出预测、判断，给实验者提供重要的参考。我们必须对得到的数据做拟合，得到能充分反映数据的内在规律的函数。在所有的拟合方法之中，曲线拟合具有重要的应用前景 。曲线拟合，俗称拉曲线，是一种
2、把既有数据通过数学方法代入一个数学表达式的方法。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。曲线拟合主要是可以分为三步：确定曲线拟合的函数模型在科学实验和社会实践中,我们常常需要观测很多数据的规律, 通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（xi，yi）(i=1,2, ，N),其中xi是彼此不同的。我们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式，y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据f(x,c)。常称作拟合模型，
3、当c在和x满足中线性关系时，称为线性模型，否则称为非线性模型。线性模型是回归模型中最常见的一种，但在实际中，有时很难确定参数之间存在着何种关系，是线性还是非线性， 如果是非线性，那是多项式函数、 幂函数、指数函数、对数函数等，甚至是它们的复合函数，有时还需要分段分析，因此在整个拟合过程中，拟合曲线函数模型的确定是最困难的。对于拟合函数的模型确定，一般来说，主要有观察法，近似法以及计算法。目前使用比较多的是观察法。观察法是利用数学工具对已有的数据点的分布，初步确定其最可能的函数关系，这种方法最大的特点是简单直观。确定法方程求解参数实际上确定法方程求解参数就是对对误差平方和最小值的求解，假设已知数
4、据点（xi，yi）（i=0,1，.，m），为所有的次数不超过m的多项式构成的函数类，现求，使得 由于上式为多元函数，其最小值存在的必要条件是其对应偏导等于零，由此可得， j=0,1，.，n 即 j=0,1，.，n上式称为法方程，通过该方程可求出唯一解ak（k=0,1，.，n），从而确定拟合函数。关于，当k=1时，为线性拟合；当k1，为多项式拟合。如果函数模型为其他非线性函数，在整个求解过程中应当先将非线性函数转化为线性函数，再根据上面的过程计算。此外，上述过程也可以通过Matlab自带的函数polyfit自动计算。这为广大工程技术人员的设计大大的减小了计算量。曲线拟合性能检验最后，当拟合曲线模
5、型很难通过一般方法确定时，往往需要通过分析若干可能的函数模型后，经过实际计算后再进行比对，最终选定较好的模型。替班来说，最小误差平方和越小说明曲线拟合越好，有些文献也通过相关系数R的值来判断拟合的优劣。使用举例在摩擦试验中，当量电压为-285V时，伺服电机开启后，时间与速度的实际测试结果如表中所示，表中的数据量足够大，可以利用这些数据来进行拟合。得到拟合曲线后的好处是我们可以将物理问题数学化，如果模型选的好，该数学模型就可以指导我们的工作，为我们的设计提出指导依据。现在我们就利用MATLAB对现有的数据进行曲线拟合，首先将数据输入到matlab中，并去掉其中的坏点（明显不符合规律的点，这些点是
6、由于一起的误差产生的），的数据点的图像：根据力学物理知识，当加速度一定时，时间和速度是成一定比例的，问题是不知道加速度如何变化，所以时间和速度并不一定是线性关系，另外从上图中看不出明显的数学关系，所以对本体进行了线性，多项式二次，三次，五次，幂函数，对函数曲线拟合，并比较最优拟合。下面是各种拟合的结果：1.线性拟合得到线性拟合函数：y=1.352x+0.0753误差平方和 e=0.03932.多项式二次拟合得到线性拟合函数：-0.2054x2+2.386x-0.0103差平方和 e=0.0033.多项式三次拟合得到线性拟合函数：0.8401x3+2.386x2-2.5048x+0.0155差平
7、方和 e=0.00294. 对数函数拟合， 得到的模型函数为y=0.2028logx+0.7539 误差平方和e=0.08855. 幂函数拟合 得到的模型函数为1.3647x0.8339 误差平方和e=0.0273最后经过比对发现，二次拟合和三次拟合误差平方和最小，因此这种拟合为这几种当中最佳的方案。但是多项式拟合的拟合次数越高，计算量则越大，所以二次拟合更为合适。总结 物理模型的建立离不开数学工具，物理过程的数学化是对整个研究过程的深化，数学模型的建立将是整个物理过程清晰化，完整化。曲线拟合则是一种对现有数据进行进一步分析的方法，可以帮助我们更好地了解物理过程。利用最小二乘法对已知数据进行线性及非线性拟合，借助MATLAB这个强大的计算机工具快捷实现目标，整个过程详细、准确， 为进一步研究曲线拟合打下基础。-