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1、第六章第六章刚体的简单运动刚体的简单运动例例 由于研究对象是刚体由于研究对象是刚体, ,所以运动中要考虑其本身形状和尺所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小寸大小, ,又由于刚体是几何形状不变体又由于刚体是几何形状不变体, ,所以研究它在空间的所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定位置就不必一个点一个点地确定, ,只要根据刚体的各种运动形只要根据刚体的各种运动形式式, ,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。 是指刚体的平行是指刚体的平行 移动和转动移动和转动简单运动简单运动1 1、 刚体平动的定义刚体平动的定义 刚体在运动中刚体
2、在运动中, ,其上任意两点的连线始终保持方向不其上任意两点的连线始终保持方向不变。具有这种特征的刚体运动称为刚体的平行移动，简称变。具有这种特征的刚体运动称为刚体的平行移动，简称平动。平动。6-1 6-1 刚体的平行移动刚体的平行移动 设刚体做平动，如图所示。设刚体做平动，如图所示。在刚体内任选两点在刚体内任选两点A A和和B B，令点，令点A A的矢径为的矢径为r rA A，点，点B B的矢径为的矢径为r rB B。由图可知由图可知ABBArr 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状, ,速度速度, ,加速度加速度都一样。都一样。 即即: :平动刚体的运动可
3、以简化为一个点的运动平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。3 3、速度和加速度分布、速度和加速度分布ddddBABArrvvttddddBABAvvaatt刚体平移刚体平移点的运动点的运动2 2、运动方程、运动方程BArrAB d0dABt 因为因为所以所以上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有 ddddddABB(BA)ttt rrr222222ddddddABB(BA)ttt rrr即即ABvvBAaa 结论：结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。在同一瞬时，各点
4、的速度相同，加速度也相同。刚体作平动时，刚体内任意两点的刚体作平动时，刚体内任意两点的轨迹完全相同轨迹完全相同。 刚体平移刚体平移点的运动点的运动例例6-16-1 已知 O1A=O2B=l, tBOAOsin,/021求： aC解：tllssin01. 1. 板板ABDE 做平移做平移 tldtdsvcos0tldtdvatsin02tllvancos0222. 2. 点点B的运动方程的运动方程aaaBC6-2 6-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动转轴转轴 ：两固定点连线：两固定点连线 1.1.定义定义 刚体上刚体上( (或其扩展部分或其扩展部分) )两点保持不动两点保持不动，则这种运动称
5、为，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。转角：转角：单位单位: :弧度弧度(rad)(rad)2 2、转角和转动方程、转角和转动方程 -转角转角, ,单位弧度单位弧度(rad)(rad) =f=f( (t t) )-为转动方程为转动方程 方向规定方向规定: : 从从z z 轴正向看去轴正向看去, , 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负3 3、定轴转动的角速度和角加速度、定轴转动的角速度和角加速度 1 1）角速度：）角速度： 工程中常用单位：工程中常用单位： n n = = 转转/ /分分(r / min)(r / min)则则n与与 的关系为的
6、关系为:2603010(rad/snnn) ( )ft 单位单位 rad/srad/s若已知转动方程若已知转动方程f(t)0 lim tdtdt 方向：方向：逆时针逆时针方向为正方向为正2 2）角加速度角加速度: : 设当设当t t 时刻为时刻为 , , t t + +t t 时刻为时刻为 + + 与与 方向一致为加速转动方向一致为加速转动, , 与与 方向相反为减速转动方向相反为减速转动 3 3）匀速转动和匀变速转动匀速转动和匀变速转动当当 = =常数常数,为匀速转动为匀速转动；当当 = =常数常数,为匀变速转动为匀变速转动。020220122ttt 常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的
7、运动相类似。220lim( )tddfttdtdt 角角加加速速度度单位单位:rad/s26-3 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度2 2、速度、速度vsRR3 3、加速度、加速度222nt1ddRRRvaRstva 1 1、M点的运动方程点的运动方程sR4 4、速度与加速度分布图、速度与加速度分布图v R422n2tRaaa2nttanaa结论结论: : v v方向与方向与 相同时为正相同时为正 , , R R , ,与与 R R 成正比。成正比。 各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致, , 且小于且小于9090o
8、 o 。刚体运动学问题的求解刚体运动学问题的求解avt,)()(,tav问题问题1 1问题问题2 2例例6-26-2n升降机装置由半径为升降机装置由半径为R的鼓轮带动，如图所示。轮与绳的鼓轮带动，如图所示。轮与绳子之间无滑动。被升降物体的运动方程为子之间无滑动。被升降物体的运动方程为x=at2, ,求任求任意瞬时，鼓轮轮缘上点意瞬时，鼓轮轮缘上点M的全加速度的大小。的全加速度的大小。解：解：2tRaRx1. 1. 鼓轮作定轴转动，转动方程鼓轮作定轴转动，转动方程2. 2. 点点M的加速度的加速度tRadtd2Radtd2aRatM22224tRaRanM例例6-36-3一飞轮绕固定轴一飞轮绕固
9、定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的交角恒为运动过程中与轮半径的交角恒为6060。当运动开始时，其转。当运动开始时，其转角角0等于零，角速度为等于零，角速度为0 0。求飞轮的转动方程以及角速度。求飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系。与转角的关系。解：解：3tan2ntaa312dtdt 3110t0031tdtd0031t0311ln3130e6-6-轮系的传动比轮系的传动比 1. 齿轮传动齿轮传动啮合条件啮合条件1122ABRvvR 外啮合外啮合内啮合内啮合传动比传动比2 rZt 22211122/ /RRtZRRtZ 齿数齿数
10、由于由于1122260 nnn 成成正正比比11221 22211,:nRzinRz 主主动动轮轮即即从从动动轮轮显然当显然当: 时时, ,为升速转动；为升速转动； 时时, ,为降速转动。为降速转动。1 21,|i 21 1 21,|i 21 内啮合时传动比为正；外啮合时传动比为负。内啮合时传动比为正；外啮合时传动比为负。.带轮传动带轮传动1122AABBrvvvvr121221rir6-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度1 1、角速度矢量和角加速度矢量、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角速度矢量k角加速度矢量
11、角加速度矢量ddddkkttdtd大小大小作用线作用线 沿轴线沿轴线 滑动矢量滑动矢量指向指向 右手螺旋定则右手螺旋定则2 2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度加速度加速度ddddvarttddddrrttrvntaaM点切向加速度点切向加速度ratM点法向加速度点法向加速度)(nrva速度速度rvvRrsin大小大小方向方向 右手定则右手定则例例6-46-4：AB是连接绕定轴转动刚体上两点的矢量，试求ABdtd练习1 纸盘由厚度为a的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v拉纸条。求纸盘的角加速度（以半径r的函数表示）。 解题步骤及注意问题解题步骤及注意问题1.1.解题步骤解题步骤: :弄清题意弄清题意, ,明确已知条件和所求的问题。明确已知条件和所求的问题。选好坐标系：直角坐标法，自然法。选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始条件定积分常数。用初始条件定积分常数。 对常见的特殊运动，对常见的特殊运动，可直接应用公式计算可直接应用公式计算。注意问题：注意问题：几何关系和运动方向。几何关系和运动方向。求轨迹方程时要消去参数求轨迹方程时要消去参数“t t”。坐标系（参考系）的选择。坐标系（参考系）的选择。