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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date机械工程测试技术习题及解答答案测试技术第三章习题及题解第二章 习题解答2-1什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2信号分类的方法有哪些？2-3求正弦信号的均方值。解：也可先求概率密度函数：则：。2-4求正弦信号的概率密度函数p(x)。解： txT1-T1T-T代入概率密度函数公式得：2-5求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可
2、表示为该信号基本周期为T，基频w0=2p/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2tT/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn当n=0时，常值分量c0：当n0时，最后可得注意上式中的括号中的项即sin (nw0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为其幅值谱为：，相位谱为：。频谱图如下：2-6设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。即：若有则 证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为令，代入上式可得因此有同理可证证毕！2-7求周期性方波的（题图2
3、-5）的幅值谱密度解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频以及所有谐频处，其脉冲强度为被的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。2-8求符号函数的频谱。解：符号函数为 可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况解 2-9求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即所以：2-10求指数衰减振荡信号的频谱。解： 2-11设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频
4、移特性即：若则证明：因为又因为证毕！2-12设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性即：若 则式中x*(t)为x(t)的共轭。证明： 由于 上式两端用 -f 替代 f 得上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即2-13设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：若 则 证明：由于 以 -t 替换 t 得上式 t 与 f 互换即可得即 证毕。特殊情况,当为偶函数时，2-14用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：且已知解：当a=2
5、p，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2p，根据傅里叶变逆换有等式两端同时乘以2p，并用-t替代变量t得交换变量t和f得上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以2-15所示信号的频谱式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为和根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得： 图2-312-16求信号x(t)的傅里叶变换解：由例2-16已知 注意到x(t)为实偶函数， t 0 时，t0 时，所以，根据线性叠加特性又根据时间比例特性有，所以最后得在实际应用中，一般为的实数则2-17已知信号x(t)试求信号
6、x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换 解：由例可知x(t)的傅里叶变换为根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。11题图2-17 时间尺度展缩特性示意图2-18求同周期的方波和正弦波的互相关函数解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移秒后计算：2-19求信号的自相关函数。解：由定义其中积分的被积函数的非零区间为的交集，即。因此，当时，上式为当时，则有综合有2-20下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期
7、。（1） （30）（2） （12）（3） （）（4） （8）2-21如图所示，有个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为）地分布在原点两侧，设这个信号为，求其FT。解：由题意，其中，其FT为。根据FT的时移特性，可以求得下面分析一下所求的结果。当时，由罗彼塔法则可以求得，因此，是单个矩形脉冲频谱的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当（m不是N的倍数）时，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）。可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点处有值的离散谱，在这些点处的频
8、谱幅度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。2-22“时域相关性定理”可描述如下试证明。下面给出两种证明方法。证明1：这里利用式：，是FT的“反褶共轭”性质。证明2：根据相关运算与卷积运算之间的关系利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。在式中，令，则可得自相关的傅里叶变换式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。 利用FT的奇偶虚实性，若是实偶函数，那么也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，即当是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。2-24帕斯瓦尔定理证明：-