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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date空间几何体的内切球与外接球问题空间几何体的内切球与外接球问题空间几何体的内切球与外接球问题12016全国卷 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B. C8 D4解析A因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2，所以正方体的外接球的半径为，所以球的表面积为4()212.22016全国卷 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积
2、为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.解析B当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，ABBC，AB6，BC8，8r16r110，解得r12，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则2r23，即r2.球的最大半径为，故V的最大值为.3.2016郑州模拟 在平行四边形ABCD中，CBA120，AD4，对角线BD2，将其沿对角线BD折起，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为_答案：；解析：因为CBA120，所以DAB60，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)242AB224ABcos 60，解
3、得AB2，所以ABBD.折起后平面ABD平面BCD，即有AB平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC2，所以球的体积为.4.2016山西右玉一中模拟 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为()A. B. C2 D4选A；解析 (1)由于平面SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC的体积最大因为ABC是
4、边长为2的正三角形，所以球的半径rOCCH2.在RtSHO中，OHOC，所以SH1，故所求体积的最大值为221.5.2016赣州模拟 如图73819所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且ABAC，若ADR(R为球O的半径)，则球O的表面积为()图73819A B2 C4 D8选D；解析：因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，ABAC，所以AE，ADR，DE2R，则有R26(2R)2，解得R，所以球的表面积S4R28.6.2016安徽皖南八校三联 如图所示，已知三棱锥ABCD的四个顶点A，B，C，D
5、都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC，BC2，CD，则球O的表面积为()A12 B7 C9 D8解析A由AC平面BCD，BCCD知三棱锥ABCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2AC2BC2CD234512，所以S球4R212.72016福建泉州质检 已知A，B，C在球O的球面上，AB1，BC2，ABC60，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为_答案：20解析 在ABC中用余弦定理求得AC，据勾股定理得BAC为直角，故BC的中点O1即为ABC所在小圆的圆心，则OO1平面ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半径r，则球O的表面
6、积S4r220.8. 2016河南中原名校一联 如图K3816所示，ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()图K3816A. B. C. D.选D；解析 如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1x，则OB1SO2x，同时由正方体的性质知B1G1，则在RtOB1G1中，由勾股定理得OBG1BOG，即(2x)2x2，解得x，所以球的半径R2，所以球的表面积S4R2.92013课标全国如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触
7、水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析：设球半径为R，由题可知R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA为直角三角形，如图BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的体积为53(cm3)，故选A项答案：A10已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A12B36C72D108选B；解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球
8、的表面积等于43236.112014石家庄质检一已知球O，过其球面上A、B、C三点作截面，若O点到该截面的距离是球半径的一半，且ABBC2，B120，则球O的表面积为()A. B. C4 D.解析：如图，球心O在截面ABC的射影为ABC的外接圆的圆心O.由题意知OO1，OAR，其中R为球O的半径在ABC中，AC 2.设ABC的外接圆半径为r，则2r4，得r2，即OA2.在RtOO1A中，OOO1A2OA2，即4R2，解得R2，故球O的表面积S4R2，故选A.答案：A122014郑州模拟在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析：依题意得，该三棱锥的三
9、组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4R243.答案：43132014全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.答案：A；解析 如图所示，E为AC与BD的交点因为正四棱锥的底面边长为2，所以AEAC.设球心为O，球的半径为R，则OE4R，OAR.又因为AOE为直角三角形，所以OA2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以该球的表面
10、积S4R242.142016湖南八校联考 如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为()A8 B16 C32 D64答案：C；解析 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2，表面积为4(2)232.15已知四棱锥S ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616，则球O的体积等于()A. B. C. D.答案：D；解析 由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球O的半径为R，则AC2R，SOR，ABR，则有(R)24R1616，解得R2，球O的体积是R3.162016武汉调研 已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC90，则该球的体积等于_答案：4；解析 设该球的球心为O，ABC所在圆面的圆心为O1，则OO1平面ABC且OO11.在ABC中，因为ABAC2，BAC90，所以ABC外接圆的半径rBC，所以该球的半径R，所以该球的体积VR34. -