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1、复习回顾复习回顾1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或或: : 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.2.在立体几何中在立体几何中, ,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a a、b b是异面直线是异面直线, ,经过空间任意一点经过空间任意一点O,O,分别引直线分别引直线a /a, a /a, b/ b,b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a a 和和 b b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异（或直角
2、）叫做异面直线所成的角。面直线所成的角。 3.3.在立体几何中在立体几何中, ,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, , 叫叫做这条直线和这个平面所成的角。做这条直线和这个平面所成的角。 异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同的特征的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角的角, ,即平面角。即平面角。 拦洪坝拦洪坝水平面水平面 一个平面内的一条直线把这个平面分成
3、两个部分，其中的一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。每一部分都叫做半平面。 一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两个部分分成两个部分，其中的每其中的每一部分都叫做一部分都叫做射线射线。AllOBA 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角。这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。 这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。平面角由射线平面角由射线-点点-射线构成。射线构成。二面角由半平面二面角由半平面-线线-半平面构成。半平面构成。 lABPQ二面角的表示二面角
4、的表示l二面角QlP二面角 AB二面角QABP二面角 l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD二面角的画法二面角的画法CEFDAB角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为上任意一点为端点，在端点，在两个面内两个面内分别作分
5、别作垂直垂直于于棱的两条射线，这两条射线所成棱的两条射线，这两条射线所成的的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量二面角的度量 l二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征: :1.点在棱上点在棱上2.线在面内线在面内3.与棱垂直与棱垂直二面角的大小的范围二面角的大小的范围: :1800OABAOBCD l 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1、定义法定义法3、垂面法垂面法2、三垂线定理法三垂线定理法PABO练习：指出下列各图中的二面角的平面角：练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDAA
6、BCCDDB二面角二面角B-BC-AADBCl二面角二面角-l-OEOO二面角二面角A-BC-DD.,lBDlACBDAClBA AOD例例1 已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的的距离为距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的的大小。大小。3解解：过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD l3AO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离 ， AD为为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO= ADO=60二面角
7、二面角 l 的大小为的大小为60 在在Rt ADO中，中，43223AOADl二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”?)1 . 0(10,30,60:mmABCD精确到多少时人升高了行走到沿这条直道从堤脚向上的夹角为它与堤脚的水平线上有一条直道堤面的二面角为河堤斜面与水平面所成如图CD河堤斜面河堤斜面例例 2FG30E练习练习1。课本。课本35页相交平面问题页相交平面问题2。课本。课本36页练习题页练习题小结小结一、二面角的定
8、义一、二面角的定义二、二面角的表示方法二、二面角的表示方法三、二面角的平面角三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算五、二面角的计算练习练习 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面的二面角角 l 棱棱l上的两点上的两点，线段线段AC，BD分别在面分别在面 ， 内内，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段求线段CD的长。的长。ADBClOOAC 120 AO=BD=1, AC=271202222 COSACAOAOACCO四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO=AB=3练习练习 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面的二面角
9、角 l 棱棱l上的两点上的两点，线段线段AC，BD分别在面分别在面 ， 内内，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段求线段CD的长。的长。ADBCl BDl AOBD，四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面平面CAO AOl CODO O437222 DOCOCD在在Rt COD中，中，DO=AB=3E解：在平面解：在平面 内，过内，过A作作AOl ，使使AO=BD, 连结连结CO、DO, 则则OAC就是就是二面角二面角 l 的平面角，即的平面角，即 OAC 120 ，71202222 COSACAOAOACCO BD=1 AO=1，在在OAC中，中，AC=2，