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1、. 精选范本椭圆的基本知识 1 椭圆的定义：把平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距( 设为 2c) . 2. 椭圆的标准方程：12222byax（ab0）12222bxay（ab0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m0 ，n0) 不必考虑焦点位置，求出方程3. 求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例MPPPPxP解:( 相关点法 ) 设点M
2、(x, y),点P(x0, y0),则xx0, y20y得x0 x， y02y.x02y024, 得x2(2y)24,即.142yx所以点M的轨迹是一个椭圆. 4. 范围 . x2a2，y2b2， |x|a，|y|b椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里5. 椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心6. 顶点只须令x0，得yb，点B1(0, b) 、B2(0, b) 是椭圆和y轴的两个交点；令y0，得xa，点A1( a,0) 、A2(a,0) 是椭圆和x轴的两个交点椭圆有四个顶点：A1( a, 0) 、A2(a, 0) 、
3、B1(0, b) 、B2(0, b) 椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长b叫做椭圆的短半轴长|B1F1| |B1F2| |B2F1| |B2F2| a在 RtOB2F2中， |OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b27. 椭圆的几何性质：aA1yOF1F2xB2B1A2cbyOF1F2xMccxF2F1OyMccyxPOPM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
4、 - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - . 精选范本椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质， 只要2222xy1(ab0)ab的有关性质中横坐标x 和纵坐标 y 互换， 就可以得出2222yx1(ab0)ab的有关性质。 总结如下：几点说明：（ 1）长轴：线段12A A，长为2a；短轴：线段12B B，长为2b；焦点在长轴上。（ 2）对于离心率e，因为 ac0，所以 0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于22221cabbeaaa，所以e越趋近于1，b越趋
5、近于0，椭圆越扁平；e越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。（ 3）观察下图，22|,|OBb OFc，所以22|B Fa，所以椭圆的离心率e = cos OF2B28. 直线与椭圆：直线l：0AxByC（A、B不同时为 0）椭圆C：2222xy1(ab0)ab那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - . 精选范本直线和椭圆交点的情况。方法
6、如下：222201AxByCxyab消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下20(0)mxnxpm，24nmp（1）当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；（2）当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；（3）当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,) ,(,)A xyB xy，那么线段AB的长度（即弦长）为221212|()()ABxxyy，设直线的斜率为k，可得：221212|() ()ABxxk xx2121|kxx，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。椭圆典型例题例 1 已知椭圆06322mymx
7、的一个焦点为（0，2）求m的值 分析： 把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值解： 方程变形为12622myx因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m又2c，所以2262m，5m适合故5m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程解： 当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax由椭圆过点03，P，知10922ba又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx当焦点在y轴上时，设其方
8、程为012222babxay名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - . 精选范本由椭圆过点03，P，知10922ba又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy例 3 ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹分析： （ 1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程解：（1）以BC所在的
9、直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为yx，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx（2）设yxA，yxG，则013610022yyx由题意有33yyxx，代入， 得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆 （除去x轴上两点）例 4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF从椭圆定义知52221PFPFa即5a从21PFPF知2PF垂直
10、焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - . 精选范本所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx例 5 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析：求面积要
11、结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用CabSsin21求面积解：如图，设yxP，由椭圆的对称性， 不妨设yxP，由椭圆的对称性， 不妨设P在第一象限 由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF由椭圆定义知：aPFPF221，则2得cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b例 6 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程分析： 关键是根据题意，列出点P满足的关系式解： 如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和
12、恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx说明： 本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆1222yx（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页
13、，共 6 页 - - - - - - - - - . 精选范本（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx（1）将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx 将代入
14、椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx （椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx （椭圆内部分）（4）由得：2222212221yyxx，将平方并整理得212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：224424212212yyyxxx，再 将212121xxyy代 入 式 得 ：221242212212xxyxxx，即12122yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -