拉格朗日乘数法与条件极值.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date拉格朗日乘数法与条件极值淮北煤炭师范学院信息学院淮北煤炭师范学院信息学院 2005 级学士学位论文 拉格朗日乘数法与条件极值系 别: 数学系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 200518440039 姓 名: 刘志华 指 导 教 师: 陈 昊 指导教师职称: 讲 师 2009年 04月 05日拉格朗日乘数法与条件极值 刘志华（淮北煤炭师范学院信息学院，淮北，235

2、000） 摘 要拉格朗日乘数法是数学分析中的基本方法。在数学分析中,它作为一种基本方法在计算中起着非常重要的作用，在解决实际问题过程中,它对一些实际问题的分析、并利用微积分这一工具去解决问题,具有重要实际意义。众所周知,在现实生活中，许多实际问题都归结为极值问题，解决条件极值有许多种方法，而拉格朗日乘数法是解决条件极值的一个有效工具。正文的内容部分包括：第一章是引言部分；第二章、第三章介绍了拉格朗日乘数法定理和条件极值的概论及它们在数学中的应用；第四章主要介绍了用拉格朗日乘数法去解决实际生活中的条件极值问题。关键词 拉格朗日乘数法，条件极值，多元函数Lagrange Multiplier Me

3、thod and the Conditional ExtremeLiu Zhihua(Huaibei Coal Industry Teachers College Information Institute, Huaibei, 235000)AbstractLagrange multiplier method is a basic method of the mathematical analysis. In the mathematical analysis,it plays an important role as a basic method in the calculation, in

4、 the process of solving practical problems, its analysis of a number of practical issues and use the tools of calculus to solve the problem, is of great practical significance.As we all known, in real life, many practical problems are reduced to extremal problems solving the extreme conditions have

5、a lot of ways, and lagrange multiplier method to is an effective tool of solving extremal conditions. The contents of the text include: Chapter I is the summary;Chapter II, Chapter III introduced the Lagrange multipliers and introduction to the extreme conditions,and their application of mathematics

6、; Chapter IV introduces extreme conditions by lagrange multiplier method to solve the real-life problem.Keywords Lagrange multiplier method,extremal conditions,multi-function目录一 引言1 （一）问题提出 1 （二）拉格朗日乘数法概述 1二 拉格朗日乘数法概论及其应用1 （一）拉格朗日乘数法定理 1 （二）用拉格朗日乘数法证明对称不等式 5 （三）拉格朗日乘数法在几何中的几点应用 6三 条件极值问题及其应用 10 （一）条

7、件极值10 （二）条件极值的两个应用13四 条件极值与拉格朗日乘数法的实际应用 16 （一）用拉格朗日乘数法求实际气体任意过程温度的最值16 （二）条件极值在生产者行为决策中的应用17参考文献20-一 引言(一) 问题提出拉格朗日乘数法是一种基本的数学方法，它来自生产实践应用于生产实践。伴随着计算技术的发展，计算机的存储量日益增大，计算速度也迅速提高，在计算机上可以求解的条件极值的规模也越来越大，求解条件极值有许多方法，而拉格朗日乘数法在求解条件极值较之其他方法更为简便。在自然科学和社会科学的许多领域中，许多实际的条件极值问题都可以用拉格朗日乘数法来进行巧妙的求解。特别是近年来计算机的普及应用

8、，又极大地推动了这方面的研究和应用。随着科技迅猛发展，拉格朗日乘数法的应用也日益增多，特别是在电子计算机广泛使用以后，由于航空、造船、精密机械加工等实际问题需要，使得拉格朗日乘数法在求解条件极值计算方面的应用尤为重要。（二） 拉格朗日乘数法概述拉格朗日乘数法是数学分析中的基本方法。在数学分析中作为一种基本方法在一些计算中起着重要的作用。条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题，拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的一个有效的工具，极大的提高了实际问题的分析能力、并利用微积分这一工具解决问题具有重要的实际意义。二 拉格朗日乘数法概论及其应用(一) 拉格朗日乘数法定理1 拉格朗日乘数法下面我们介绍拉格朗

9、日乘数法的有关知识，如下:定理(拉格朗日乘数法) 设函数 与 的所有偏导数在点 的某邻域G内连续，且矩阵 (2.1)的秩为m,若点是目标函数在满足联系方程组 (2.2) 的极值点,则存在常数,而和点 的n个坐标 必同时满足下列方程组: (2.3)证明：记向量，称为函数的梯度。因为矩阵(2.1)的秩为m，为了确定起见，不妨设函数行列式：则根据隐函数组存在定理，方程组(2.2)可确定唯一一组具有连续偏导数的隐函数组： （2.4）且有 （2.5）于是这样目标函数在满足联系方程组（2.2）下的条件极值问题转化为多元函数无条件极值问题而多元函数有极值的必要条件是：其中记则有由于所以线性无关，他们张成维的

10、线性子空间由（2.5）得，记，则上式可以写为。由此可知与均为子空间的正交子空间中的向量，因为(2.1)的秩为m，故线性无关，于是它们构成m维线性子空间的基，因此存在m个数，使得由上式及条件（2.2）即得方程组（2.3）证毕上述证明过程具有明显的几何直观性。例1 目标函数及联系方程组为满足定理相应的条件。解：由上述推导过程知，线性相关，即共面。由条件可设，且，其中t为中的某一个，则有：于是在曲线的法平面上，从而在由与所确定的平面内，这个平面是曲线在极值点处的法平面，就是说，是沿着曲线在点处取到了极值，此时在点处沿的方向导数为零。（二） 用拉格朗日乘数法证明对称不等式定义2.1 设是两个轮回对称函

11、数，若欲证明无约束不等式，可以增加约束条件并利用拉格朗日乘数法来证。约束条件要选取为对称方程才能便于计算，如：等。以下通过例题加以说明。例1 若，证明不等式。证明：现增设约束条件：。在此约束条件下证明 ，即在 的条件下，函数 的最小值为 我们利用拉格朗日乘数法：令，作下列方程组：解得： 故 为z的最小值。又当为任何其他值时，故知由于约束条件中的s任意性，题设不等式得证。（三） 拉格朗日乘数法在几何中的几点应用多元函数极值问题是应用数学中的一个重要问题。设n元函数 （2.6） 在点的邻域内存在所有偏导数，且在点取极值，则必有 （2.7）对于实际问题，若存在极值的目标函数的所有偏导存在，且只能在定

12、义域I内部取得极值，那么满足式( 2.7)的驻点就是问题的极值点。 对于条件极值问题，拉格朗日乘数法是求解问题的有效方法.给定函数（2.6）和条件组 （2.8） 其中在某区域D内有连续的一阶偏导数，欲求函数组（2.6）在条件组(2.8)下的极值。作拉格朗日函数 （2.9）若区域D的内点是上述问题的极值点，且矩阵在的秩为m,则存在m个常数 使得为函数(2.9)的驻点即为方程组的解。1 求点到直线的距离设已知点和直线 ，改写成矢量形式分别为点和直线 ，其中矢量点P到直线的距离d的平方是函数满足条件的极值.即d的平方是函数 （2.10）的最小值，这里 ，其余亦然。令导数 ，可解得驻点 再代入到（2.

13、10）式得： =所以点P到直线的距离为：2 求点到平面的距离设已知点和平面方程,显然,点P到平面的距离d的平方是三元函数 在条件 下的最小值,设 (2.11)解方程组： 由前三式得 (2.12)代入第四式得 (2.13)将式(2.13)、(2.12)代入(2.11)得，从而由求得点P到平面的距离 3 求两异面直线间的距离 设两异面直线，矢量表示成，其中由异面条件得在两直线上分别取点和点，记，那么，两直线的距离d的平方应是函数 = （2.14）的最小值，由 解得驻点 (2.15) (2.16)将（2.15）、（2.16）代入（2.14）得， 因此，两异面直线的距离 三 条件极值问题及其应用(一)

14、 条件极值 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题，Lagrange乘数法是解决条件极值问题的一个有效的工具。1 目标函数在m个约束条件下的极值一般地，考虑目标函数在m个约束条件 下的极值，这里具有连续偏导数，且Jacobi矩阵 在满足约束条件的点处是满秩的，即。那么我们有下述类似的结论： 定理3.1 （条件极值的必要条件） 若点为函数满足约束条件的条件极值点，则必存在个常数，使得在点成立 于是可以将Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造Lagrange函数 L那么条件极值点就在方程组 （3.1）的所有解所对应的点中。定理3.2 设点及m个常数满足方程组（3.1），则当方阵 为正定（

15、负定）矩阵时，为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值。注意，当这个定理中的方阵为正定时，并不能说明不是极值。例如，在求函数在约束条件下的极值时，构造Lagrange函数，并解方程组得。而在点方阵 是正定的。但在约束条件下，即是条件极小值。 2 举例 在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用Lagrange乘数法所解得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。例 求函数在闭区域上的最大值和最小值。 解 首先考察函数在D的内部的极值，这是无条件极值问题。为此解线

16、性方程组：由假设知道方程组的系数行列式不等于零，因此只有零解，即点是驻点。易计算在点 因此。而，所以点是函数的极小值点，极小值为 再考察函数在D的边界上的极值，这是条件极值问题。为此作Lagrange函数：并得方程组 将方程组中的第一式乘以x，第二式乘以y后相加，再用第三式代入就得到 这说明在上的极大值与极小值包含在方程组关于的解中。下面来求的值。 下面来求的值由联立方程组中的，可知二元一次方程组有非零解,因此系数行列式等于零，即 解这个关于的方程，得到 （注意根号中=0）。由于连续函数在紧集上必可取到最大值与最小值，因此在D的边界上的最大值为 最小值为 再与在D内部的极值比较，就得到在D上的

17、最大值为最小值为 。（二） 条件极值的应用 多元函数条件极值的拉格朗日乘数法，具有广泛的应用，本文用此方法分别给出一个在几何和代数方面的应用。1 边长一定的四边形的最大面积例1 求出边长为的四边形的最大面积。解：由于四边形具有不稳定性，但以为边长的四边形一定有面积最大 (当然对四边形是有一定要求的)。设两边的夹角为两边的夹角为y。，则四边形的面积： 约束条件为 令 则 （3.2） （3.3） （3.4）由（3.2）得到 同理由（3.3）得到：由此可得代入（3.4）得：则 于是 记 并代入中： =其中 。此为四边形最大值特别地，当a=b=c=d时， 。 当然在解题过程中首先限定了，这就保证四边形

18、为凸四边形，若取消此限定，可能出现凹四边形，显然在四条边确定的四边形中，凹四边形不可能面积最大。2 实对称阵一定存在实特征根 例1 任何一个实对称矩阵，至少存在一个实特征值(根)。 设是一个n阶实对称矩阵，其中，记，考察实二次型：在单位球面上的最大、最小值。设解方程组由此可得 ，即以及 ，也就是 其中 是单位矩阵。此式表明:就是矩阵A的特征根,X是A的属于的一个特征向量。因为在有界闭集S上连续，故必取到最大值和最小值。而的极值点一定满足，因此，方程一定有解A，且有这就证明了结论，顺带可知，在S上的最大值和最小值就是矩阵A的最大和最小特征值。四 条件极值与拉格朗日乘数法的实际应用（一） 用拉格朗

19、日乘数法求实际气体任意过程的温度最值1 实际气体经过任意过程温度最值的求解我们知道处于平衡态的某种物质的热力学参量(P, V, T)满足物态方程，也可表示为。当实际气体经过任意热力学过程，在P-V图中，等温线可用隐函数表示。现在的问题是：求满足的实际气体在约束条件下的温度最值问题，即 (4.1)引人拉格朗日函数，则有 (4.2)式中为拉格朗日乘数。对(4.2)式求偏导数令，则得到三元方程组 (4.3)求解(4.3)式得驻点，则就是在约束条件下可能的极值点。由于温度最值是客观存在的，所以(4.3)式的解是可能的最值点。（二） 条件极值在生产者行为决策中的应用现实中，生产和销售其产品的厂商是一个复

20、杂和良莠不齐的组织，很难用一种理论全部概括其活动范围和动机;然而谋求利润最大化是其主要目标。本文旨在从这一目标出发，讨论把产出和投人联系在一起的技术规律生产函数与生产者行为的密切关系。在本文中，设厂商使用各种投入的数量记为,产出的数量记为y，则产量y是投入数量的函数： (4.4)不同的厂商可以有不同的生产函数。如果产品的价格为P；投入的价格分别是，从而厂商获得利润为 (4.5)厂商所追求的目标就表示成 (4.6)对于(4.6)，其取得极值的必要条件是： (4.7)众所周知，条件(4.7)并不能给出利润最大问题(4.6)的解。然而我们可以给予它一个简单的经济意义解释:方程(4.7)的右端是额外使

21、用i种投入的单位成本，左端是额外使用i种一个单位的投入对产出的效应与产出价格的乘积称之为边际生产的值。它是额外使用第i种投入一个单位的收益。如厂商选择一组投入使得，就可以通过减少的数量来增加利润。1 成本最小化 在后面的讨论中，我们总认为所定义的成本和利润函数都是二次可微的，引入 投入向量： 投入价格向量：则 （4.6）、（4.7）分别表示为简洁的形式： （4.8）及 （4.9）其中 ，设厂商对其产出为已知的，其目标就是获得这一产出水平的最小成本，于是归结为求解约束优化问题： （4.10）其中y为常数，可以利用Lagrange乘数法处理（4.10）令 （4.11）我们得到约束优化问题（4.10

22、）有解的必要条件： （4.12）及 （4.13）这里为Lagrange乘子。（4.12）是关于变量和的n+1个方程的方程组，求解之得到依赖于数值和y的一组最优化解及。由此得到在给定W和y时的最小成本，记为 （4.14） 由于y的改变将导致成本的改变，显然C(w，y)是W、y的函数。关于Lagrange乘子，我们有如下的定理：定理4.1Lagrange乘子的值是所需产出的改变对成本的效应，即是度量出的边际成本。2 利润最大化成本最小化问题的讨论是如何以最低的成本生产出给定的产量Y而下面所讨论的是生产多少的问题，就是厂商在生产函数满足的条件下寻求利润最大的问题，它归结为下面的约束优化问题： （4.

23、15）因为已经解决了成本最小化问题(4.10)并得到了成本函数，所以问题（4.15）是一个更为简单的利润最大化问题： （4.16）注意到其中的p, W都是常数，故（4.16）是一个单变量极大值的问题，其必要条件是： （4.17）充分条件是或上述推导揭示了一个经济学规律，即：定理4.2边际成本等于产品的价格，且为产出的单增函数时的产出是利润最大的产出。 拉格朗日乘数法在实际生活中有着广泛的应用，本文对拉格朗日乘数法进行了概述，重点介绍通过用拉格朗日乘数法解决实际生活中的条件极值问题，它可以用于解决许多领域的实际问题。参考文献：1吴辰余.拉格朗日乘数法的一个证明J.山西大同大学学报（自然科学学报）

24、，2008，(03):6167. 2程楚书.用拉格朗日乘数法证明对称不等式J.高等数学研究，1996，(01):1523.3杨利辉.拉格朗日乘数法在几何中的几点应用J.纺织高等专科学校学报，2008，(03):5663.4刘国祥.条件极值的两个应用J.赤峰学院学报(自然科学版)，2006，(03):1316.5苏万春.用拉格朗日乘数法求实际气体任意过程的温度最值J.中山大学学报(自然科学版)，2004，(02):2632.6查中伟.条件极值在生产者行为决策中的应用J.工业经济技术学报，2003，(02):1519.7桂绍辉.条件极值问题得研究J.赣南师范学院学报，2004，(03):04-09.8华东师范大学数学系.数学分析(下册)M.高等教育出版社，1985.